Folgen und Reihen Glege 03/01

Transkript

1 Folge ud Reihe Glege 03/0 I diesem Script werde folgede Theme behadelt: Folge (Eiführug)... Arithmetische Folge... Geometrische Folge...3 Mootoie...4 Kovergez...5 Grezwert...6 Schrake...7 Arithmetische Reihe...7 Geometrische Reihe...8 Übuge...9 Lösuge der Übugsaufgabe... Folge (Eiführug) Bei eier Folge bestehe die Elemete der Defiitiosmege () aus IN (Mege der atürliche Zahle:,, 3...) ud der Wertebereich (a ) aus IR (ratioale Zahle). Die Folgeglieder <a > etstehe durch Bildugsgesetze. gibt die Nummer des Folgegliedes a. Das -te Folgeglied heißt a, sei Vorgäger a - ud sei Nachfolger a +. Beispiel: Das Bildugsgesetz sei <a > = < > Da IN (sprich: ist Elemet aus IN), ergibt sich für <a > die Folge der Quadratzahle. für = ergibt sich: a = = für = ergibt sich: a = = 4 für = 3 ergibt sich: a 3 = 3 = 9 usw. Wertetabelle: 3... a Aufgabe ) Bilde a bis a 5 (die erste 5 Folgeglieder) für die folgede Bildugsgesetze: a) <a > = <> b) <a > = < > c) <a > =

2 Aufgabe ) Bestimme Sie aus de agegebee Folgeglieder a bis a 5 die Bildugsgesetze: a a a 3 a 4 a 5 a) <a > b) <a > c) <a > Arithmetische Folge Bei arithmetische Folge ist die Differez zweier beachbarter Folgeglieder kostat. Es gilt: a + a = d (d = Differez) Beispiel: <a > = < ; 6 ; 0 ; 4 ; 8... > Das -te Folgeglied eier arithmetische Folge wird errechet, idem zum erste Folgeglied ( )-mal die Differez d hizuaddiert wird. Skizze: Daraus ergibt sich ei allgemeies Bildugsgesetz für arithmetische Folge: a = a + ( ) d

3 Aufgabe 3) Bestimme Sie die fehlede Größe: a a d a) b) c) d) 69 9 Geometrische Folge Bei geometrische Folge ist der Quotiet zweier beachbarter Folgeglieder kostat. a + Es gilt = q (q = Quotiet) a Beispiel: <a > = < ; 4 ; 8 ; 6 ; 3... > Das -te Folgeglied eier geometrische Folge wird errechet, idem zum erste Folgeglied ( )-mal der Quotiet q hizumultipliziert wird. Skizze: Daraus ergibt sich ei allgemeies Bildugsgesetz für geometrische Folge: a = a q - 3

4 Aufgabe 4) Bestimme Sie die fehlede Größe: a a q a) 3 4 b) c) d) 3, Mootoie Bei der Utersuchug auf Mootoie möchte ma herausfide, ob die Folgeglieder eier Folge stets steige oder falle. Es hadelt sich da um mooto steigede oder mooto fallede Folge. Bei eier streg mootoe Folge dürfe zwei beachbarte Folgeglieder icht de selbe Wert habe. Beispiel: für eie mooto steigede Folge gilt: für eie mooto fallede Folge gilt: für eie streg mooto steigede Folge gilt: für eie streg mooto fallede Folge gilt: Überprüft wird die Folge <a > = < a + > a ( + ) > + [( + ) ] > ( ) ( + ) 3 [ + + ] > + a + a a + a a + > a a + < a > auf die Eigeschaft streg mooto steiged. ( + ) > > 0 Diese Aussage stimmt für alle, d. h. die Folge ist streg mooto steiged. Aufgabe 5) a) Ist die Folge <a > = < > streg mooto falled? + b) Ist die Folge <a > = < > mooto steiged? 4

