Logarithmische Gleichungen

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1 Logarithmische Gleichungen Seite 1

2 Kapitel mit 107 Aufgaben Logarithmische Gleichungen Seite WIKI Regeln und Formeln 03 Level 1 Grundlagen Aufgabenblatt 1 (18 Aufgaben) 14 Lösungen zum Aufgabenblatt 1 15 Aufgabenblatt 2 (19 Aufgaben) 18 Lösungen zum Aufgabenblatt 2 19 Level 2 Fortgeschritten Aufgabenblatt 1 (18 Aufgaben) 24 Lösungen zum Aufgabenblatt 1 25 Aufgabenblatt 2 (18 Aufgaben) 30 Lösungen zum Aufgabenblatt 2 31 Level 3 Expert Aufgabenblatt 1 (10 Aufgaben) 36 Lösungen zum Aufgabenblatt 1 37 Aufgabenblatt 2 (12 Aufgaben) 40 Lösungen zum Aufgabenblatt 2 41 Aufgabenblatt 3 (12 Aufgaben) 44 Lösungen zum Aufgabenblatt 3 45 Seite 2

3 Einleitung Mit der Beziehung = lassen sich, ähnlich der Prozentrechnung drei verschiedene Arten von Bestimmungsgleichungen aufstellen, und zwar: 1. Art 2. Art 3. Art Die Frage nach der Basis führt auf eine Gleichung der Form Die Frage nach dem Logarithmuswert führt auf eine Gleichung der Form Die Frage nach dem Numerus führt auf eine Gleichung der Form = = =! 16= 9=2 % =4 Bei Gleichungen der 1. Art kann für grundsätzlich jede reelle Zahl stehen, weil Logarithmen jede reelle Zahl annehmen können. Bei Gleichungen der 2. Art können für nur positive reelle Zahlen ungleich stehen, weil die Basis eines Logarithmus stets positiv und ungleich 1 sein muss. Bei Gleichungen der 3. Art können für nur positive reelle Zahlen stehen, weil der Logarithmus nur von positiven Zahlen gebildet werden kann. Die Definitionsmenge der Gleichung = ist also die Menge der reellen Zahlen: =R. Gleichungen der 1. Art sind praktisch schon nach aufgelöst. = =! 16 = 16 2 =4 Da 4 in der Definitionsmenge enthalten ist, gilt für die Lösungsmenge: ={4} Die Definitionsmenge der Gleichung = ist also die Menge der positiven reellen Zahlen ohne 1: =R \{1}. Gleichungen der 2. Art führen auf eine Gleichung der Form " = 9=2! =9 $ =3! = 3 Da 3 in der Definitionsmenge nicht enthalten ist, gilt für die Lösungsmenge: ={3} Die Definitionsmenge der Gleichung = ist also die Menge der positiven reellen Zahlen: =R. Gleichungen der 3. Art führen auf eine Gleichung der Form = " % =4 =5 & =625 Da 625 in der Definitionsmenge enthalten ist, gilt für die Lösungsmenge: ={625} Seite 3

4 Logarithmische Gleichungen lösen Im Folgenden werden wir uns hauptsächlich mit Bestimmungsgleichungen beschäftigen, die im weitesten Sinne zur 3. Art gehören, wie beispielsweise ' (3+5* = 5! ( 2 1* = 3 + 3= 5 % (2+6* 5 (+3* =2 2 ' = 3 (+6*! = 1+ 2 (1+ 2 * Allen diesen Bestimmungsgleichungen gemeinsam ist, dass sie die Unbekannte im Numerus von Logarithmen enthalten. Derartige Gleichungen bezeichnen wir als logarithmische Gleichungen. Das Lösen logarithmischer Gleichungen erfolgt in 4 Schritten. 1. Schritt Da der Numerus eines Logarithmus nicht negativ werden kann, müssen wir zunächst die Definitionsmenge aufstellen, also ausschließen, für welche Werte von die Gleichung keine Lösung hat. 2. Schritt Wir Entlogarithmieren, d.h., wir potenzieren beide Seiten der Gleichung mit der Basis des Logarithmus. Anschließend lösen wir die Gleichung entsprechend den Äquivalenzregeln nach auf. 3. Schritt Wir schreiben die Lösungsmenge auf, prüfen zuvor jedoch, ob eventuell ein -Wert über die Definitionsmenge ausgeschlossen ist. 4. Schritt Wir setzen den / die gefundenen -Werte in die Ausgangsgleichung ein und machen die Probe. Wir betrachten uns die nachfolgenden Beispiele: Beispiel 1: 1. Schritt: Die Definitionsmenge ermitteln. 2. Schritt: Entlogarithmieren und nach auflösen. 3. Schritt: Die Lösungsmenge aufschreiben. ' (4+5* =5 ' (4+5* =5 4+5=3 % 5 4 = :4 =!'2 & = 59,5 59,5 :; ={59,5} 4+5>0 > % & =./ > % & 0 4. Schritt: Probe: linke Seite rechte Seite ' (4 59,5+5*= 5 ' (238+5*= ' (243* =5 Seite 4

5 Beispiel 2: Gelegentlich führt der Lösungsweg einer logarithmischen Gleichung auch über eine quadratischer Gleichung. 1. Schritt: Die Definitionsmenge ermitteln. 8 (! 64* = 2! 64>0 > 8 oder < 8 ={ > 8; < 8} 2. Schritt: Entlogarithmieren und nach auflösen. 3. Schritt: Die Lösungsmenge aufschreiben. 8 (! 64* = 2! 64=6! :64! =36+64! =100 $ =10;! = ; 10 ; ={ 10;10} 4. Schritt: Probe 1. Lösung linke Seite rechte Seite 8 (10! 64*= 2 8 (100 64*= 8 (36*=2 Probe 2. Lösung linke Seite 8 (( 10*! 64*= rechte Seite 2 8 (100 64*= Beispiel 3: 8 (36*=2 Häufig kommt es bei logarithmischen Gleichungen vor, dass die Bestimmung der Definitionsmenge schwieriger ist als die Bestimmung der Lösungsmenge. In einem solchen Fall können wir auf die Angabe der Definitionsmenge verzichten. Wir müssen aber dann unbedingt eine Probe machen! 1. Schritt: Entlogarithmieren und nach auflösen. 2. Schritt: Vor dem Aufschreiben der Lösungsmenge ist die Probe fällig.! '8! = 5 '8! = 2% (+2* 3+6=21 (+2* =29 :29 = 2 linke Seite rechte Seite = 5! ' (;!*8 ;!!! < < Seite 5

