4 Reihen. s n = a 1 + a a n = Die Folge (s n ) n N der Partialsummen heißt eine (unendliche) Reihe und wird auch als a k. k=1. )n N geschrieben.

Transkript

1 4 Reihen Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Sei (a k ) k N eine Folge. Wir definieren die n-te Partialsumme (oder: Teilsumme) der Folge (a k ) k N durch Aufaddieren der ersten n Folgenglieder, also s n = a + a a n = a k für alle n N. Die Folge (s n ) n N der Partialsummen heißt eine (unendliche) ( n Reihe und wird auch als a k )n N geschrieben.

2 Die Bezeichnung n-te Partialsumme bezieht sich auf die Anzahl der aufsummierten Folgenglieder. Beachten Sie, dass zur Darstellung der n-ten Partialsumme mit dem Summenzeichen ein zweiter Laufindex, hier k, benötigt wird. Bei Reihen treten also immer zwei verschiedene Folgen auf: die Folge (a k ) k N der einzelnen Glieder und die Folge (s n ) n N der Partialsummen, das ist dann die Reihe. 2

3 Beispiel 4.. Sei a k = k. Dann ist s n = n = s 3 = = 6, s 0 = = s 00 5, 9 s , 79. 2, 93, k, z.b. Die Reihe (s n ) n N heißt harmonische Reihe. 3

4 2. Ist a k =, dann ist 2 k s 3 = = 7 = 0, s 0 = 023 0, s 00 0, Sei a k = k. Dann ist s 2 = 3, s 0 = = 55, s 00 =

5 4. Sei a k = ( ) k k. Dann ist s 3 = = 5 6, s 0 = s , 6930, s , , 6456, In diesem Fall heißt die Folge (s n ) n N alternierende harmonische Reihe. 5. Ist a k = ( ) k, dann ist die Folge der Partialsummen gegeben durch s =, s 2 = + = 0, s 3 = + + ( ) =, s 4 = 0 und allgemein s 2n = 0 und s 2n = für alle n N. 5

6 Die Graphen der Folgen (s n ) in Beispiel 4.. und 4 sehen folgendermaßen aus. Beispiel 4.: Harmonische Reihe x Beispiel 4.4: Alternierende harmonische Reihe x

7 Ist (a k ) k N eine geometrische Folge, so heißt a k )n N geometrische Reihe. ( n Ist (a k ) k N eine arithmetische Folge, so heißt a k )n N arithmetische Reihe. ( n Da bei geometrischen bzw. arithmetischen Folgen alle Folgenglieder bereits durch a und den Quotienten q bzw. die Differenz d vollständig festgelegt sind, lassen sich auch die Partialsummen allein aus a und q bzw. d berechnen. 7

8 . Sei (a k ) k N eine arithmetische Folge mit a k+ = a k + d. Dann ist ( ) (n ) d s n = a k = n a Ist (a k ) k N eine geometrische Folge mit a k+ s n = a k = q, so ist na falls q =, a k = q n a falls q. q 8

9 Beispiel 4.2. Die Folge a k = 2 k ist geometrisch. Daher bilden die zugehörigen Partialsummen eine geometrische Reihe und lassen sich berechnen durch s n = 2 (/2)n /2 = 2n 2 n, siehe etwa s 0 in Beispiel Die Folge a k = k aus Beispiel 4..3 ist arithmetisch mit d = und a =. Folglich ist die Folge (s n ) n N der Partialsummen eine arithmetische Reihe und die Summen lassen sich berechnen durch ( s n = n + n ) 2 = n(n + ). 2 9

10 3. Für die geometrische Folge a k = 5 3 k ergeben sich die Partialsummen etwa s 0 = s n = 5 3n, 2 4. Ist a k = 3 4k+, dann 3 s n = 4 = 3 k+ 6 ( 4 )n 4 = ( 4 )n. 4 Zum Beispiel ist s 5 = ( 4 )5 4 = ,

11 Da Reihen nur eine spezielle Form von Folgen sind, lassen sich die Begriffe aus dem letzten Abschnitt übertragen. Auch der Grenzwertbegriff lässt sich übertragen. Eine Reihe (s n ) n N mit s n = heißt konvergent (bzw. divergent), wenn sie als Folge konvergiert (bzw. divergiert). Ist sie konvergent, so schreiben wir für den Grenzwert lim s n = lim n n a k a k = a k.

