4 Reihen und Finanzmathematik

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1 4 Reihen und Finanzmathematik 4. Reihen Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Sei (a n ) n N eine Folge. Wir definieren die n-te Partialsumme (oder: Teilsumme) der Folge (a n ) n N durch Aufaddieren der ersten n Folgenglieder, also s n = a + a a n = n a k für alle n N. Die Folge (s n ) n N der Partialsummen heißt eine (unendliche) ( n Reihe und wird auch als a k )n N geschrieben.

2 Die Bezeichnung n-te Partialsumme bezieht sich auf die Anzahl der aufsummierten Folgenglieder. Beachten Sie, dass zur Darstellung der n-ten Partialsumme mit dem Summenzeichen ein zweiter Laufindex, hier k, benötigt wird. Bei Reihen treten also immer zwei verschiedene Folgen auf: die Folge (a n ) n N der einzelnen Glieder und die Folge (s n ) n N der Partialsummen, das ist dann die Reihe. 2

3 Beispiel 4.. Sei a n = n. Dann ist s n = n = n s 3 = = 6, s 0 = = s 00 5, 9 s , 79. 2, 93, k, z.b. Die Reihe (s n ) n N heißt harmonische Reihe. 3

4 2. Ist a n = 2 n, dann ist s 3 = = 7 = 0, s 0 = 023 0, s 00 0, Sei a n = n. Dann ist s 2 = 3, s 0 = = 55, s 00 =

5 4. Sei a n = ( ) n n. Dann ist s 3 = = 5 6, s 0 = s , 6930, s , , 6456, In diesem Fall heißt die Folge (s n ) n N alternierende harmonische Reihe. 5. Ist a n = ( ) n, dann ist die Folge der Partialsummen gegeben durch s =, s 2 = + = 0, s 3 = + + ( ) =, s 4 = 0 und allgemein s 2n = 0 und s 2n = für alle n N. 5

6 Die Graphen der Folgen (s n ) in Beispiel 4.. und 4 sehen folgendermaßen aus. Beispiel 4.: Harmonische Reihe x Beispiel 4.4: Alternierende harmonische Reihe x

7 Ist (a n ) n N eine geometrische Folge, so heißt a k )n N geometrische Reihe. ( n Ist (a n ) n N eine arithmetische Folge, so heißt a k )n N arithmetische Reihe. ( n Da bei geometrischen bzw. arithmetischen Folgen alle Folgenglieder bereits durch a und den Quotienten q bzw. die Differenz d vollständig festgelegt sind, lassen sich auch die Partialsummen allein aus a und q bzw. d berechnen. 7

8 . Sei (a n ) eine arithmetische Folge mit a n+ = a n + d. Dann ist n ( ) (n ) d s n = a k = n a Ist (a n ) eine geometrische Folge mit a n+ s n = a n = q, so ist n na falls q =, a k = q n a falls q. q 8

9 Beispiel 4.2. Die Folge a n = 2 n ist geometrisch. Daher bilden die zugehörigen Partialsummen eine geometrische Reihe und lassen sich berechnen durch s n = 2 (/2)n /2 = 2n 2 n, siehe etwa s 0 in Beispiel Die Folge a n = n aus Beispiel 4..3 ist arithmetisch mit d = und a =. Folglich ist die Folge (s n ) n N der Partialsummen eine arithmetische Reihe und die Summen lassen sich berechnen durch ( s n = n + n ) 2 = n(n + ). 2 9

10 3. Für die geometrische Folge a n = 5 3 n ergeben sich die Partialsummen etwa s 0 = s n = 5 3n, 2 4. Ist a n = 3 4n+, dann ist mit Hilfe der Rechenregeln für Summen n 3 n s n = 4 = 3() k 3 n () k = k = ( 4 )n 4 = 3 6 4( ( 4 )n ) 4 = ( 4 )n. 4 Zum Beispiel ist s 5 = ( 4 )5 4 = ,

11 Da Reihen nur eine spezielle Form von Folgen sind, lassen sich die Begriffe aus dem letzten Abschnitt übertragen. Eine Reihe (s n ) n N mit s n = n heißt (streng) monoton steigend oder fallend bzw. beschränkt, falls die Folge (s n ) n N diese Eigenschaften hat. Beispiel 4.3 ( n ) Die harmonische Reihe ist streng monoton steigend, da in jedem Schritt eine positive Zahl addiert k n N wird. a k

12 Allgemein ist jede Reihe ( n a k )n N streng monoton steigend (bzw. fallend), wenn a n > 0 (bzw. a n < 0) für alle n N ist. ( n ) Für alle a, q > 0 ist die geometrische Reihe aq k streng monoton steigend. Für a > 0 und q < 0 ist die geometrische Reihe ( n ) aq k weder streng monoton steigend noch fallend, denn es wird abwechselnd eine positive Zahl addiert oder subtrahiert. So ist etwa für q = 2 s = 0, 5, s 2 = 0, 25, s 3 = 0, 375, s 4 = 0, 325, s 5 = 0,