6 3. Schritt: Aufschrieben der Lösungsmenge. Setzt man 2 für in die Ausgangsgleichung, dann erhält man einen Bruch mit dem Nenner 0. Folglich kann 2 keine Lösung der gegebenen Gleichung sein. Da die Auflösung nach außer 2 keine weiteren Lösungen anbietet, ist die Lösungsmenge die leere Menge ={}. Beispiel 4: Ein weitere Beispiel in Kurzform.! %? $ = 1 %? $ = 2$ 5 = 2 (! +1* 5 = 2! +2 2! 5+2=0 $,! = & $ =2;! = $! Probe mit $ : Probe mit! :! %!!? $ =! linke Seite Mit beiden Zahlen geht die Probe auf, also gehören beide Zahlen in die Lösungsmenge: == 1 2 ;2> rechte Seite $< % =!2=1 1 % B?!,%! = C B! =? D? $ $,!%!2=1 1 Seite 6

7 Logarithmische Gleichungen mit mehr als einem Logarithmus Häufig treten in einer logarithmischen Gleichung zwei oder mehrere Logarithmen auf. In diesem Falle müssen wir mithilfe der Logarithmengesetze die Logarithmen zu einem einzigen Logarithmus zusammenfassen. Beispiel 5: 1. Schritt: Die Definitionsmenge ermitteln. 2. Schritt: Beide Logarithmen auf eine Seite bringen.! (3 1* =2+log! ( 3* 3 1>0 3>0 > $ ' und > 3 ={ > 3}! (3 1*! ( 3*=2 3. Schritt: Die Logarithmen nach den Logarithmusgesetzen zu einem Logarithmus zusammenfassen. 4. Schritt: Entlogarithmieren 5. Schritt: Nach auflösen. 6. Schritt: Die Lösungsmenge aufschreiben. 7. Schritt: Probe an der Ausgangsgleichung! C ';$ ;' D =2 ';$ ;' = 2! =4 3 1=4 12 = 11 ={11} linke Seite rechte Seite! (3 11 1* 2+log! (11 3* =! (32* =2+log 2 (8* =5 =2+3=5 Seite 7

8 Fehlerentstehung bei logarithmische Gleichungen Beim Zusammenfassen von mehreren Logarithmen nach einem Logarithmusausdruck können mathematische Fehler entstehen, dergestalt, dass sich falsche Lösungsmengen einschleichen. Hierzu betrachten wir folgendes Beispiel: Beispiel 6: 1. Schritt: Anwendung des Logarithmusgesetzes I log J =log (J K *. 2. Schritt: Anwendung des Logarithmusgesetzes log J log L =log C M N D. 3. Schritt: Bruch kürzen mit!. 4. Schritt: Entlogarithmieren 5. Schritt: Nach auflösen. Wir sehen unmittelbar, dass = 10 keine Lösung der logarithmischen Gleichung sein kann, denn wenn wir diesen Wert in die Ausgangsgleichung einsetzen würden, bekämen wir ein negatives Logarithmusargument ( ( 10*). Es gibt aber keine Logarithmen von negativen Zahlen. Die Lösung = 10 hat sich somit durch die Anwendung der Logarithmusgesetze eingeschlichen. Wir fragen uns, warum. Gleichungen, die dieselbe Lösungsmenge haben, bezeichnen wir als äquivalente Gleichungen. Äquivalent sind z. B. die beiden Gleichungen 3+2 =8 und 3 =6, denn beide haben dieselbe Lösungsmenge ={2}. Ändert sich bei der Umformung einer Gleichung die Lösungsmenge nicht, dann spricht man von einer Äquivalenzumformung. Zu den Äquivalenzumformungen gehören: die Addition derselben Zahl auf beiden Seiten der Gleichung die Subtraktion derselben Zahl von beiden Seiten der Gleichung die Multiplikation beider Seiten einer Gleichung mit derselben von Null verschiedenen Zahl. Die Division beider Seiten einer Gleichung durch dieselbe non Null verschiedene Zahl. Die Anwendung der Logarithmengesetze zählt nicht zu den Äquivalenzumformungen, da sich dabei die Lösungsmenge ändern kann. Wie jedoch können wir dieses Problem bei der Behandlung logarithmischer Gleichungen umgehen? 4 (* (! * =2 ( & * (! *=2 C O?D =2 (! *=2! =10! =100 Gleich zu Beginn der Gleichungslösung die Definitionsmenge aufstellen. Seite 8

9 Und zur Warnung gleich noch zwei Beispiele in verkürzter Form. Beispiel 7: 1. Schritt: Die Definitionsmenge ermitteln. 2. Schritt: Beide Logarithmen auf eine Seite bringen.! (3 9* =2+! (2 1* 3 9>0 2 1>0 > 3 und >0,5 ={ > 3}! (3 9*! (2 1* =2 3. Schritt: Anwendung des Logarithmusgesetzes log J log L =log C M N D. 4. Schritt: Entlogarithmieren 5. Schritt: Nach auflösen. Beispiel 8: 1. Schritt: Die Definitionsmenge ermitteln. 2. Schritt: Beide Logarithmen auf eine Seite bringen. 3. Schritt: Anwendung des Logarithmusgesetzes log J+log L =log (J L*. 4. Schritt: Entlogarithmieren 5. Schritt: Nach auflösen.! ( ';P!;$ *=2 ';P!;$ = 2! =4 3 9=4(2 1* 3 9=8 4 5 = 5 = 1 ={} ' (*=5 ' (+18* > 0 +18>0 > 0 und > 18 ={ > 0} ' (*+ ' (+18* =5 ' (! +18* =5! +18 =3 % =243! =0 $,! = $ =9 ;! = 27 ={9} Seite 9

