Mathematik II. D K, z P(z) Q(z), wobei D das Komplement der Nullstellen von Q ist, eine rationale Funktion.

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1 rof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 200 Mathematik II Vorlesung 34 Wir erinnern an den Begriff einer rationalen Funktion. Definition 34.. Zu zwei olynomen,q K[X], Q 0, heißt die Funktion D K, z (z) Q(z), wobei D das Komplement der Nullstellen von Q ist, eine rationale Funktion. Wir möchten zeigen, wie man zu solchen rationalen Funktionen eine Stammfunktion finden kann. In vielen Fällen wissen wir das bereits. Wenn Q ist, so handelt es sich um ein olynom, das problemlos zu integrieren ist. Für die Funktion /x ist der natürliche Logarithmus eine Stammfunktion. Damit ist auch eine Funktion vom Typ axb (mit a 0) integrierbar, eine Stammfunktion ist ln(axb). Damit kann a man überhaupt beliebige rationale Funktionen der Form (x) axb integrieren. Die Division mit Rest 2 führt zu einer Darstellung H(axb)c, mit einem weiteren olynom H und wobei das Restpolynom c konstant ist, da sein Grad kleiner als der Grad des linearen olynoms ist, durch das die Division durchgeführt wird. Aus dieser Gleichung erhält man die Darstellung (x) axb H c axb, wobei wir für die beiden Summanden Stammfunktionen angeben können. Die Division mit Rest wird auch im allgemeinen Fall entscheidend sein. Davor Die Wahl eines geeigneten Definitionsbereichs, um die Aussagen über Stammfunktionen auch in dieser Hinsicht präzise zu machen, überlassen wir dem Leser. 2 Man kann die Division mit Rest durch ein lineares olynom axb sukzessive fortsetzen und erhält ein olynom in der neuen Variablen u axb. Dies geht nicht mit einem olynom von höherem Grad.

2 2 betrachten wir aber noch den Fall eines quadratischen Nennerpolynoms mit Zähler, also ax 2 bxc mita,b,c C, a 0.DurchMultiplikationmitakannmandenKoeffizienten vor x 2 zu normieren. Durch quadratisches Ergänzen kann man x 2 bxc (xd) 2 e schreiben. Mit der neuen Variablen u x d (bzw. mit der Substitution u xd) schreibt sich dies als u 2 e. Mit einer weiteren Substitution unter Verwendung der Quadratwurzel von e bzw. von e gelangt man zu v oder 2 v. 2 Im ersten Fall gilt v2dv arctan v und im zweiten Fall gilt v 2dv v ln 2 v, wie in der 32. Vorlesung gezeigt wurde. Für die inversen Funktionen zu otenzen von quadratischen nullstellenfreien olynomen werden die Stammfunktionen durch folgende Rekursionsformel bestimmt. Lemma Es sei x 2 bx c (mit b,c R) ein quadratisches olynom ohne reelle Nullstelle (d.h. dass b2 4c 4 < 0 ist). Dann ist 3 x 2 bxc dx arctan und für n gilt die Rekursionsformel (x 2 bxc) ndx ( 2ub n(4c b 2 ) (u 2 buc) (4n 2) n (u b 2 ) ) (x 2 bxc) ndx 3 Manchmal wird eine Stammfunktion zu einer Funktion mit einer neuen Variablen angegeben, um die Rollen von Integrationsvariablen und Variable für die Integrationsgrenzen auseinander zu halten. In einem unbestimmten Integral, wo keine Integrationsgrenzen aufgeführt werden, ist das nicht wichtig. Bei einem Integral der Form u f(x)dx ist x die 0 Integrationsvariable und u die Grenzvariable. Der Ausdruck hängt aber nicht von x ab, sondern lediglich von u. Deshalb ist u f(x)dx F(u) (auf beiden Seiten steht eine von 0 u abhängige Funktion, und diese stimmen überein) richtig und u f(x)dx F(x) falsch. 0 Eine Formulierung wie F(x) ist eine Stammfunktion von f(x) ist aber korrekt.