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14 Auch der Grenzwertbegriff lässt sich übertragen. Eine Reihe (s n ) n N mit s n = n heißt konvergent (bzw. divergent), wenn sie als Folge konvergiert (bzw. divergiert). Ist sie konvergent, so schreiben wir für den Grenzwert lim s n = lim n n Beachten Sie, dass das Symbol a k n a k = a k. a k den Grenzwert der Reihe (und nicht die Reihe selbst) bezeichnet, sofern er existiert. Entsprechend 3

15 wird die bestimmte Divergenz für Folgen auf Reihen übertragen. Beispiel 4.4. Harmonische Reihe: Die zur Folge ( k ) k N gehörende Reihe ( n k ) n N ist divergent, genauer k =. 2. Dezimalzahlen: Eine Zahl r = r 0, r r 2 r 3 mit r 0 N 0 und r n {0,..., 9} für n hat den Wert r = r 0 + r 0 + r = r k 0 k Sie ist also gerade der Grenzwert der zur Folge (r k 0 k ) k N0 gehörenden Reihe ( n k=0 r k 0 k ) n N0. Dass diese Reihe tatsächlich 4 k=0

16 immer konvergiert, wird später in Beispiel noch mal begründet. k 2 +k ) n N kon- 3. Die zur Folge ( k 2 +k ) k N gehörende Reihe ( n vergiert gegen, also denn k 2 +k = k k+ n k 2 + k = k 2 + k =, und daher n = + n k n = n + 5 k + n k + k + n +

17 und somit Dabei haben wir benutzt: n k 2 + k =. n k = + k +. Analog zeigt man die Konvergenz der Reihe ( n k=2 ) k 2 k n N indem man k 2 k = k k benutzt. 6

18 Es gibt eine sehr einfache notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Folge. Satz 4. Ist die Reihe ( n a k) n N konvergent, dann gilt lim a n = 0. n Achtung: die Umkehrung gilt nicht! Die obige Aussage lässt sich auch formulieren als Ist (a n ) n N keine Nullfolge, dann konvergiert die Reihe ( n a k) n N nicht. 7

19 Beispiel 4.5. Die Folge (a n ) n N mit a n = 3n+5 6n ist keine Nullfolge, daher ist die zugehörige Reihe nicht konvergent. 2. Die Folge (a n ) n N mit a n = n ist eine Nullfolge, aber die zugehörige Reihe (das ist genau die harmonische Reihe) ist nicht konvergent. Es folgt nun sofort: Die arithmetische Reihe zu der Folge mit a n+ = a n + d konvergiert nur für a = d = 0. Die Beschreibung des Konvergenzverhaltens geometrischer Reihen ist etwas aufwändiger. 8

20 Grenzwert geometrischer Reihen: Sei (a n ) n N eine geometrische Folge mit a n+ a n = q R und a 0.. Ist q <, dann konvergiert die geometrische Reihe ( n a k) n N, und es gilt a k = lim n n a k = lim n a q n q = a q. 2. Für q ist die geometrische Reihe divergent. Beachten Sie, dass hier a n = a q n gilt. Setzen wir a =, so erhalten wir q k = q k für q < = q für q k=0 9

21 Beachten Sie bitte den kleinen Unterschied, wenn die Summation mit k = beginnt: { q q k für q < = q für q Beispiel 4.6 Sei a n = ( ) 2 n 7 und sn = n a k. Dann ist lim s n = n k=0 a k = k=0 (2) k = = 7 5 Die Konvergenz ist sehr schnell. Es ist zum Beispiel s 0, , s 6, =, 4. 20

22 Durch einige Umformungen lässt sich auch Konvergenzverhalten und Grenzwert der Reihe ( n ) 2 k 3 7 k+ k=0 bestimmen. Diese Reihe ist nicht geometrisch, setzt sich aber aus geometrischen Reihen zusammen. Setze s n = n k=0 2k 3. Dann ist 7 nach den Rechenregeln für Summen k+ n ( 2 k s n = 7 3 ) n = k+ 7 k+ k=0 k=0 = n ( 2 ) k 3 n ( ) k k=0 k=0 2 ) k n 7( 7 k=0 3 ) k 7( 7 Also folgt nach den Grenzwertformeln für die geometrische Reihe 2

23 sowie nach den Rechenregeln für Grenzwerte von Folgen lim n s n = 7 = 7 ( 2 ) k k= ( k 7) k=0 7 = 5 2 = 0, 3. 22

24 Für Reihen gibt es einige einfache Kriterien für Konvergenz. Sie besagen allerdings nur, ob eine gegebene Reihe konvergiert, geben aber nicht den zugehörigen Grenzwert an. Ein hinreichendes Kriterium für spezielle Reihen ist das Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen: Sei (a n ) n N eine monoton fallende Folge nicht-negativer Zahlen mit lim n = 0. Dann ist die alternierende Reihe n ( n konvergent. ( ) k a k ) Es ist wichtig, dass a n 0 für alle n N. 23 n N

