Bem. Die mittlere Geschwindigkeit hängt i.a. nicht nur von t, sondern auch von t ab.

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1 40 8. Anwendungen der Differentialrechnung Beispiele aus der Phsik: Momentangeschwindigkeit Die Bewegung eines Massenpunktes wird mathematisch durch die zugrundeliegende Weg- Zeitfunktion beschrieben, d.h. es wird angegeben, welche Wegstrecke s in Funktion der Zeit t zurückgelegt wird. Hat der Massenpunkt zur Zeit t die Strecke s(t) zurückgelegt und legt er im folgenden Zeitintervall die Strecke s zurück, so erreicht er in diesem Intervall die mittlere s Geschwindigkeit: v = Der mittleren Geschwindigkeit entspricht im Graphen der Weg-Zeitfunktion die Steigung der Sekante PQ Bem. Die mittlere Geschwindigkeit hängt i.a. nicht nur von t, sondern auch von ab. Durch Grenzwertübergang für 0 erhält aus der mittleren Geschwindigkeit die Momentangeschwindigkeit: Def. Unter der Momentangeschwindigkeit verstehen wir die Ableitung der Weg-Zeit-Funktion ds nach der Zeit v = s& = Der Momentangeschwindigkeit entspricht im Graphen der Weg-Zeitfunktion die Tangentensteigung in P (als Grenzwert der Sekantensteigungen). Bem. Ableitungen nach der Zeit werden nach Newton 69 mit einem Punkt (statt Strich bezeichnet). phsanw 5.0.0/ul

2 4 B. Fallgesetz ( ) s t Der Graph der Funktion ist eine Ursprungsparabel. Mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall : v = = g ( t + ) geometrisch: Steigung der Sekante PQ. Momentangeschwindigkeit: B: = s gt 0 ds v = s& = = gt s t = v gt senkrechter Wurf ( ) 0 Momentangeschwindigkeit v( t) = v0 gt Uebungsaufgaben: a) Anna und Beat rennen zum selben Zeitpunkt los zu einem 50 m entfernten Punkt und wieder zurück, nach 0 Sekunden sind sie wieder am Start. Das Bild zeigt für beide Sportler die zurückgelegte Distanz in Abhängigkeit von der Zeit. a) Wer ist schneller? b) Zu welchem Zeitpunkt ist Anna am weitesten vor Beat und umgekehrt? c) Wie gross ist die Geschwindigkeit von Anna und Beat nach und nach 7 Sekunden? d) Wann springt Anna schneller als Beat? P:S: Weltrekord für 00 m ca. 9.6 s! (9..008) Lösung: Anna_Beat_Rennen.dfw b) In ein kegelförmiges Gefäss werden pro Sekunde q Liter Wasser gegossen. Mit welcher Geschwindigkeit steigt der Wasserpegel? Lösung. Die Pegelhöhe h(t) ist proportional zu proportional zu t t, die Geschwindigkeit h( t) & ist also phsanw 5.0.0/ul

3 4 Momentanbeschleunigung Hat der Massenpunkt zur Zeit t 0 die Geschwindigkeit v 0 und verändert sich die Geschwindigkeit im folgenden Zeitintervall um v, so beträgt nach Definition die mittlere Beschleunigung zwischen t und t + v a = Der mittleren Beschleunigung entspricht im Graphen der Geschwindigkeit-Zeitfunktion die Steigung der Sekante PQ Durch Grenzwertübergang für 0 erhält aus der mittleren Beschleunigung die Momentanbeschleunigung: Def. Unter der Momentanbeschleunigung verstehen wir die Ableitung der Geschwindigkeit-Zeit- Funktion nach der Zeit dv a = v& = =& s& Die Momentanbeschleunigung ist die zweite Ableitung der Weg-Zeitfunktion. Der Momentanbeschleunigung entspricht im Graphen der Geschwindigkeit-Zeitfunktion die grün dargestellte Tangentensteigung in P (als Grenzwert der Sekantensteigungen). Beispiele: freier Fall: dv a = v& = =& s& = g phsanw 5.0.0/ul

4 43 B: harmonische Schwingung eines Federpendels ( t) = r sin( ω t π ω = = πf T r: Amplitude v ( t) = & = rω cos( ωt a ( t) = v& ( t) = & = rω sin( ωt = ω Diese Beziehung zwischen einer Funktion und ihrer. Ableitung ist ein Beispiel für eine sogenannte Differentialgleichung. Als weitere Anwendungen der. Ableitung seine erwähnt: Definition der Stromstärke: I = dq = Q& Radioaktiver Zerfall: Die momentane Zerfallsrate ist proportional zu der Anzahl N(t) zur Zeit t noch vorhandenen dn Kerne: N& = = λn λ: Zerfallskonstante Induktionsgesetz: Ein zeitlich veränderlicher Induktionsfluss erzeugt in einem elektrischen Leiter eine Spannung U i nach der Gleichung: dφ Ui = n = n Φ & n: Anzahl Windungen Ein Beispiel aus der Wirtschaft. Grenzkosten Es bedeute C(x) die Kosten für die Produktion von x Einheiten. C ( x ) C ( x) + sind dann die zusätzlichen Kosten für die Herstellung einer weiteren Einheit. Unter den Grenzkosten versteht man : C ( x + h) C ( x) C ( x) = lim Grenzkosten h 0 h Die Grenzkosten sind also annähernd gleich den Mehrkosten um eine weitere Einheit zu produzieren. Bem: Ökonomen weisen mit dem Zusatz Grenz- oft auf eine. Ableitung hin. phsanw 5.0.0/ul

5 44 Differentialgleichungen Viele Vorgänge in der Natur können durch sogenannte Differentialgleichungen (DGl.) beschrieben werden. Unter einer DGl. versteht man eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion zusammen mit ihren Ableitungen (und den Variablen) vorkommt. Beim Aufstellen einer DGl. trifft man i.a. vereinfachende Annahmen, d.h. man beschreibt die Wirklichkeit durch ein mathematisches Modell. Als Beispiele seien erwähnt die. DGl. für lineares Wachstum: Die momentane Wachstumsrate ist konstant: DGl. & = k Lösung = kt + c. DGl. für exponentielles Wachstum bzw. für den radioaktiven Zerfall mit der vereinfachenden Annahme: die momentane Wachstumsrate ist zum Funktionswert proportional kt DGl. k > 0 exp. Wachstum & = k Lösung = c e k = -λ < 0 exp. Zerfall Lösung 3. Differentialgleichung der harmonischen Schwingung: DGl. = ω = c e kt && Lösung = A sin( ωt phsanw 5.0.0/ul