10 Lösungsmethoden logarithmischer Gleichungen Neben den bislang behandelten Lösungsmethoden können zusätzliche Wege zu einer schnellen Lösung führen, ohne dass umständlich entlogarithmiert werden muss. Logarithmische Gleichungen in der Form (J*= (L* Besonders leicht zu lösen sind logarithmische Gleichungen, bei denen rechts und links des Gleichheitszeichens nur je ein Logarithmus zur gleichen Basis steht. Sind nämlich die Logarithmen zweier positiver Zahlen J und L gleich, dann sind auch die beiden Zahlen J und L selbst gleich und es gilt folgender Merksatz: Merksatz Gilt für alle dann folgt aus die Lösung J >0;L > 0; > 0 mit S 1, (J*= (L* J =L Auf Grund dieser Gesetzmäßigkeit lässt sich beispielsweise die logarithmische Gleichung % (+7* = % (2 3* mit =./ > ' 0 problemlos in eine! logarithmenfreie Form bringen. Beispiel 9: 1. Schritt: Die Definitionsmenge ermitteln. 2. Schritt: Numeri gleichsetzen. 3. Schritt: Nach auflösen % (+7* = % (2 3* +7 >0 2 3>0 > 7 und > 1,5 ={ > 1,5} +7 = =2 3 ; +3 = 10 ={10} Enthält die Gleichung mehr als zwei Logarithmen, dann fasst man diese unter Verwendung der Logarithmengesetze so zusammen, dass schließlich rechts und links vom Gleichheitszeichen nur noch je ein Logarithmus steht. Beispiel 10: 1. Schritt: Die Definitionsmenge ermitteln. 2. Schritt: Logarithmen zusammenfassen. ' (+8*+log ' (+9*= ' (13+93* +8 >0 +9 > >0 > 8 und > 9 und > P' $' =./ > P' 0 $' ' ((+8* (+9**=log ' (13+93* Seite 10

11 3. Schritt: Numeri gleichsetzen 4. Schritt: Nach auflösen. 5. Schritt: Lösungsmenge aufschreiben (+8* (+9* =13+93! =13+93! +4 21=0 $,! = 4+21 $ =3;! =7 3 ; 7 ={ 7;3} 6. Schritt: Probe 1. Lösung linke Seite ' (3+8*+ ' (3+9*= ' (11*+ ' (12* =4,44452 rechte Seite ' ( * = ' (132* = 4,44452 Probe 2. Lösung Logarithmische Gleichungen durch Substitution lösen Gelegentlich begegnen wir auch logarithmischen Gleichungen, bei denen die zweite Potenz, also das Quadrat eines Logarithmus, auftritt. Bei derartigen Aufgaben bedienen wir uns der Substitution. Beispiel 11: 1. Schritt: Die Definitionsmenge ermitteln. 2. Schritt: Substitution 3. Schritt: Quadratische Gleichung nach J auflösen 4. Schritt: Resubstitution 5. Schritt: Lösungsmenge aufschreiben linke Seite ' ( 7+8*+ ' ( 7+9*= ' (1*+ ' (2* = 0+ ' (2* = ' (2* ( (**! +2 (*=3 (*=J J! +2J = 3 J! +2J 3=0 J $,! = 1+3 J $ = 1; J! = 3 rechte Seite ' (13 ( 7*+93* = ' (2* ( $ *=J $ = 1 ==> $ =10 (! *=J! = 3 ==>! = $ $<<< 10 $ $<<< ={ $ $<<< ;10} ={ > 0} Seite 11

12 Wenn die Numeri der auftretenden Logarithmen nicht gleich sind, dann versagt das zuvor beschrieben Verfahren. Manchmal kommt man aber trotzdem weiter, wenn man geschickte Umformungen nach den Logarithmusgesetzen vornimmt. Beispiel 12: 1. Schritt: Die Definitionsmenge ermitteln. 2. Schritt: Zweckmäßige Umformung 3. Schritt: Geschicktes Zusammenfassen (! (**!! (2* =! (! * 1 ={ > 0}! (! *=2! (*! (2*=! (2*+! (*=1+! (* (! (**! 1! (*=2! (* 1 (! (**! 3log! (*=0 4. Schritt: Substitution 5. Schritt: Nach J auflösen. 6. Schritt: Resubstitution 7. Schritt: Lösungsmenge aufschreiben J =! (* J! 3J =0 J(J 3*=0 J $ = 0 J! = 3! ( $ *=J 1 =0==> 1 =1! (! *=J! =3 ==>! =8 1 8 ={1;8} Logarithmische Gleichungen mit versteckter Potenz Manchmal gibt eine logarithmische Gleichung nicht sofort zu erkennen, dass sie das Quadrat eines Logarithmus enthält. Da müssen wir dann erst genauer hinschauen und die ein oder andere Umformung vornehmen.. Beispiel 13: 1. Schritt: Die Definitionsmenge ermitteln. T UVW(* X+6=5 (* > 0 ={ > 0} 2. Schritt: Anwendung des Logarithmusgesetzes (J I * = I (J*. 3. Schritt: Substitution T UVW (* X = (* (*=( (**! ( (**! +6=5 log (* J =log (* J! +6=5 J J! 5J+6 =0 Seite 12

