Sequenzen-Alignierung in der Bioinformatik

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1 Sequenzen-Alignierung in der Bioinformatik VO Algorithm Engineering Professor Dr. Petra Mutzel Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS 2. VO Literatur für diese VO Volker Heun: Skriptum zur Vorlesung Algorithmische Bioinformatik I/II, SS0 und WS0/06, LMU München, Kap. und 8 Knut Reinert: Skriptum zur Vorlesung Algorithmische Bioinformatik, WS200, FU Berlin, Kap. Folien(-teil): Danke an Gabriele Koller, TU Wien 2 Überblick Überblick Multiple Sequenzen Alignierung Dynamische Programmierung Kürzeste-Wege (A* Algorithmus) Dyn. Programmierung mit Bandbreite k Levenshtein 966: Einf. der Edit-Distanz, aber kein Algorithmus Needleman & Wunsch 970: Dyn. Progr. Algorithmus KBand: DP mit Bandbreite k Idee: Betrachte nur die Zellen innerhalb eines Bandes der Höhe 2k um die Diagonale von (0,0) nach (m,n) Dann ist die Laufzeit und Speicherplatz nur noch O(kn). Frage: Ist das gefundene Alignment optimal (maximum)? Geg. 2 Sequenzen s und t der Länge n. Sei M ein uniformer Match score und p der gap penalty. Frage: Sei a k der beste Zielfunktionswert des KBand Algorithmus für das gegebene k. Wann ist a k gleich dem optimalen Alignmentwert a? Lemma: Falls a k M(n-k-)-2(k+)p, dann gilt a k =a. Bw: Wenn a k nicht optimal ist, dann wird das Band überschritten, es ex. also in jeder Sequenz mind. k+ Gaps, damit max. n-(k+) Matches. DPlinear: DP mit linearem Platz Idee: während der Berechnung wird nur die momentane Zeile i und die unmittelbar darüber liegende Zeile i- benötigt. Speichere immer nur diese beiden relevanten Zeilen! Input : Sequenzen s und t Output: Ähnlichkeit zwischen s und t m s ; n t ; for i 0 to n do // erste Zeile: D[i] D[i-]+g; // t aligniert mit - for j 0 to m do for i 0 to n do D [i] D[i] D[0] D [0]+g // erste Spalte: s aligniert mit - for i to n do D[i] max( D [i] + g, // s aligniert mit - D [i-]+p(i,j), D[i-] + g); // t aligniert mit - return D[n]; Problem: Zielfunktionswert bekannt, aber die Lösung selbst nicht (keine Zwischenergebnisse) 6

2 Sequenzen-Alignierung mit linearem Platz (Hirschberg, D&C) Idee: Divide & Conquer Ann.: kennt optimales Alignment zwischen s und t Aufteilung in zwei Teile: jeweils m/2 Zeichen aus s (Achtung: evtl. nicht eindeutig, da mehrere ) Sei n : Anzahl der Zeichen aus t im ersten Teil Seien also: s=(s s ), t=(t t ) Aufteilung der Sequenzen und s=(s s ) bzw. t=(t t ) des Alignments Es gilt: (s, t ) und (s, t ) sind optimale Alignments D.h.: D&C funktioniert, Conquer: Concatenate Problem: Wo liegt n? 7 Sequenzen-Alignierung mit linearem Platz (Hirschberg, D&C) Idee: Berechne alle optimalen Alignment-Distanzen von s s m/2 mit t t n für alle n aus [0..n]: mit Hilfe des Algorithmus DPlinear Berechne alle optimalen Alignment-Distanzen von s m/2+ s m mit t n + t n für alle n aus [0..n]: mit DPlinear (durch Drehung der DP Matrix) Das korrekte n ist dasjenige, das die Summe maximiert. n m/2 8 Laufzeit Analyse DPlinear besucht jeweils (m/2+)(n+) Felder T(n,m)=(m+2)(n+)+T(m/2,k)+T(m/2,n-k) Beh.: Es gilt T(m,n) m (n+) + 8 n log(m) Laufzeit: O(mn) Speicherplatz: O(min{m,n}) Gap-Funktionen Gap: Folge von k> Leerzeichen bisher: lineare Gap-Funktion w(k) = g k Alignment : Alignment 2: GACTGGAATG GACTGCAATG G-C-T-A-TG G----CTATG Überlegung: Mutation, die Gap mit k Leerzeichen einfügt, ist wahrscheinlicher als Mutation, die k isolierte Leerzeichen einfügt. 9 0 Affine Gap-Funktionen Etwas weniger allgemein, aber in O(n²)? Idee:. Leerzeichen höher bestrafen (h+g) G ACTG C - A A T G G ---- C T - A T G Affine Funktion: w(k) = h + gk, mit w(0) = 0. DP-Algorithmus für affine Gap-Funktionen Rekursion zur Matrix-Berechnung: ( i m, j n) a[i,j] = p(i,j) + max{a[i-,j-], b[i-,j-], c[i-,j-]} b[i,j] = max{a[i,j-] (h+g), b[i,j-] g, c[i,j-] (h+g)} c[i,j] = max{a[i-,j] (h+g), b[i-,j] (h+g), c[i-,j] g} Lösung wieder mit Dynamischer Programmierung (m+) x (n+)-matrizen: a(i,j) bester Wert bis (i,j) u.d. Bed., dass s i mit t i aligniert b(i,j) bester Wert bis (i,j) u.d. Bed., dass s i mit aligniert c(i,j) bester Wert bis (i,j) u.d. Bed., dass t i mit aligniert Ergebnis: max {a[m,n], b[m,n], c[m,n]} Laufzeit: O(mn) Gotoh 982 Speicher: O(mn), aber Matrizen 2 2

