Grundwissen-Mathematik-7.Jahrgangsstufe (Algebra) G8

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1 Grundwissen-Mathematik-7.Jahrgangsstufe (Algebra) G8 Terme Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl. Ein Term ist eine sinnvolle Abfolge von Rechenzeichen, Zahlen und Variablen. Beispiel zur Berechnung von Termwerten: T(x) = 5x² 12x T(2) = 5 2² = = = - 4 T(5)= 5 5² = = = 65 Umformen von Termen - Vereinfachen von Termen Beim Vereinfachen dürfen nur gleichartige Terme, d.h. gleiche Variablen in der jeweils gleichen Potenz, zusammengefasst werden. Beispiel: 2a ab² 5a + 3ab² = 3a + 2ab² - Das Distributiv-Gesetz a) Ausmultiplizieren: Werden Produkte mit Hilfe des Distributivgesetzes in Summen umgeformt, so spricht man vom Ausmultiplizieren. Beispiel: 3a (2x + 4y - 8z) = 6ax + 12ay - 24az b) Faktorisieren: Umgekehrt können Summen durch Anwendung des Distributivgesetzes in Produkte umgeformt werden. Man nennt diesen Vorgang auch Ausklammern bzw. Faktorisieren. Beispiel: 20x² 60xy + 45y² = 5 (4x² 12xy + 9y²) = 5 (2x 3y)² - Auflösen von Klammern a) Plusklammern Die Klammer kann einfach weggelassen werden, die Rechenzeichen ändern sich nicht. Beispiel: 5v + (4x + 3y 7z) = 5v + 4x + 3y 7z b) Minusklammern Wird eine Klammer, vor der ein Minuszeichen steht aufgelöst, so drehen sich alle Vorzeichen, die in der Klammer standen um. Beispiel: 5v - (4x + 3y - 7z) = 5v - 4x - 3y + 7z - Ausmultiplizieren von Summen und Differenzen Beispiel: (2x 4y) (3x + 13y) = 6x² 12xy + 26xy 52y² = 6x² + 14xy 52y² Lineare Gleichungen Bei einer linearen Gleichung sind zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbunden. Die Grundmenge G gibt die Zahlen vor, die in die Gleichung eingesetzt werden dürfen. Die Zahlen der Grundmenge G, die beim Einsetzen in die Gleichung eine wahre Aussage ergeben, heißen Lösungen dieser Gleichung und werden in der Lösungsmenge L zusammengefasst. Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man auf beiden Seiten denselben Term addiert oder subtrahiert, oder beide Seiten mit demselben Term ( 0) multipliziert bzw. beide Seiten durch denselben Term ( 0) dividiert. Solche Umformungen nennt man Äquivalenzumformungen.

2 Beispiel: 19x 3,5x 8 = 2 1,5x 11; G = Q 15,5x 8 = 9 1,5x 17x = 1 x = { 17 L = } Beachte: G = N => L = { } Lösen von Sachaufgaben mit x-ansatz Beispiel: In einem Rechteck ist eine Seite um 12cm länger als die andere. Wird die längere Seite um 8cm verkleinert und gleichzeitig die kleinere Seite um 2cm vergrößert, so nimmt der Flächeninhalt des Rechtecks um 22cm² ab. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks? Länge der kleineren Seite (in cm): x Länge der größeren Seite (in cm): x + 12 (x ) (x + 2) + 22 = x (x + 12) x² + 6x + 30 = x² + 12x 30 = 6x x = 5 Die Seiten des ursprünglichen Rechtecks sind 5cm und 17cm lang.

3 Grundwissen-Mathematik-7.Jahrgangsstufe (Geometrie) G8 Konstruktionen Bei einer Konstruktion dürfen nur Zirkel und Lineal (ohne Benutzung der cm-einteilung) verwendet werden. Folgende Grundkonstruktionen werden als bekannt vorausgesetzt: a) Streckenübertragung b) Winkelübertragung c) Halbierung einer Strecke (Konstruktion der Mittelsenkrechten) d) Winkelhalbierende e) Lot zu einer Geraden durch einen gegebenen Punkt f) Dreieckskonstruktionen Winkel a) Geradenkreuzung - Nebenwinkel sind Winkel, die bei einer Geradenkreuzung nebeneinander liegen, z.b. α und β. Es gilt: α + β = Scheitelwinkel sind Winkel, die bei einer Geradenkreuzung gegenüberliegen, z.b. α und γ. Es gilt: α = γ b) Doppelkreuzung - Stufenwinkel: z.b. α 1 und α 2 - Wechselwinkel: z.b. γ 1 und α 2 - Nachbarwinkel: z.b. α 2 und δ 1 Stufenwinkel und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn g und h parallel sind. Nachbarwinkel ergänzen sich genau dann zu 180, wenn g und h parallel sind.

4 Winkel in Dreiecken und n-ecken Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180. Die Summe der Innenwinkel eines n-ecks beträgt (n 2) 180 (n 3). In jedem Dreieck liegt der größeren Seite der größere Winkel gegenüber und umgekehrt. Abbildungen Achsenspiegelung Eine Abbildung heißt Achsenspiegelung an der Spiegelachse a, wenn jedem Punkt P der Zeichenebene der Bildpunkt P* auf folgende Weise zugeordnet wird: a) P a => PP* a und [PP*] wird von a rechtwinklig halbiert b) S a => S = S* Punktspiegelung Eine Abbildung heißt Punktspiegelung am Zentrum Z, wenn jedem Punkt P der Zeichenebene der Bildpunkt P* auf folgende Weise zugeordnet wird: a) P Z => P* PZ und ZP * = PZ b) P = Z => P* = Z Die Punktspiegelung an Z kann durch 2 Achsenspiegelungen an zwei zueinander senkrechten Geraden mit dem Schnittpunkt Z ersetzt werden. Achsen- und punktsymmetrische Vierecke:

5 Kongruenz Lassen sich zwei Figuren A und B vollständig miteinander zur Deckung bringen, so heißen sie deckungsgleich oder (zueinander) kongruent. Man schreibt dafür A B. Kongruenzsätze für Dreiecke Dreiecke sind kongruent, wenn sie o in drei Seiten übereinstimmen (SSS-Satz). o in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel übereinstimmen (SWS-Satz). o in einer Seite und zwei entsprechenden Winkeln übereinstimmen (WSW-Satz bzw. SWW-Satz). o in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen (SsW-Satz). Besondere Dreiecke: a) gleichschenkliges Dreieck Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite heißt Basis. Die Basiswinkel sind gleich groß. Das gleichschenkelige Dreieck ist achsensymmetrisch. b) gleichseitiges Dreieck Alle 3 Seiten sind gleich groß, jeder Winkel beträgt 60. c) rechtwinkliges Dreieck Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse, die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Mittelpunkt der Hypotenuse. Dieser Kreis heißt Thaleskreis.

6 Transversalen im Dreieck a) Die 3 Mittelsenkrechten schneiden sich im Mittelpunkt des Umkreises. b) Die 3 Winkelhalbierenden schneiden sich im Mittelpunkt des Inkreises. c) Die 3 Seitenhalbierenden schneiden sich im Schwerpunkt des Dreiecks. d) Die 3 Höhen schneiden sich in einem Punkt. Graphiken aus: Schätz/Eisentraut, delta 7, Mathematik für Gymnasien, C.C. Buchners Verlag, Duden Paetec Schulbuchverlag, 2005.