13 4. Schritt: Quadratische Gleichung nach J auflösen 5. Schritt: Resubstitution 6. Schritt: Lösungsmenge aufschreiben 6. Schritt: Probe 1. Lösung Probe 2. Lösung J $,! 6 J $ = 3; J! = 2 ( $ *=J 1 =3==> 1 =1000 (! *=J! =2 ==>! = ; 100 ={100;1000} linke Seite (1000 UVW$<<< *+6 = (1000 ' *+6 = (10 P *+6 =9+6=15 linke Seite (100 UVW$<< *+6 = (100! *+6 = (10000*+6 =4+6=10 rechte Seite 5 (1000* = 5 3=15 rechte Seite 5 log (100* = 5 2=10 Seite 13

14 In diesem Arbeitsblatt befinden sich Aufgaben mit einem Logarithmusterm. Aufgabe A1 Bestimme die Lösungsmengen der folgenden logarithmischen Gleichungen. a) = 3 b) 12 8 = 2 c) 3 2 = 0,5 d) = 5 e) = 2 f) = 3 g) = 4 h) = 0 i) + 1 = 2 j), = 2 Level 1 Grundlagen Blatt 1 Dokument mit 18 Aufgaben Aufgabe A2 Ermittle die Lösungsmengen der folgenden logarithmischen Gleichungen. a) 2 1 = 5 b) = 8 c)! = 3 d) + 36 = 2 e)!# f) 51 = 2 g) % 0,21 = 2 h) 2 4 = 0,5 Seite 14

15 Level 1 Grundlagen Blatt 1 Lösung A1 a) 3 +1 = 3 4 = = 64 3 = 63 = 21 b) 12 8 = 2 10 = = = 108 = 9 c) 3 2 = 0,5 9 # = 9 $,% 3 6 = 3 :3 2 = 1 +2 = 3 d) 3 +5 = 5 2 ' % = 2 % 3 +5 = 32 3 = 27 = 9 e) +144 = 2 13 )* ' = = 169 = 25, = ±5 Probe: = = = = 2 - = { 5;5} f) 1 % % = = 22 = % g) = = 42 = 3 Probe: Wegen der Definitionslücke bei = 3 ist die Lösungsmenge - = {} Seite 15

16 Level 1 Grundlagen Blatt 1 h) 1 +3 = = 4 $ +2 3 = = 0, = 1± 1+4 4/6-Formel = 1+ 5; = 1 5 Probe: = = 1 - = ; 1 5: i) +1 = 2 +1 = = = 0, = 1± /6-Formel = 1+4 = 3; = 1 4 = 5 Probe: 3+1 = 16 = = 16 = 2 - = { 5;3} j) $,% 2 +3 = = 0,5 = $,% 2 = 7 = 3,5 Lösung A2 a) 2 1 = 5 Ordnen 2 = 4 :2 = 2 10 = 10 = 0,01 b) 1+5 = 8 Ordnen 1 = 3 1 = 2 = 8 = 9 = 3; = 3 Probe: 3 1 = 8 = = 8 = 3 - = { 3;3} c) 1 2 = 3 = 10 = 0,001+0,125 = 0,004+0,5 = 0,504 Seite 16

17 Level 1 Grundlagen Blatt 1 d) +36 = = 10 = 64 = 8; = 8 e) = = = 34 = < 3 f) % 51 = 2 51 = 5 51 = 625 = 705, = ± 706 Probe: % = 2 % 25 = 2 - = 9 706; 706: g) % 1= 0,212 = 2 = 0,21 = 5 0,21 = 3% = 0,2116, = ± 0,2116 Probe: % 0,2116 0,21 = 2 % 0,04 = 2 - = 9 0,2116; 0,2116: h) 2 4 = 0,5 2 4 = 4 $,% 2 4 = = 0, = 1 ± /6-Formel = 1+3 = 4; = 1 3 = 2 Probe: 4 = 2 = 0,5 4 = 2 = 0,5 - = { 2;4} Seite 17

18 In diesem Arbeitsblatt befinden sich Aufgaben mit einem Logarithmusterm. Aufgabe A1 Berechne die Lösungsmengen der folgenden logarithmischen Gleichungen. a) ( (3+7 = b) ((3+7 = c) ( 3+1 =9 d) ((3+1 =2 e) (log ((3+1 =16 f) 3+1=2 Level 1 Grundlagen Blatt 2 Dokument mit 19 Aufgaben Hinweis: (4 Lösungen) g) 3+1= 2 Aufgabe A2 Bestimme zuerst die Definitionsmenge und dann die Lösungsmenge der logarithmischen Gleichungen. a) (4+5 =2 b) (3( 2= c) ((+3( 1 =0 d) (5+2=4 e) ( "#$ "# =3 f) ((+1 =2 g) (3 2 =10 h) ( +40=2 i) (( 1(+2 =1 j) $ (4 3 =1 k) ( "# "# =5 l) ( 2 4 =0,5 Seite 18

19 Lösung A1 a) ( (3+7 = (3+7= 3+7=16, 3+7=4 3 = 3 = 1 3+7=16, Level 1 Grundlagen Blatt 2 Für = Für = 3+7= 3 = = Probe: ( ( 3+7 = ( (4 = = ( +7 = ( = ( (4 = = = 2,25; 1# b) ((3+7 = 2 (3+7= (3+7= 3+7=16, & % 3+7= 2 = ; ( = 3 Probe: (( 5+7 = (4= (( 9+7 = (( 2 = (4= =* 3; ( + Seite 19

20 c), ( 3+1- =9 ( 3+1 = =2 ( 3+1=2, =. ( =21; = Probe:, ( 64- =9 ( (8 =9 (3 = =9 3 =9 ( 3 =9 =* d) % ((3+1 =2 ((3+1 =4 2 (3+1=4 :2 (3+1 =2 3+1=2 =1 e) (log ((3+1 =16 log ((3+1 = 4,3, +1- =16 3, +1= 4 =1; = (,3 (, +1- = 3 (, +1= ( = ; = =* ( ; ; ;1 + f) 1, 3+1- =2, 3+1-=4 3+1 =2 3+1=2 3 =85; = ( =*85; + ( g) 1, 3+1- = 2 Level 1 Grundlagen Blatt 2 = #, da eine positive Wurzel kein negatives Ergebnis bringen kann. Seite 20