3 Überblick Dynamische Programmierung Kürzeste-Wege (A* Algorithmus) Dyn. Programmierung mit Bandbreite k Alignierung mit linearem Platz DP für affine Lückenstrafen (Gap penalties) jetzt: Multiple Sequenzen Alignierung Vergleich mehrerer Sequenzen Ziel: optimales multiples Alignment von k>2 Sequenzen Anwendungsgebiete: Phylogenetische Analyse: Darstellung von Abstammungsbeziehungen auf Basis der Distanz Identifizierung von Motiven und Profilen: durch die Evolution erhalten gebliebene Merkmale Struktur- und Funktionsvorhersage Berechnung multipler Alignments Schwieriges Problem:. Wahl der Sequenzen: Homologie (gemeinsamer Vorfahr) vorausgesetzt Aufgabe der Biologen 2. Wahl der Bewertungsfunktion: Ideal: biologisch korrektes Alignment erzielt höchsten Wert. Wahl des Algorithmus: komplexe Aufgabe - exakte Verfahren - Heuristik: progressiv, iterativ 6 Multiple Sequence Alignment (MSA) Multiples Alignment von k>2 Sequenzen s,..., s k : alle Sequenzen durch ev. Einfügen von Leerzeichen auf dieselbe Länge erweitern keine Spalte darf nur aus Leerzeichen bestehen Beispiel: Multiples Alignment von Proteinsequenzen Sequenzen MSA PEAALYGRFTIKS 2 PEALNYGWYSSES PESLAYNKFSIKS PESLAYNKF---SIKS Bewertung eines multiplen Alignments Beispiel: Multiples Alignment Beschränkung auf additive Funktionen Anforderungen: Spalten mit vielen gleichen Symbolen erhalten höheren Wert als solche mit unterschiedlichen oder Leerzeichen Reihenfolge der Sequenzen egal Naheliegend: k-dimensionales Feld für jede Kombination (Platzbedarf steigt exponentiell mit k) 7 8

4 SP-Score: Summe der paarweisen Alignment-Werte einer Spalte, wobei p(-,-) = 0 Beispiel: Multiples Alignment Sequenzen und 2 Sum-of-Pairs-Maß SP-Score(Spalte ) = p(a,a) + p(a,v) + p(a,v) SP-Score(Spalte 2) = p(-,-) + p(-,f) + p(-,f) Projektion PEAALYGRFT-IKS 2 PEALNYGWY-SSES Bewertungsmatrix für den Proteinvergleich Bewertungsschema soll Ähnlichkeiten von Aminosäuren (Mutationswahrscheinlichkeit) reflektieren PAM-Matrizen (Dayhoff, 978): auf Basis von akzeptierten Mutationen Palette von PAM-Matrizen PAM0: kürzere, starke lokale Ähnlichkeiten PAM20: längere, schwächere lokale Ähnlichkeiten BLOSUM-Serie (Henikoff und Henikoff, 992) Affine Gap-Funktion: GOP und GEP 9 20 Beispiel: PAM-Matrix Dynamische Programmierung für MSA PAM0-Matrix für die 20 Aminosäuren Bei 2 Sequenzen gibt es immer Möglichkeiten, ein Alignment fortzusetzen: H P H P Bei Sequenzen gibt es bereits 7 Möglichkeiten: 7 H -- H H H P P -- P P E E E E -- 6 Bei N Sequenzen gibt es 2 N - Möglichkeiten 2 22 Dynamische Programmierung für MSA Variante des DP-Algorithmus (Vereinfachung: s,..., s k mit Länge n) k-dimensionales Feld a mit n+ Einträgen pro Dim. a[i,..., i k ] enthält Wert des besten Alignments von s [i ],..., s k [i k ] Initialisierung: a[0,..., 0] mit 0 Feldeinträge: a[i,..., i k ] auf Basis der 2 k - Vorgänger und dem aktuellen Spaltenwert ermitteln Optimales Alignment durch Rückverfolgung Aufwand für dynamische Programmierung Berechnung des kompletten Feldes: n k Einträge Speicherplatz O(n k ), Laufzeit: Ω(n k ) Berechnung eines Eintrags: 2 k - Vorgänger (Symbol oder Leerzeichen jeder Sequenz) O(2 k ) Berechnung der Spaltenwerte: - einfaches Schema (Symbole zählen) O(k) - SP-Score: k(k-)/2 Paare O(k 2 ) Gesamtlaufzeit: O(k2 k n k ) bzw. O(k 2 2 k n k ) 2 MSA mit SP-Maß ist NP-vollständig! 2

5 Ideen für dynamische Programmierung Sequenzvergleich > k>2 Sequenzen Algorithmen für MSA Verkleinere den Suchraum: Nur relevante Zellen werden berechnet (Carillo- Lipman) Divide & Conquer Ansatz (Stoye 997) Kürzeste Wege mittels A* Algorithmus Zwar theoretisch keine Ersparnisse, aber praktisch!. Exakte Verfahren 2. Heuristiken Progressive Verfahren Tree Alignments Star Alignments Iterative Verfahren deterministische Methoden stochastische Methoden. Konsistenzbasierte Verfahren 2 26 Konsistenzbasierte Verfahren Ziel: multiples Alignment, das am besten zu allen optimalen paarweisen Alignments passt Formulierung als Maximum Weight Trace Problem (Kececioglu, 99): Trace, das die Summe des Gewichts der realisierten Kanten maximiert Alignmentgraph für Sequenzen ENDE 27