25 Beispiel 4.7 Die alternierende harmonische Reihe konvergiert. ( n ( ) k ) k n N Ohne den genauen Grenzwert zu kennen, zeigen die in Beispiel 4..4 ausgerechneten Partialsummen, dass die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe sehr langsam ist. Die Partialsummen s 5000 und s 0000 unterscheiden sich noch in der 4. Dezimalstelle. Vergleichen Sie dies auch mit der Konvergenz der geometrischen Reihe in Beispiel

26 Quotientenkriterium I Sei ( n a k) n N eine Reihe, und es gebe ein k 0 N mit a k 0 für alle k k 0. Gibt es ein c (0, ) mit a k+ a k c für alle k k 0, dann konvergiert die Reihe ( n a k) n N. Quotientenkriterium II Gibt es eine Zahl c > mit a k+ a k c für alle k k 0, dann ist die Reihe ( n a k) n N divergent. Wenn weder Quotientenkriterium I noch II erfüllt sind, macht das Kriterium keine Aussage über das Konvergenzverhalten der Reihe. 25

27 Als Folgerung erhalten wir: Ist die Folge der Quotienten Q k := gilt: ( a k+ a k ) k N ist lim k Q k <, so konvergiert die Reihe ( n ist lim k Q k >, so divergiert die Reihe ( n konvergent, dann ist lim k Q k =, so ist keine Aussage möglich. a k )n N a k )n N 26

28 Beispiel 4.8. Die Reihe (s n ) n N mit s n = n k 3 2k 3 k ist konvergent, denn es ist a k = k3 2k > 0 für alle k > und 3 k a k+ a k = (k + ) 3 2(k + ) 3 k 3 k+ k 3 2k = 3 k (k 3 + 3k 2 + 3k + 2k 2) 3 k+ (k 3 2k) = k 3 + 3k 2 + k 3(k 3 2k) k 3. Also ist für genügend großes k der Quotient a k+ a stets kleiner k als und die Reihe konvergiert. 27

29 2. Die Reihe (s n ) n N mit s n = n a k = 3k > 0 für alle k N und k 2 a k+ a k = 3k+ (k + ) k2 2 3 = 3k 2 k k 2 + 2k + 3 k konvergiert nicht, denn k2 k 3 Also ist für genügend großes k der Quotient echt größer als. n 3. Für die Reihe (s n ) n N mit s n = ist keine Aussage k 2 möglich, denn a k+ a k = (k + ) k2 2 = k 2 k. k 2 + 2k + Übrigens konvergiert diese Reihe, und zwar gegen π

30 Besonders wichtig ist das folgende Beispiel. Beispiel 4.9 Die Reihe ( n k=0 x k ) k! n N konvergiert für jedes feste x R nach dem Quotientenkriterium, denn mit a k = xk k! ist a k+ a k = x k+ k! x k (k + )! = x k +. Also ist für k 2 x a k+ a k x 2 x + < x 2 x = 2 Somit ist mit c = 2 konvergiert. das Quotientenkriterium erfüllt, und die Reihe 29

31 ( n ) Der Grenzwert der Reihe k=0 xk k! definierten Wert e x überein, es gilt also e x = lim ( + x ) n = n n k=0 Insbesondere ist für x = e= lim ( + ) n = n n k=0 x k k! n N stimmt mit dem früher = + x + x2 2! + x3 3! +. k! = Beachten Sie wieder, dass die Summation hier mit dem Index k = 0 beginnt. Für die Frage nach der Konvergenz der Reihe ist das unerheblich, es ist aber wichtig, wenn man konkret den Grenzwert ausrechnen will. 30

32 Für kleine Werte von x wie sie z.b. in der Zinsrechnung auftreten liefert die Reihendarstellung von e x ( bessere Näherungswerte für die Exponentialfunktion als die Folge + n) x n. Das zeigen etwa folgende Näherungswerte von e 2, indem man x = einsetzt: n ( + n n )n k=0 k! , 25 2, 5 3 2, 370 2, , 44 2, , 488 2, , 594 2,

33 Ein sehr praktisches Hilfsmittel zur Bestimmung des Konvergenzverhaltens einer Reihe ist noch Majoranten-Kriterium: Sei (a n ) n N eine gegebene Folge. Außerdem sei ( n b k) n N eine konvergente Reihe, und es gebe ein n 0 N mit Dann konvergiert auch die Reihe a n b n für alle n n 0. ( n a k) n N. 32

34 Beispiel 4.0. Die zur Folge ( ) n 2 n N gehörende Reihe ( n ) k 2 n N konvergiert, denn k für alle k 2 2 k 2 k und die Reihe ( n k=2 2. Die Reihe für Dezimalzahlen k 2 k ) n N konvergiert nach Beispiel r = r 0 + r 0 + r = r k 0 k, k=0 wobei r k {0,..., 9} für k N, konvergiert, da r k 0 k 9 0 k für alle k N und ( ) k 9 0 k 9 = 9 = 0 = 0 0 k=0 k=0 33

35 aufgrund der Formel für den Grenzwert einer geometrischen Reihe. 34