21 Lösung A2 a) ( (4+5 =2 4+5>0 := R; > 4+5=3 4+5=9 =1 b) (3( 2= 3( 2>0 3 >6 >2 := R; >2 3( 2=9 = > 3 6= ( 3 = ( = : c) ((+3( 1 =0 (+3( 1>0 +2 3>0, > 1± 1+3 >1; < 3 := R; < 3 >1 (+3( 1=6 +2 3=1 +2 4=0, = 1± 1+4 = ,236 : = 1 5 3,236 : d) (5+2 =4 5+2>0 := R; > 5+2=4 5+2=256 = : e) ( ( C =3 C C C >0 2 5>0 > 1 <1 := R; <1 >2,5 C C =3( 2 5=27( 1 25 =22 = : Level 1 Grundlagen Blatt 2 Definitionsmenge Definitionsmenge Definitionsmenge Definitionsmenge Definitionsmenge Definitionslücke Seite 21

22 f) ((+1 =2 (+1 >0 := R \ 1# (+1 =4 +1 = 4 =3 :; = 5 R g) (3 2 =10 3 2>0 := > ( 3 2=2 3 =1026 =342 : h) ( +40=2 +40>0 := R +40=11 = =9 :; = 9 : i) (( 1(+2 =1 ( 1(+2>0 + 2>0, > ±%0,25+2 >1; < 2 := R; < 2 >1 + 2=4 + 6=0, = ±%0,25+6 =2 : = 3 : j) (4 3 =1 4 3 >0 Level 1 Grundlagen Blatt 2 Definitionsmenge Definitionsmenge Definitionsmenge Definitionsmenge Definitionsmenge < ( := R < ( 4 3 =5 3 = 1 = : ( k) ( C =5 C C C >0 2 6>0 >3 2 <2 := R; <2 >3 C C =2 2 6=32( 2 30 =58 = : Definitionsmenge Definitionslücke Seite 22

23 Level 1 Grundlagen Blatt 2 l) ( 2 4=0,5 2 4>0 Definitionsmenge, =1± 1+4 >1+ 5; >1 5 := R; <1 5 > =4, 2 4=4 2 8=0, =1± 1+8 =4 : = 2 : Seite 23

24 Level 2 Fortgeschritten Blatt 1 Dokument mit 18 Aufgaben In diesem Arbeitsblatt befinden sich Aufgaben mit zwei Logarithmustermen. Aufgabe A1 Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichungen. a) + 5=1+ 1+ b) 2 5 log 1=3 c) 5 =1+2 4 d) =2 e) +16= 8+2 f) = 2 16 g) +3 = 1+ h) =4 i) ++3=1 j) +3+ 6=2+ 4 Aufgabe A2 Ermittle die Definitions- und Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichungen. a) 3 3=4 b) 2 =4 +1 c) =2 d) +4=1+ 2 e) 1+ = f) =2 g) + =0; > 0; 1 # h) : %+3 '= +0,5 Seite 24

25 Level 2 Fortgeschritten Blatt 1 Lösung A1 a) + 5 = = 1 5 Zusammenführen = Logarithmusgesetze anwenden 5 = = 0 : = 0, = ± 1 = ± = 2; = Probe 1: = = Probe 2: + 5 = = 2 = # = $ ; 2% b) & 2 5 & 1 = 3 : 2 5 > 0 1 > 0 > und > 1 * = $+ > % /-Formel &, = 3 Logarithmusgesetze anwenden,,, 3& 2 5 = = 22 = # = {} c) 5 = > 0 * = { > 0} + 4 = Zusammenführen 4 = 100 Logarithmusgesetze anwenden 4 = 100 = 25 = 5 *; = 5 * # = {5} Seite 25

26 Level 2 Fortgeschritten Blatt 1 d) = > > 0 > &5 & * = $+ > &5 & &,&5 = 2 Logarithmusgesetze anwenden,6 &,&5 =, = = 5 = 1 * # = {} e) + 16 = > 0 8 > 0 > 16 und > 8 * = { > 8} log = 2 Zusammenführen = 2 Logarithmusgesetze anwenden,6, = = 48 = 16 * # = {16} f) = > > 0 > und > 8 & * = { > 8} log = 2 Zusammenführen &, = 2 Logarithmusgesetze anwenden, &,, = = 60 = 12 * # = {12} g) + 3 = 1 + > 0 > 1 * = { > 0} 3 = 1 + Logarithmusgesetze anwenden 3 = 1 + Numerus-Vergleich 2 = 1 = 0,5 * # = {0,5} Seite 26

27 Level 2 Fortgeschritten Blatt 1 h) = 4 4 > > 0 > 4 und > 4 * = { > 4} = 4 Logarithmusgesetze anwenden = = = 288 = 144 = 12 *; = 12 * # = {12} i) = 1 > 0 > 3 * = { > 0} ; + 3< = 1 Logarithmusgesetze anwenden + 3 = = 0, = & ± + 10 = & ± = 2 *; = 5 * # = {2} j) & & 6 = 2 + & 4 > 3 > 4 * = { > 4} & & 6 & 4 = 2 Zusammenführen & 6 & = 2 Logarithmusgesetze anwenden, 6, = = = 54 = 18 * # = {18} Lösung A2 a) 3 & 3 = 4 & 3 & 1 = 4 & Zusammenfassen 3 & log & 3 = 4 & Vereinfachen &? & = & & & > 0 > 0 * = { > 0} & & = Numerivergleich = 5 * # = $ 5 % Seite 27