3 Beweis. Ableiten ergibt ( arctan( (u b 2 )) (x b 2 )2 (x b 2 )2 c b2 4 x2 bx b2 4 x 2 bxc. Zum Beweis der Rekursionsformel setzen wir q(x) x 2 bxc und leiten ab. ((2xb)q n ) 2q n n(2xb)q n (2xb) 2q n nq n (2xb) 2 2q n nq n (4x 2 4xbb 2 ) 2q n nq n (4q 4cb 2 ) 2q n 4nq n n(4c b 2 )q n (2 4n)q n n(4c b 2 )q n. Division durch n(4c b 2 ) und Umstellen ergibt q n n(4c b 2 ) ((2xb)q n ) 4n 2 n(4c b 2 ) q n. Dies ist die Behauptung. Bemerkung Mit Lemma 34.2 kann man auch rationale Funktionen der Form rxs (x 2 bxc) n (mit r,s R, r 0,) integrieren, wo also das Zählerpolynom linear ist und das Nennerpolynom eine otenz eines quadratischen olynoms ist. Bei n ist ( r 2 ln(x2 bxc)) r rb 2 2xb rx 2 x 2 bxc x 2 bxc. D.h. dass die Differenz zwischen dieser Ableitung und der zu integrierenden Funktion vom Typ u x 2 bxc ist, was wir aufgrund von Lemma 34.2 integrieren können. Bei n 2 ist r ( 2(n ) r (x 2 bxc) n ) 2(n ) ( n) (2xb) (x 2 bxc) n rx rb 2 (x 2 bxc) n und wieder ist das Integral auf eine schon behandelte Situation zurückgeführt. 3

4 4 Wir möchten für beliebige rationale Funktionen f mit,q R[X] Q Stammfunktionen bestimmen. Dies geht grundsätzlich immer, vorausgesetzt, dass man eine Faktorzerlegung des Nennerpolynoms besitzt. Aufgrund der reellen Version des Fundamentalsatzes der Algebra gibt es eine Faktorzerlegung Q (X b ) (X b r ) q q s, wobei die q j quadratische olynome ohne reelle Nullstellen sind. Das Bestimmen der Stammfunktionen zu rationalen Funktionen beruht auf der artialbruchzerlegung von rationalen Funktionen, die wir zuerst besprechen. artialbruchzerlegung Die artialbruchzerlegung liefert eine wichtige Darstellungsform für eine rationale Funktion /Q, bei der die Nenner besonders einfach werden. Wir beginnen mit dem Fall K C, wo wir den Fundamentalsatz der Algebra zur Verfügung haben. Satz Es seien,q C[X], Q 0, olynome und es sei Q (X a ) r (X a s ) rs mit verschiedenen a i C. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes olynom H C[X] und eindeutig bestimmte Koeffizienten c ij C, i s, j r i, mit. Q H c c 2 X a (X a )... c r 2 (X a )... r c s c s2 X a s (X a s )... c srs 2 (X a s ) rs Beweis. Die Division mit Rest liefert eine eindeutige Darstellung Q H Q mit grad( ) < grad(q). Wir müssen daher die Aussage nur für Quotienten aus olynomen zeigen, wo der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist.wir führen Induktion über den Grad r s i r i des Nennerpolynoms. Bei r 0, ist nichts zu zeigen, bzw. der Quotient steht bereits in der gewünschten Form. Es sei nun Q ein Nennerpolynom vom Grad r und die Aussage sei für kleineren Grad bereits bewiesen. Es sei X a ein Linearfaktor von Q, so dass wir Q Q(X a )

5 5 schreiben können, wobei Q den Grad r besitzt. Die Ordnung von X a in Q sei r. Wir setzen an. Dies führt auf Q c r (X a ) r Q c r (X a 2 ) r2 (X a s ) rs (X a ), aus der wir c r und bestimmen wollen. Da die Gleichheit insbesondere für X a gelten soll, muss c r (a ) (a a 2 ) r 2 (a a s ) rs sein, wobei diese Division erlaubt ist, da die a i alle als verschieden vorausgesetzt wurden. Wir betrachten nun c r (X a 2 ) r2 (X a s ) rs mit dem soeben bestimmten Wert c r. Für diese Differenz ist dann a nach Konstruktion eine Nullstelle, so dass man nach Lemma 7.4 durch X a teilen kann, also c r (X a 2 ) r2 (X a s ) rs (X a ) erhält. Dadurch ist eindeutig festgelegt. Der Grad von ist kleiner als der Grad von und der Grad von ist kleiner als der Grad von Q. Daher können wir auf Q die Induktionsvoraussetzung anwenden. Wir wenden uns nun der reellen Situation zu. Korollar Es seien,q R[X], Q 0, olynome und es sei Q (X a ) r (X a s ) rs Q t Q tu u mit verschiedenen a i R und verschiedenen quadratischen olynomen Q k ohne reelle Nullstellen. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes olynom H R[X] und eindeutig bestimmte Koeffizienten c ij R, i s, j r i, und eindeutig bestimmte lineare olynome L kl d kl X e kl, k u, l t k, mit Q H c X a... c s X a s L Q L 2 Q 2... L u Q u L u2 Q 2 u c 2 (X a )... c r 2 (X a ) r c s2 (X a s )... c srs 2 (X a s ) rs... L t Q t... L ut u. Q tu u

