6 Trigonometrische Funktionen

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1 6 Trigonometrische Funktionen 6. Definition Die Trigonometrischen Funktionen (oder Winkelfunktionen) Sinus-, Kosinusund Tangensfunktion stellen den Zusammenhang zwischen Winkel und Seitenverhältnis dar. Trigonometrische Funktionen sind periodisch, das heißt für wiederholt sich ihr Verlauf. Wenn ein Phänomen (z.b.: Nullstelle) in der. Periode auftritt/ zu trifft, dann kommt es auch in allen anderen Perioden so vor. fx a sinb xc d fx a cosb xc d fx a tanb xc d Anmerkung: Um mit Sinus- und Kosinusfunktionen geschickt rechnen zu können, sollte man den Taschenrechner auf Rad umstellen. 6.2 Graphische Darstellung der Normalfunktionen Im Koordinatensystem sind die Normalform des Sinus (blau), des Kosinus (grün) und des Tangens (rot) dargestellt. Normalform bedeutet, dass keine Verschiebungen, Streckungen oder Stauchungen in x- oder y-richtung vorgenommen wurden. Anmerkung: Bei Trigonometrischen Funktionen wird die x-achse häufig auch mit π als Einheit skaliert, da die Periodenlänge der Sinusfunktion genau 2 entspricht. (Siehe Abbildung links) 29

2 6.3 Veränderungen der Funktionen Theorie: fx a sinb xc d Die Amplitude a bewirkt eine Streckung bzw. Stauchung in y- Richtung. Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodenlänge, welche durch die Formel " berechnet wird. # Graphisch bedeutet dies eine Streckung bzw. Stauchung in x- Richtung mit dem Faktor $ #. Beispiel: fx 2 sin2 x a=2 Der Graph ist um 2 entlang der y-achse gestreckt b=2 P= " =π Der Graph ist um $ in x-richtung gestaucht Der Faktor c bewirkt eine Phasenverschiebung in x-richtung. Wenn % &0 ist, dann verschiebt sich der Graph nach rechts, bei % (0 nach links. Der Faktor d bewirkt eine Verschiebung parallel der y-achse um d. Das bedeutet, dass jedem Funktionswert die Zahl d dazu addiert wird. Der Graph schwingt um die Gerade y 0 =d. c= Der Graph ist um an der x- Achse nach rechts verschoben d= Graph ist um entlang der y- Achse nach oben verschoben Aus der oberen Tabelle ergeben sich folgende Funktionen: Normalfunktion in Rot; Beispielfunktion in schwarz; y=d a c p d 30

3 6.4 Diskussion einer Sinus und Kosinusfunktion In der Schule wird eine Sinus- und Kosinusfunktion nur selten ausführlich diskutiert, da dies kompliziert und sehr umfangreich ist. Deshalb soll im Folgenden lediglich auf die wichtigsten Aspekte an Hand eines Beispiels eingegangen werden. Beispiel: ) 2 sin2 Wertemenge ;3 Da die Funktion um ein nach oben verschoben ist und ein Amplitude von 2 hat, beschränken sich die möglichen y-werte. (Anmerkung: Beim Sinus und Kosinus ist die Wertemenge immer eingeschränkt.) Periode 2, 2 2 Nullstellen Um die Nullstellen zu erhalten, setzt man die Funktion gleich Null: 02 sin2 /, 2 $ sin2 /sin$ sin $ 2 $ 32 / 2, sin $ $ 0,74 :0,74/0 Da es innerhalb einer Periodenlänge noch eine weitere Nullstelle gibt, diese aber nicht nach genau einer halben Periodenlänge wieder auftritt, wird diese über die Symmetrie der Nullstellen zum Hoch-/Tiefpunkt berechnet. Symmetrieachse N 2 (2,84/0) ; <=,79,790,74 =,?@ 3