28 Level 2 Fortgeschritten Blatt 1 b) 2 6 = = Logarithmengesetze anwenden > 0 > 0 * = { R} 6 = 6 8 = 8 Numerivergleich 8 = 1 = 6 = 6 * ; = 6 * # = $ 6 ; 6 % c) = > 0 2 > 0 > 3 und > 2 * = { > 2} = 2 Logarithmengesetze anwenden,, = = 14 = 7 * # = {7} d) = > 0 2 > 0 > 4 und > 2 * = { > 2} = log Logarithmengesetze anwenden = = 7 14 Numerivergleich 6 = 18 = 3 * # = {3} e) 1 + = > 0 > > 0 > 1 und > 0 und > & * = $+ > & % 1 = log Logarithmengesetze anwenden 1 = 23 5 = 6 10 Numerivergleich = 0, = 3,5 ± C12,25 10 = 3,5 ± C2,25 = 3,5 ± 1,5 = 5 *; = 2 * # = {2; 5} Seite 28

29 Level 2 Fortgeschritten Blatt 1 f) & & 1 & 2 = > 0 1 > 0 2 > 0 > und > 1 und > * = { > 1} Wegen > 1 und & 2 für > 1 keine Lösung hat die Gleichung somit # = {}. g) E & + E E = 0 & > 0 > 0 > 0 * = { > 0} E F = 0 Logarithmengesetze anwenden h) E = 0 = 1 = 1 *; = 1 * # = {1} & ; + 3 < = + 0,5 > 0 > 0 > 0 * = { > 0} & GHI = 2 + 0,5 Logarithmengesetze anwenden & GHI 2 = 0,5 Zusammenführen = 1,5 & 1,5 log + 1 = 0 & log + log & = 0 Substitution: log = J J J + & = 0 J, = ± + & = ± J = 0,4574; J = 1,4574 Resubstitution: Log = J = 0,4574 = 2 L,5 = 1,37 * = 2,,5 = 0,36 * # = {0,36; 1,37} Seite 29

30 Level 2 Fortgeschritten Blatt 2 Dokument mit 18 Aufgaben In diesem Arbeitsblatt befinden sich Aufgaben mit zwei Logarithmustermen. Aufgabe A1 Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichungen. a) +1 5 = 1 b) = 1 c) = d) + +2 = 15 e) 2+6 = 2+ 2 f) = 0 g) 6 6 = +3 2 h) 1 2 =2 5 2 Aufgabe A2 Ermittle die Definitions- und Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichungen mithilfe des Numerusvergleichs. a) 5 4 = 1+4 b) +1 = 3 c) = 2 d) = 0 e) = 13 4 f) = 2 g) + = ; > 0; 1 h) 0, =3 2 i) +2 = 1+ j) = 2+5 log 5 Seite 30

31 Level 2 Fortgeschritten Blatt 2 Lösung A1 a) = 1 : + 1 > 0 > 0 R und > 0 = > = 5 1 Zusammenführen 5 2 Logarithmusgesetze anwenden = 5 = = 0 : = 0, =! ± # $ 1 =! ± # % $ = 2 ; = * = + ; 2, b) = 1 : 3 5 > 0 1 > 0 > 0 > und > 1 und > 0. = +/ >., &/(-Formel = 1 Zusammenführen.0 = 1 Logarithmusgesetze anwenden = 6 10 = = 0, = 3,5 ± 312,25 10 = 3,5 ± 1,5 = 5 ; = 2 * = 2; 5 c) = > 0 = > = Zusammenführen 4 = Logarithmusgesetze anwenden 4 = 100 = 25 = 5 ; = 5 * = 5 Seite 31

32 Level 2 Fortgeschritten Blatt 2 d) =. 15 > > 0 > 0 und > 2 = > =. 15 Logarithmusgesetze anwenden + 2 = = 0, = 1 ± = 1 ± 4 = 5 ; = 3 * = 5 e) = > 0 2 > 0 > 3 und > 2 = > = 2 Zusammenführen $ = 2 Logarithmusgesetze anwenden 0 $ = = 14 = 7 * = 7 f) = 0 2 > > 0 > 2 und > 4 = > = 1 Logarithmusgesetze anwenden 0! = 9! 7 14 = = 18 = 3 * = 3 g) = > > 0 > 6 und > 3 = > =. 6 2 Zusammenführen. 0$ = Logarithmusgesetze anwenden 0$. = = = 24 * = 24 Seite 32

33 Level 2 Fortgeschritten Blatt 2 h) = > 0 2 > > 0 > 1 und < 0 und > = > 1 Wegen = > 1 hat. 2 keine Lösung * = Lösung A2 a) % 5 4 = % > > 0 <! und >! = +/! < <!, 5 4 = Numerusvergleich 8 = 4 = * = +, b) + 1 = 3 > > 0 > 0 und > 1 = > 0 = Logarithmusgesetze anwenden. Numerusvergleich =. 3 = = 1 = * = +, c) = > > 0 2 > 0 > 3 und > 5 und > 2 = > 5 $ 0< = 2 Logarithmengesetze anwenden. 0 = 2 Numerusvergleich + 3 = = 0, = 4 ± 16 7 = 4 ± 3 = 7 ; = 1 * = 7 Seite 33

34 d) = > > 0 >. und <. = +/. < <., Level 2 Fortgeschritten Blatt = = 3 2 Numerivergleich 5 = 4 = 1 * = 1 e) = > > > 0 >. = +/ < <.,.!.0.0 und > 1 und <.! = 13 4 Logarithmengesetze anwenden = 13 4 Numerusvergleich 3 5 = = = 0. % = 0, =.! ± # % $ + % =.! ± #= $ =.! ± %! = 3 ; =. * = 3 f) = 2 2 > > 0 2 > 0 > 0; > 2 und >. und > 2 = > 2 0 = 2 Logarithmengesetze anwenden Numerusvergleich 2 = = = 0, = 2,5 ± 36, = 2,5 ± 312,25 = 2,5 ± 3,5 = 6 ; = 1 * = 6 g) >. + > = >. > 0 > 0 > 0 = > 0 >? > Logarithmengesetze anwenden! = Numerusvergleich. = 1 : Seite 34