5 Kovergez Der Kovergezachweis bestätigt die Aahme eies Grezwertes g. Dazu bestimmt ma eie Bereich um de Grezwert (ε-umgebug). We die Aahme stimmt, müsse ab eiem bestimmte alle weitere Folgeglieder ierhalb der ε-umgebug liege. Skizze: Beispiel: Überprüft wird, ob die Folge <a > = < > de Grezwert g = hat. Dazu wird eie + ε-umgebug vo ε = 0,0 ageomme. Gesucht wird u das, ab dem alle weitere Folgeglieder a i der ε-umgebug liege. Dazu muss gelte: a < g + ε g a g < ε < 0,0 + + < 0,0 + + ( + ) + < 0,0 + < 0,0 Betrag, falls sich die Folge aus dem egative Bereich dem Grezwert ähert Kehrwert bilde (Ugleichheitszeiche dreht sich um!) + >00 Betragstriche sid icht otwedig, da + positiv ist > 99 Ab dem 00. Folgeglied liege alle weitere i der ε-umgebug. Aufgabe 6) Nehme Sie für die folgede Aufgabe eie ε-umgebug vo ε = 0,0 a ud bereche jeweils das. a) Zeige Sie, dass die Folge <a > = < > de Grezwert g = 0 hat. + b) Zeige Sie, dass die Folge < a > = < > de Grezwert g = hat. c) Zeige Sie, dass die Folge < a > = < 3 > de Grezwert g = 0 hat. 5

6 Grezwert Bei der Grezwertutersuchug möchte ma herausfide, ob die Folgeglieder eier Folge sich eiem Wert aäher (kovergetes Verhalte = hat eie Grezwert) oder ob sich die Werte is Uedliche bewege (divergetes Verhalte = hat keie Grezwert). gibt es eie Grezwert g, so gilt: lim ( ) = g a gibt es keie Grezwert g, so gilt: lim( a ) = oder = Der Grezwert ka ei beliebiger Wert sei. Ist der Grezwert Null, so spricht ma vo eier Nullfolge. Das lim steht für Limes (lat. Greze) ud bedeutet, dass i Gedake ei uedlich großer Wert für i das Bildugsgesetz der Folge eizusetze ist. Beispiel: 6 Gesucht wird der Grezwert der Folge <a > = < >. Dazu wird der Grezwert für gege + Uedlich gebildet. Bei Brüche werde alle Summade des Zählers ud des Neers durch die höchste Neerpotez dividiert. Nach dem Kürze etstehe Kostate ud Nullfolge (Brüche mit im Neer). 6 lim = + 6 lim = + 6 lim = = + Diese Folge hat de Grezwert g =. Mit wachsedem äher sich die Folgeglieder immer mehr dem Wert. Beispiel: Gesucht wird der Grezwert der Folge <a > = < >. Dazu wird der Grezwert für gege Uedlich gebildet. Ist ei Expoet, wird der Ausdruck so umgeformt, dass ei kovergetes oder divergetes Verhalte zu erkee ist. lim = lim = lim = lim = lim = 0 Hier hadelt es sich um eie Nullfolge (Grezwert g = 0). Mit wachsedem äher sich die Folgeglieder immer mehr dem Wert Null. Aufgabe 7) Bestimme Sie die Grezwerte der Folge (falls vorhade): a) <a > = < > b) <a > = < > c) <a > = < > 4 6

