Staatsexamensaufgabe 2001/II,1 Teilaufgabe 3

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1 Staatsexamensaufgabe 2001/II,1 Teilaufgabe 3 Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der exponentielles und lineares Wachstum gegenübergestellt werden! Sachanalyse Diese finden Sie in einem ausgeführten Hefteintrag, welcher im Bereich der Problemlösung dargelegt ist. Bei der beschriebenen Stunde handelt es sich um eine Unterrichtseinheit im Anschluss an die Einführung der Exponentialfunktion. Dieses Thema wird in der 10. Jahrgangsstufe behandelt. Lernvoraussetzungen - Schüler kennen lineare Funktionen und ihre Eigenschaften und können sowohl den Term als auch den Graphen auf-/erstellen - Schüler kennen Beispiele, die sich durch lineare Funktionen beschreiben lassen, z.b. Telefongebühren bei fester Grundgebühr oder für lineares Wachstum z.b. geleistete Arbeit in Abhängigkeit von der Zeit - Schüler kennen den Funktionsterm einer Exponentialfunktionen - Schüler können Wertetabellen und Graphen anhand von Daten anfertigen Lernziele Grobziel: Schüler sollen Gemeinsamkeiten und Unterschiede exponentiellen und linearen Wachstums kennen und vergleichen können Feinziele: - Schüler kennen Eigenschaften des exponentiellen Wachstums - Schüler lernen Beispiele (insbesondere Umweltbeispiele) exponentiellen Wachstums kennen - Schüler erkennen exponentielles Wachstum anhand numerischer, graphischer und symbolischer Darstellungen Didaktische Überlegungen zur Auswahl des Inhalts der Unterrichtseinheit: Bis zu dieser Stunde haben die Schüler vor allem Beispiele für lineares Wachstum im Unterricht behandelt. Ausgehend von diesen Kenntnissen sollen sie nun durch einen Vergleich des linearen mit dem exponentiellen Wachstum an einem Beispiel die Eigenschaften des exponentiellen Wachstums eigenständig herausarbeiten. Sie sollen dieses sowohl anhand von numerischen (Wertetabellen), graphischen (Funktionsgraph) und symbolischen (Funktionsgleichung) Darstellungsformen wiedererkennen, und sie sollen diese Darstellungen selbst erstellen können. Ausgehend von ihren zuvor an einem Beispiel gesammelten Erkenntnissen über die Eigenschaften des exponentiellen Wachstums sollen Schüler eigenständig Umweltbeispiele recherchieren und mittels dieses Transfers selbst die Bedeutung dieses Wachstums für Umwelt und Gesellschaft erörtern. Unterrichtsverlauf Einstieg Aufgabe Bei einer Quizshow werden dem Kandidaten bis zu 10 Fragen gestellt. Wird eine Frage nicht oder falsch beantwortet, scheidet der Kandidat mit dem bis dahin erzielten Gewinn aus. Vor der Fragerunde muss der Kandidat zwischen zwei Gewinnvarianten wählen: Variante 1: Jede richtig beantwortete Frage erbringt 100 Gewinn

2 Variante 2: Die erste richtig beantwortete Frage gibt ein Startguthaben von 20, jede weitere richtig beantwortete Frage verdoppelt den Gewinn a) Überlege dir, welche Variante du spontan wählen würdest und diskutiere anschließend mit deinem Nachbarn darüber. Anhand der Teilaufgabe a) sollen Schüler das Problem anhand des intuitiven Eindrucks diskutieren. Aufgrund der Zahlenwahl ist es durchaus möglich, dass sich die Schüler für die Variante mit linearem Zuwachs entscheiden. Diese Wahl soll im Folgenden durch eine systematische Betrachtung erörtert werden. Problemstellung und -lösung b) Gebt für beide Varianten - eine Wertetabelle, - die Funktionsgleichung und - den Funktionsgraphen an. c) Vergleicht die beiden Gewinnvarianten und überlegt euch, welche Gewinnvariante unter welchen Umständen günstiger ist. d) Inwiefern würde sich eure Entscheidung ändern, wenn einer der beiden Geldbeträge für eine richtige Frage ein anderer wäre? Arbeitet dabei mit der Datei Gewinnstufen.html

3 Didaktische Überlegungen Nachdem die Schüler mit Teilaufgabe a) durch eine Art des Abschätzens an die Problemstellung herangeführt werden, soll nun in den daran folgenden Teilaufgaben b) d) eine systematische und vergleichende Betrachtung der beiden Wachstumsarten erfolgen. Hierfür sollen die Schüler zum einen das Änderungsverhalten an einzelnen Wertepaaren durch eine Wertetabelle, zum anderen am Graphen den unterschiedlichen Verlauf im Ganzen miteinander vergleichend betrachten (siehe folgende Abb.). In Teilaufgabe c) ist eine nicht eindeutig zu beantwortende Fragestellung angeführt, um die Schüler zu einer kontextbezogenen, begründeten Antwort gegenüber ihrem Mitschüler aufzufordern. Auch in Teilaufgabe a) wird bereits eine Meinungsäußerung gefordert, weshalb sich in der kompletten Aufgabe, Gruppenarbeit sehr gut eignet. Ein derartiger Vergleich der beiden Wachstumsarten soll aber nicht nur auf dieses eine Zahlenbeispiel beschränkt bleiben, weswegen in Teilaufgabe d) das exponentielle und lineare Wachstum in numerischen, graphischen und symbolischen Darstellungsformen aber mit variierenden Parametern betrachtet werden soll. Dabei sollen Schüler erkennen, dass die Änderungsrate zuerst beim linearen Wachstum später, in Abhängigkeit von den einzelnen Parametern, ab einem gewissen Zeitpunkt (x- Wert) beim exponentiellen Wachstum größer ist. Im Kontext dieser Aufgabenstellung ist daher eine der beiden Wachstumsarten, wiederum in Abhängigkeit der Parameter, als günstiger zu bewerten. Nun werden im Klassengespräch die Erkenntnisse aus den einzelnen Gruppen gesammelt und in einem Hefteintrag die Unterschiede zwischen exponentiellem und linearem Wachstum gegenübergestellt. Dabei wird im Klassengespräch versucht, die Aufgabenergebnisse kombiniert mit dem Wissen über lineares Wachstum ansatzweise zu verallgemeinern.