35 Level 2 Fortgeschritten Blatt 2 = 1 ; * = 1 h) 0, = 3 2 > 0 = > 0 0,1 10 =? Logarithmengesetze anwenden 10. = Numerusvergleich 10 1 = 0 = 0 ; = 0,1 * = 0,1 i) + 2 = 1 + > > 0 = > 0 2 = 1 + Logarithmengesetze anwenden 2 = 1 + Numerusvergleich = 0, = 1 ± 1 1 = 1 = 1 * = 1 j) = > 0 3 > > 0 5 > 0 > und < 3 und > und < 5! = +/! < < 3,!0.0!0 =.0 0 = 0 Logarithmengesetze anwenden Numerusvergleich = = = = 0, = 6 ± = 6 ± 16 = 6 ± 4 = 10 ; = 2 * = 2 Seite 35

36 In diesem Arbeitsblatt befinden sich Aufgaben mit potenzierten Logarithmustermen. Level 3 Expert Blatt 1 Dokument mit 10 Aufgaben Aufgabe A1 Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichungen. a) +=6 b) +1 =0 c) =+1 d) + =1+ e) = 2+2 f) +3 = +1 g) + =3 h) +3 =2 i) + =log 18 j)! + =6 Seite 36

37 Lösung A1 a) +=6 : >0 = >0 + 6=0 Substitution = + 6=0, = 0,5±0,25+6= 0,5±2,5 /-Formel =2; = 3 Resubstitution = =2 =100 = = 3 =0,001!=0,001;100 b) +1=0 : >0 = >0 2 +1=0 Substitution = 2+1=0, =1± 1 1=1 Resubstitution = =1 =10!=10 c) $ %=+1 >0 = >0 =+1 Level 3 Expert Blatt 1 Logarithmusgesetze anwenden /-Formel Logarithmusgesetze anwenden 1,5 1=0 Zusammenführen Substitution = 1,5 1=0, =0,75±0,5625+1=0,75±1,25 /-Formel =2; = 0,5 Resubstitution = =2 =100 = = 0,5 =0,1 10!='0,1 10;100) d) +$ %=1+ >0 = >0 +0,5 =1+2 Logarithmusgesetze anwenden 1,5 1=0 Zusammenführen Substitution = 1,5 1=0 Seite 37

38 Level 3 Expert Blatt 1, =0,75±0,5625+1=0,75±1,25 /-Formel =2; = 0,5 Resubstitution = =2 =100 = = 0,5 =0,1 10!='0,1 10;100) e) = 2+2 >0 = >2 = =3 Logarithmusgesetze anwenden 2 3=0 Substitution = 2 1=0, =1± 1+3=1±2 /-Formel =3; = 1 Resubstitution = =3 =8 = = 1 =!=+ ;8, f) $ -./ 0 %+3 = 1 +1 >0 = >0 +3 =3 +1 =1 Logarithmusgesetze anwenden =±1 =10 =0,1!=0,1;10 g) $ 2-./ 0 %+ 1 =3 >0 = >0 1 log log+3 log 3=0 Logarithmusgesetze anwenden +4 3=0 Vereinfachen 4+3=0 1 Substitution = 4+3=0, =2± 4 3=2±1 /-Formel =3; =1 Resubstitution = =3 =1000 = =1 =10!=10;1000 Seite 38

39 Level 3 Expert Blatt 1 h) $ -./02 %+3 =2 >0 = > =0 Logarithmusgesetze anwenden + 3=0 Vereinfachen Substitution = + 3=0, = 0,5±0,25+2= 0,5±1,5 /-Formel =1; = 2 Resubstitution = =1 =10 = = 2 =0,01!=0,01;10 i) = 7 18 >0 = > = Logarithmusgesetze anwenden =0 : =0 Substitution 7 = 6=0, =0,5±0,25+6=0,5±2,5 /-Formel =3; = 2 Resubstitution 7 = =3 =125 7 = = 2 = 7!=+ 7 ;125, j) $ -./ 9 0 %+ =6 >0 = >0 + 6=0 Logarithmusgesetze anwenden Substitution = + 6=0, = 0,5±0,25+6= 0,5±2,5 /-Formel =2; = 3 Resubstitution = =2 =4 = = 3 = :!=+ : ;4, Seite 39

40 In diesem Aufgabenblatt befinden sich Aufgaben zu allen Lösungsmethoden logarithmischer Gleichungen. Level 3 Expert Blatt 2 Dokument mit 12 Aufgaben Aufgabe A1 Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichungen entweder durch Anwendung der Logarithmusgesetze, durch Vergleich der Numeri, über die logarithmusfreie Darstellung bzw. über eine geeignete Substitution. a) =0 b) 6+4 =0,5 c) 2+3 = 3 d) =3 e) 2 1 = 4 f) =3 0,5 g) + 5 =1+ 1+ h) =0,75 i) 1 +1 =3 1 2 j) 1 1+ =3 1 2 k) 2 2 = 2 3 l) =0 Seite 40

41 Lösung A1 a) =0 : 3 2>0 > = > 3 2 = 1 3 2=10 3 =2,1 =0,7 =0,7 b) 6+4 =0,5 : 6+4>0 > = > Level 3 Expert Blatt =0,5 Logarithmusgesetze anwenden 6+4 =1 6+4=10 =1 =1 c) 2+3 = 3 2+3>0 >0 > 1,5 und >0 = >0 %& = 3 Logarithmusgesetze anwenden %& % % =3 Numerusvergleich 2+3=3 =3 =3 d) =3 2+3>0 >0 > und >0 = >0 2+3 =3 Logarithmusgesetze anwenden 2 +3 =3 +1,5 4,5=0, =0,75±)0,5625+4,5=0,75±2,25 */,-Formel =3 ; = 1,5 =3 e) 2 1 = 4 >0 1>0 >0 und >1 = >1. %/ 0= 4 Logarithmengesetze anwenden % Seite 41