7 Schrake Eie Schrake ist ei Wert, der vo eier Folge icht uter- oder überschritte wird. Bei kovergete Folge äher sich die Folgeglieder immer mehr dem Grezwert, der da auch gleichzeitig eie Schrake ist. Bei alterierede Folge ka es zwei Schrake gebe, zwische dee die Folgeglieder pedel. Beispiel: Die Glieder der alterierede Folge <a > = < ( ) > pedel städig zwische ud +. Dieses sid sogeate Häufugspukte der Folge. Diese Folge kovergiert icht. Sie hat zwei Schrake bei s = ud s = +, die ie uter- bzw. überschritte werde. Skizze: Recherisch zeige wir mit der Behauptug, es gäbe Werte, die kleier als sid, dass s eie utere Schrake ist: ( ) < Da ( ) ur die Werte + ud aehme ka, ist die Behauptug falsch, d. h. s ist eie utere Schrake. Def.: Eie kovergete Folge (Folge mit Grezwert) ist damit auch beschräkt (Folge hat eie Schrake). Dagege muss eie beschräkte Folge icht ubedigt eie Grezwert besitze. Aufgabe 8) Zeige Sie, dass die Folge <a > Schrake besitze: a) <a > = < ( ) > b) <a > = < > c) <a > = < si( π ) > Arithmetische Reihe Bei der arithmetische Reihe werde die Glieder eier arithmetische Folge aufsummiert. Es wird die Summe eier bestimmte Azahl vo Folgeglieder berechet. Es gilt: S = a + a + a a Als Beispiel solle die Folgeglieder der 5er Reihe aufsummiert werde: S = Bei Äderug der Reihefolge (a + a + a + a - + a 3 + a - usw.) ergibt sich: S = Die Additio jeweils zweier Folgeglieder ergibt: S =

8 Aus de 0 Folgeglieder der 5er Reihe wurde 0 : = 5 Paare gebildet, dere Summe stets 55 beträgt: S = 5 55 S = 75 Daraus ergibt sich die allgemeie Formel zur Berechug der arithmetische Reihe: S = ( a + a setzt ma für a die Formel der arithmetische Folge ei, ergibt sich: ) S = ( a + a + ( ) d) = (a + ( ) d) Aufgabe 9) Bestimme Sie die fehlede Größe: S a d a) b) 58 3 c) 5050 d) Geometrische Reihe Bei der geometrische Reihe werde die Glieder eier geometrische Folge aufsummiert. Es wird die Summe eier bestimmte Azahl vo Folgeglieder berechet. Es gilt: S = a + a + a a bzw: S = a + a q + a q + a q a q - Dieser Ausdruck wird mit q multipliziert: S q = a q + a q + a q a q - + a q Bei Subtraktio der beide letzte Zeile ergibt sich: S q S = a q a S (q ) = a (q ) Daraus ergibt sich die allgemeie Formel zur Berechug der geometrische Reihe: S S q = a für q > q q = a für 0 < q q < 8

9 Aufgabe 0) Bestimme Sie die fehlede Größe: S a q a) 6 5 b) c) d) Übuge Aufgabe ) Zwische de Zahle ud 56 solle drei Zahle so eigeschobe werde, dass eie geometrische Folge etsteht. Welche Zahle sid es? Aufgabe ) Das wievielte Glied eier arithmetische Folge mit a = 0 ud d = 5 ist gerade größer als 0000? Aufgabe 3) Das wievielte Glied eier geometrische Folge mit a = ud q = 0,5 ist gerade kleier als? 000 Aufgabe 4) Wie viele durch 6 teilbare Zahle liege zwische ud 000? Aufgabe 5) Im Erdiere wächst die Temperatur pro 00m Tiefe um 3 C. I 5m Tiefe ist die Temperatur 0 C. a) Welche Temperatur ist i 575m Tiefe? b) I welcher Tiefe beträgt die Temperatur 70 C? Aufgabe 6) I eiem Saal befide sich i der erste Reihe 8 Stühle. I jeder weitere Reihe verrigert sich die Azahl um 3 Stühle. a) Wie viele Stühle befide sich i der 9. Reihe? b) Wie viele Stühle befide sich i de erste 9 Reihe? Aufgabe 7) Bei eier geometrische Folge ist a 4 = 8 ud a 7 = 87. a) Wie lautet das Bildugsgesetz? b) Das wievielte Folgeglied ist a = 9683? Aufgabe 8) Zwische de Zahle 800 ud 575 solle 4 Zahle so eigeschobe werde, dass die Zahle die erste Glieder eier arithmetische Folge sid. Wie lautet das Bildugsgesetz? 9