12 Beachten Sie, dass das Symbol a k den Grenzwert der Reihe (und nicht die Reihe selbst) bezeichnet, sofern er existiert. Entsprechend wird die bestimmte Divergenz für Folgen auf Reihen übertragen. Beispiel 4.3. Harmonische Reihe: Die zur Folge ( k ) k N gehörende Reihe ( n k ) n N ist divergent, genauer k =. 2

13 2. Dezimalzahlen: Eine Zahl r = r 0, r r 2 r 3 mit r 0 N 0 und r n {0,..., 9} für n hat den Wert r = r 0 + r 0 + r = r k 0 k Sie ist also gerade der Grenzwert der zur Folge (r k 0 k ) k N0 gehörenden Reihe ( n r k 0 k ) n N0. (Diese Reihe ist tatsächlich immer konvergiert.) 3

14 k 2 +k ) n N kon- 3. Die zur Folge ( k 2 +k ) k N gehörende Reihe ( n vergiert gegen, also k 2 + k =, denn k 2 +k = k k+ k 2 + k = und somit und daher = + k n = n + k + n k + k 2 + k =. 4 k + n +

15 Dabei haben wir benutzt: n k = + k +. Analog zeigt man die Konvergenz der Reihe ( k=2 ) k 2 k n N indem man k 2 k = k k benutzt. 5

16 Es gibt eine sehr einfache notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Folge. Satz 4. Ist die Reihe ( n a k) n N konvergent, dann gilt lim a k = 0. k Achtung: die Umkehrung gilt nicht! Die obige Aussage lässt sich auch formulieren als Ist (a k ) k N keine Nullfolge, dann konvergiert die Reihe ( n a k) n N nicht. 6

17 Beispiel 4.4. Die Folge (a k ) k N mit a k = 3k+5 6k ist keine Nullfolge, daher ist die zugehörige Reihe nicht konvergent. 2. Die Folge (a k ) k N mit a k = k ist eine Nullfolge, aber die zugehörige Reihe (das ist genau die harmonische Reihe) ist nicht konvergent. Es folgt nun sofort: Die arithmetische Reihe zu der Folge mit a k+ = a k + d konvergiert nur für a = d = 0. Die Beschreibung des Konvergenzverhaltens geometrischer Reihen ist etwas aufwändiger. 7

18 Grenzwert geometrischer Reihen: Sei (a k ) k N eine geometrische Folge mit a k+ a k = q R und a 0.. Ist q <, dann konvergiert die geometrische Reihe ( n a k) n N, und es gilt a k = lim n a k = lim n a q n q = a q. 2. Für q ist die geometrische Reihe divergent. Beachten Sie, dass hier a k = a q k gilt. Setzen wir a =, so erhalten wir q k = q k für q < = q für q 8

19 Beachten Sie bitte den kleinen Unterschied, wenn die Summation mit k = beginnt: { q q k für q < = q für q Beispiel 4.5 Sei a k = ( ) 2 k 7 und sn = n a k. Dann ist lim s n = n a k = (2) k = = 7 5 Die Konvergenz ist sehr schnell. Es ist zum Beispiel s 0, , s 6, =, 4. 9

20 Durch einige Umformungen lässt sich auch Konvergenzverhalten und Grenzwert der Reihe ( ) 2 k 3 7 k+ bestimmen. Diese Reihe ist nicht geometrisch, setzt sich aber aus geometrischen Reihen zusammen. Setze s n = n 2k 3. Dann ist 7 nach den Rechenregeln für Summen k+ ( 2 k s n = 7 3 ) = k+ 7 k+ = ( 2 ) k 3 ( ) k ) k 7( 7 3 ) k 7( 7 Also folgt nach den Grenzwertformeln für die geometrische Reihe 20

21 sowie nach den Rechenregeln für Grenzwerte von Folgen lim n s n = 7 = 7 ( 2 ) k ( k 7) 7 = 5 2 = 0, 3. 2