42 % / % =4 Numerusvergleich Level 3 Expert Blatt 2 = =0, =2± 4 4=2 */,-Formel =2 f) 1 =3 0,5 1 1,5 1 =3 1 =2 =25 =25 g) + 5 =1+log 1+ >0 1+ >0 >0 und R = >0. 1% /0=1 Logarithmusgesetze anwenden 1% &% &% / =2 5 = =0 2,5+1=0, =1,25±)1,5625 1=1,25±0,75 */,-Formel =2 ; =0,5 =0,5;2 h) =0,75 >0 = >0 Substitution = ,75=0 7, =0,5±)0,25+0,75=0,5±1 */,-Formel 7 =1,5; 7 = 0,5 Resubstitution =7 =1,5 =10 10 =7 = 0,5 = 10 8 = 8 10;10 10 i) 9 1: +1 =3 9 1: 2 1>0 +1>0 1 >0 > 1 und >1 = >1 % / ; == 2 %& % < Logarithmusgesetze anwenden. 0= 2 Vereinfachen % % =10 1=0,01 0,01 Seite 42

43 0,01 =1,01 =101 =101 j) 1 1+ = >0 1+ >0 1 >0 < 1 und <1 und > 1 und <1 = 1< <1. % / &% % Level 3 Expert Blatt 2 <0= 2 Logarithmusgesetze anwenden. % /0= 2 vereinfachen % / =10 1=0,01 1 1=0, ,01 0,02 0,99=0 2 99=0, =1± 1+99=1±10 */,-Formel =11 ; = 9 = k) 2 2 = >0 2>0 2 3>0 >0 und >2 und >1,5 = >2. %/ % % 2 3 Logarithmusgesetze anwenden = 2 3 vereinfachen =2 3 Numerus Vergleich =3 =3 l) =0 >0 = 0=0 Logarithmusgesetze =0 =1 =1 Seite 43

44 In diesem Aufgabenblatt befinden sich Aufgaben zu allen Lösungsmethoden logarithmischer Gleichungen. Level 3 Expert Blatt 3 Dokument mit 12 Aufgaben Aufgabe A1 Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichungen entweder durch Anwendung der Logarithmusgesetze, durch Vergleich der Numeri, über die logarithmusfreie Darstellung bzw. über eine geeignete Substitution. a) 4 (2)+2 (4)= (10 )+( 2) b) 4 (2)+2 (4)= ( )+ ( 2); ( >0; 1) c) ( ) ()+1=0 d) ( ) ()+1=0; ( >0; 1) e) ( ) ()+ =0 f) ( ) ()+=0; ( >0; 1) g) 5=3 h) ()+( )+( )+( )=1 i) ( +5+33)=3 j)! + + " # + $ # %=3 k) &'()( ) ( )=0 l) '()( )& +( )=(10)+1 Seite 44

45 Level 3 Expert Blatt 3 Lösung A1 a) 4 (2)+2 (4) = (10 )+( 2) : <0 = <0 (2 )+ (4 )=(100)+ ( 2) Logarithmengesetze anwenden = ( 2) (2,56)= ( 2) 2,56= 2 Numerusvergleich = 1,28 "= 1,28 b) 4 # (2)+2 # (4)= # ($ )+ # ( 2) : <0 = <0 # (2 )+ # (4 )= # ($ )+ # ( 2) Logarithmengesetze anwenden # ( )= # #( 2) % # & # '= # ( 2) Logarithmusgesetze anwenden # = 2 Numerusvergleich = # = ( # % "=) ( # %* c) ( ) ()+1=0 >0 = >0 2() ()= 1 ()= 1 =10, =0,1 "=0,1 d) # ( ) # ()+1=0 >0 = >0 2 # () # ()= 1 # () = 1 =$, = # "=) # * e) ( ) ()+- =0 >0^ = > 0 2() log() = - ()= - =10,1 = 2 "=) * 2 Logarithmusgesetze anwenden Logarithmusgesetze anwenden Logarithmengesetze anwenden Seite 45

46 f) # ( ) # ()+- =0 >0 = >0 2 # () # ()= - # () = - =$,1 = # 2 "=) * # 2 5 g) 3 56 =3 5 >0 >5 = >5 5 Level 3 Expert Blatt 3 Logarithmusgesetze anwenden 5 =2 8 5 =2 9 =512 5=507 "=507 h) ()+( )+( 8 )+( )=1 >0 = >0 ()+2()+3()+4 ()=1 10()=1 Logarithmusgesetze anwenden ()= =10, ;< = 10 ;< 10A i) 8 ( +5+33)= >0 (+2,5) 6,25+33>0 (+2,5) +26,75>0 = R +5+33= =0, = 2,5±E6,25 6= 2,5±0,5 = 2 = 3 "= 3; 2 j) G ( + =3 >0 1 = R J \ ( + =8 + ( + =0, = ( ±L( = ( ±L = = "= =/?-Formel Scheitelpunkt in B( 2,5 26,75) =/?-Formel =/?-Formel Seite 46

47 Level 3 Expert Blatt 3 k) 3,NOP(G) 6 ( 8 )=0 >0 = >0 (4 ()) () 3()=0 Logarithmusgesetze anwenden (()) + () =0 vereinfachen (()) ()=0 Substitution ()=Q Q Q =0 Q(Q 1)=0 Q =0; Q =1 Resubstitution ( )=Q =0 =1 ( )=Q =1 =10 "=1;10 l) 3 NOP(G), 6+( )=(10)+1 >0 = >0 (() 2)(())+2()=(10)+()+(10) (()) ()= (100) Logarithmusgesetze anwenden Substitution ()=Q Q Q 2=0 Q, =0,5±E0,25+2=0,5±1,5 =/?-Formel Q =23; Q = 1 Resubstitution ( )=Q =2 =100 ( )=Q = 1 = "=) ;100* Seite 47

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