4 Hefteintrag: Definition Lineares Wachstum Von linearem Wachstum spricht man, wenn ein Vorgang in Abhängigkeit von der Zeit mithilfe einer linearen Funktion beschrieben werden kann. Exponentielles Wachstum Von exponentiellem Wachstum spricht man, wenn ein Vorgang in Abhängigkeit von der Zeit mithilfe einer Exponentialfunktion beschrieben werden kann. Funktionsgleichung Wachstumsfaktor und Ausgangsgröße Dabei ist der Wachstumsfaktor und die Maßzahl der Ausgangsgröße Ñ Ñ 1 Ñ Graphen Definitions- und Wertemenge Ñ Ñ Änderung Der Funktionswert ändert sich in gleichen Zeitabschnitten um denselben Betrag. Die Wachstumszunahme ist damit konstant. Der Funktionswert vervielfacht sich in gleichen Zeitabschnitten mit demselben Faktor. Die Wachstumszunahme wird stets größer. Nach sehr langen Zeitdauern wächst das exponentielle schneller als jegliches lineare Wachstum.

5 Sicherung In der Sicherungsphase soll die folgende Aufgabe gelöst werden: Aufgabe Hier siehst du die Gewinnstufen der Sendung Wer wird Millionär 1. Frage: Frage: Frage: Frage: Frage: 500 ; Sicherheitsstufe* 6. Frage: Frage: Frage: Frage: Frage: ; Sicherheitsstufe* 11. Frage: Frage: Frage: Frage: Frage: * Der Betrag der Sicherheitsstufe bleibt dem Kandidaten auch, wenn er bei einer späteren Frage falsch antwortet. a) An welche Form des Wachstums erinnert dich diese Gewinnstufenverteilung (als Ganzes)? b) Gib verschiedene Funktionsgleichungen eines exponentiellen oder linearen Wachstums an, welches in mindestens 3 Wertepaaren mit den obigen Gewinnstufen übereinstimmt. c) Vergleiche zuerst die Ergebnisse aus Teilaufgabe a) und b) mit deinem Nachbarn und diskutiere anschließend, warum sich der Fernsehsender von Wer wird Millionär für diese Verteilung entschieden hat und nicht für eine exponentielle Gewinnvariante mit Basis 2 und 50 bei der ersten richtigen Antwort. Dabei dürft ihr erneut die Datei Gewinnstufen.html verwenden. Didaktische Überlegungen In dieser Aufgabe sollen die Schüler anhand der Tabelle zum einen aufgrund der Abfolge verschiedener Gewinnstufen erneut einen Zusammenhang zu exponentiellem Wachstum herstellen, aber zudem erkennen, dass hier zwischen verschiedenen Funktionsgleichungen mit exponentiellem als auch linearem Wachstum abgewechselt wird. Außerdem sollen die Schüler betrachten, inwiefern die Abänderung am Verlauf des Graphen für den Sender positiv ist. Auf diese Weise wird erneut der Verlauf und dabei gezielt des Änderungsverhalten der Exponentialfunktion betrachtet. Um sicherzustellen, dass bei jedem Schüler die Fähigkeit zum Erkennen, Unterscheiden vom linearen Wachstum und Aufstellen der dazu gehörenden Funktionsgleichung auch zu einem späteren Zeitpunkt vorhanden ist, werden die Teilaufgaben a) und b) in Einzelarbeit bearbeitet. Vertiefung Aufgabe: Das exponentielle Wachstum tritt auch in unserer Umwelt auf. Suche im Internet nach entsprechenden Beispielen.

6 Didaktische Überlegungen Mittels dieser Aufgabe sollen die Schüler ihre Kenntnisse, welche sie anhand von zwei konstruierten Beispielen aus einem Themenbereich gesammelt haben, auf Umweltbeispiele übertragen. Auf diese Weise sollen sie einerseits auch in anderen Zusammenhängen exponentielles Wachstum (wieder-)erkennen können und andererseits die Bedeutung des exponentiellen Wachstums für die jeweilige Situation erkennen. Dies erhebt einen starken Transfer- und Reflexionsanspruch. Ausblick In der folgenden Stunde soll ein Beispiel aus der Umwelt (Bevölkerungswachstum, Zinseszins, Zellwachstum, ) behandelt werden, auf welches wenigstens einer der Schüler bei der Recherche gestoßen ist und das als Basiszahl nicht 2 besitzt, so dass auch dies als Sonderfall der letzten Stunde aufgedeckt wird. Zudem werden in anschließenden Stunden Beispiele mit Basen kleiner 1 behandelt, aber unter dem Begriff des exponentiellen Abklingens nicht aber des Wachstums.