4 Die jeweiligen weiteren Nullstellen lassen sich mit ; A ;B A A D berechnen. E entspricht in diesem Fall jedem weiten Punkt den man erhalten möchte. Hoch- und Tiefpunkte Sinus: Beim nicht verschobenen Sinus tritt ein Hochpunkt nach $ F der Periodenlänge auf. Bei einem verschobenen Sinus muss man noch die Verschiebung in x-richtung beachten. Deshalb gilt: GHI $ F % JKI L F % Kosinus: Beim nicht verschobenen Kosinus liegt der Hochpunkt direkt auf der y-achse. Deshalb gilt für einen verschobenen Kosinus: GHI % JKI $ % Anmerkung: Wenn die Funktion an der x-achse gespiegelt ist, erhält man so einen Tiefpunkt. Wenn die Funktion an der y-achse gespiegelt ist, dann muss man % abziehen. Bei unserem Beispiel: GHI $ F,79 JKI L F 3,36 Jetzt muss man nur noch die dazugehörigen y-werte berechnen. HOP(,79/3); TIP(3,36/-) Anmerkung: Der berechnete Tiefpunkt ist wenn man von der y-achse gegen läuft nicht der erste. Diesen kann man berechnen, inden man die Periodenlänge abzieht. Wendepunkte Die Wendepunkte eines Sinus oder Kosinus kann man aus der Gleichung ablesen: Sinus: Kosinus: MN%/O MN $ F %/O Beispiel: MN/ Anmerkung: Im Gegensatz zu den Extrempunkten und den Nullstellen (bei in x-richtung verschobenen Funktionen) wiederholen sich die Wendepunkte bereits nach einer halben Periode. 32 Die Wendepunkte liegen genau zwischen Hoch- und Tiefpunkt

5 Graphische Darstellungen der Beispielfunktion: Funktionsgleichung: 2 sinp2 Q Extrempunkte: HOP, HOP2, TIP und TIP2 Nullstellen: N, N2 und N3 Wendepunkte: WEPp und WEPn 6.5 Ähnlichkeit Sinus - Kosinus Erklärung an der Normalfunktion: cos sin 2 Die Kosinusfunktion ist eine um " verschobene Sinusfunktion. Für die Allgemeine Funktion gilt: cos sin R F 6.6 Ableitung und Stammfunktion von Sinus und Kosinus sin cos x cos T sin sin cos cos T sin %XU UVW UVW %XU Beim Ableiten der Sinus- und Kosinusfunktion entsteht ein Viereck. Wenn man den schwarzen Pfeilen folgt, dann erhält man die jeweilige Ableitung. Wenn man den orangenen Pfeilen folgt erhält man die Stammfunktion. 33

6 6.7 Diskussion der Tangensfunktion Bei einer Tangensfunktion sind die Extrempunkte, sowie die Wendepunkte weitestgehend aus der Funktionsgleichung ablesbar. Deshalb wird im Folgenden, wie auch in der Schule keine ganze Kurvendiskussion durchgeführt, sondern nur auf die wichtigsten Eigenschaften eingegangen. Beispiel: ) YZW 0,5 2 Periode Polstellen, B 0,5 2 \ ],=? R 2 Immer nach einer Periodenlänge gibt es eine weitere Polstelle. R Definitionsmenge Da der Tangens Stellen hat die nicht definiert sind, ist die Definitionsmenge eingeschränkt. Die Definitionslücken sind die Polstellen. \_2E 2 `; E Z Nullstelle Um die Nullstellen zu erhalten, setzt man die Funktion gleich Null: 0 tan0,5 2 /; tan $ tan $ 0,5 2 / 0,5; 2 tan $ 2 2 6b 5,4 : $ 5,4/0 Hoch- und Tiefpunkte Die Tangensfunktion hat keine Hoch- oder Tiefpunkte. Dies liegt daran, dass im Zähler der. Ableitung immer eine Zahl ohne x steht und somit nie Null werden kann. 34

7 Wendepunkt Genau wie bei Sinus und Kosinus kann man bei der Tangensfunktion die Wendepunkte aus der Gleichung heraus lesen: Tangens: MN%/O Beispiel: MN2/ Anmerkung: Der Wendepunkt liegt genau zwischen zwei Polstellen Graphische Darstellung der Beispielfunktion Normalfunktion in blau: fx tan0,5 x2 Wendepunkte: WEP und WEP2 Nullstellen: N und N2 Pohlstellen: $ 5,4,4 6.8 Wichtige Funktionswerte Winkel Sinus Kosinus Tangens Polstelle 35

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