10 Aufgabe 9) Beim Verkauf eies Pferdes werde für de. Hufagel DM, für de. Hufagel DM, für de 3. Hufagel 4DM usw. berechet. Wie teuer ist das Pferd, we es mit 3 Nägel beschlage ist? Aufgabe 0) Ab dem wievielte Glied eier uedliche geometrische Folge mit a = ud q = 3 weicht der Wert des Folgegliedes weiger als vom Grezwert ab? 000 Aufgabe ) Etscheide Sie, ob es sich um eie arithmetische oder geometrische Folge hadelt ud bestimme Sie: Aufgabe ) a) gegebe: <a > = <, 4, 7...> gesucht: a b) gegebe: <a > = <7,, 5...> gesucht: a 5 c) gegebe: <a > = <3, 6,...> gesucht: a 0 d) gegebe: <a > = <36,, 4...> gesucht: a 6 e) gegebe: <a > = <-5, 5, -5...> gesucht: a 8 Wie viele dreistellige Zahle sid durch 3 teilbar? Aufgabe 3) Wie lautet das Bildugsgesetz eier arithmetische Folge mit a = 6 ud a 5 = 60? Aufgabe 4) Schalte Sie zwische 5 ud 50 vier atürliche Zahle so ei, dass eie geometrische Folge vo 6 Glieder etsteht. Wie heiße die Folgeglieder? Aufgabe 5) I 590 Jahre zerfällt Radium auf die Hälfte seier Masse (Halbwertszeit). I welcher Zeit sid vo g Radium och mg übrig? Aufgabe 6) Die Itesität eier radioaktive Strahlug immt beim Durchgag durch eie Bleiplatte um 0% ab. Wie viel Prozet des Afagswertes (00%) sid ach Durchdrigug der 5. Bleiplatte och vorhade? Aufgabe 7) Ei Kapital wird zu eiem effektive Jahreszis vo 4,5% solage agelegt, bis es sich verdoppelt hat. Wie viele Jahre muss ma warte? Aufgabe 8) Ei Turm wird aus Würfel gebaut. Der erste Würfel hat eie Kateläge vo l = m, der zweite l = 0,5m. Jeder weitere hat die halbe Kateläge des daruter liegede Würfels. Welche Höhe immt der Turm a, we uedlich viele Würfel aufeiadergesetzt werde? 0

11 Lösuge: ) a) <a > = < ; 4; 6; 8; 0...> b) <a > = < ; 3; 5; 7; 9...> c) <a > = < ; ; ; ;... > ) a) a = 59 b) a = 3 c) = d) d = 3 5) a) Die Folge ist streg mooto falled. b) Die Folge ist mooto steiged. 7) a) g = 0 b) g = 3 c) g = 0 9) a) S = 47 b) a = 5 c) = 00 d) d = 5 ) a = 4 a 3 = 6 a 4 = 64 ) a) <a > = < 3 + > b) <a > = < > c) <a > = < > + 4) a) a = 4 b) a = 7 c) = 3 d) q = 0,5 6) a) > 99 b) > 7 c) > 4,9 8) a) s = ; s = b) s = 0 c) s = ; s = 0) a) S = 78 b) a = 5 c) = 3 d) q = 3 ) = 40 3) = 6 4) = 66 5) a) ϑ = 6, 5 C b) t = 05m 7) a) a = 3 3 b) = 9 q 6) a) a 9 = 57 b) S 9 = 6 8) = ( ) 3 a 9) a3 = DM 0) ab dem 8. Folgeglied ) a) a = 3 arithm. b) a 5 = 63 arithm. c) a 0 = 536 geom. d) a 6 = 0, 48 geom. e) a 8 = geom. ) = 69

12 3) a = 6 + ( ) 6 4) a = 5 a = 0 a 3 = 80 a 4 = 30 a 5 = 80 a 6 = 50 5) t = 7435,6 Jahre Asatz: 7) t = 5,7 Jahre Asatz: 0,00= 590 4,5 K = K ) 6,% Asatz: a 6 6 = 0, 8 8) h = m Asatz: h = lim