6 6 Beweis. Wir gehen von der komplexen artialbruchzerlegung von /Q aus. Die reell quadratischen olynome Q k zerfallen komplex als Q k (X z)(x z) mit z z k C. In der komplexen artialbruchzerlegung betrachten wir die Teilsumme c (X z) d l (X z) l mit c, d C. Wenn man auf die gesamte komplexe artialbruchzerlegung die komplexekonjugationanwendet,sobleibtderreellequotient unverändert, Q ao dass auch die artialbruchzerlegung in sich überführt wird. Daher müssen c und d zueinander konjugiert sein und die obige Teilsumme ist daher c (X z) c c(x z)l c(x z) l S, l (X z) l (X z) l (X z) l Q l k wobei das Zählerpolynom S reell ist, da es invariant unter der komplexen Konjugation ist. Dieses Zählerpolynom ist im Allgemeinen nicht linear, wir werden aber zeigen, dass man weiter auf lineare Zählerpolynome reduzieren kann. Der Grad von S ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms. Durch sukzessive Division mit Rest von S durch Q k erhält man S L 0 L Q k L 2 Q 2 k...l l Q l k mit linearen (reellen) olynomen L i. Daher ist S L 0 L Q k L 2 Q 2 k...l l Q l k L 0 L... L l 2 L l. Q l k Q l k Q l k Q l Q 2 k k Q k Wenn man alles aufsummiert, so erhält man insgesamt die Behauptung. Neben dem Umweg über die komplexe artialbruchzerlegung gibt es weitere Methoden, in Beispielen die reelle artialbruchzerlegung zu bestimmen. Grundsätzlich bedeutet das Bestimmen der (reellen oder komplexen) Koeffizienten in der artialbruchzerlegung, ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem zu lösen, wobei man sowohl durch Koeffizientenvergleich als auch durch das Einsetzen von bestimmten Zahlen zu hinreichend vielen linearen Gleichungen kommt. Beispiel Wir betrachten die rationale Funktion X 3 (X )(X 2 X ), wobei der Faktor rechts reell nicht weiter zerlegbar ist. Daher muss es eine eindeutige Darstellung (X 3 ) a bx c X X 2 X geben. Multiplikation mit dem Nenner führt auf a(x 2 X )(bx c)(x )

7 7 (ab)x 2 (ac b)x a c. Koeffizientenvergleich führt auf das inhomogene lineare Gleichungssystem mit den eindeutigen Lösungen ab 0 und ac b 0 und a c Die artialbruchzerlegung ist also a 3, b 3, c 2 3. (X 3 ) 3 X X X 2 X 3 X 3 Beispiel Wir betrachten die rationale Funktion X 3 X 5 X3 X 5 X 4 X 2 X 2 (X 2 ), X 2 X 2 X. wo die Faktorzerlegung des Nennerpolynoms sofort ersichtlich ist. Der Ansatz X 3 X 5 X 2 (X 2 ) a X b cx d X2 X 2 führt durch Multiplikation mit dem Nenner auf X 3 X 5 ax(x 2 )b(x 2 )(cx d)x 2 ax 3 ax bx 2 bcx 3 dx 2 (ac)x 3 (bd)x 2 ax b. Daraus ergibt sich durch Koeffizientenvergleich b 5, a, d 5, c 2 und insgesamt die artialbruchzerlegung X 3 X 5 X 2 (X 2 ) X 5 2X 5 X2 X 2. Integration rationaler Funktionen Verfahren Es sei eine rationale Funktion f Q gegeben, für die eine Stammfunktion gefunden werden soll. Dabei seien und Q reelle olynome. Man geht folgendermaßen vor. () Bestimme die reelle Faktorzerlegung des Nennerpolynoms Q. (2) Finde die artialbruchzerlegung r Q H s i c ij u ( (X a i ) j) ( i j k t k j d kl X e kl ). Q l k

8 8 (3) Bestimme für jedes und für jedes eine Stammfunktion. c ij (X a i ) j d kl X e kl Q l k Beispiel Wir möchten eine Stammfunktion zu f(x) x 3 bestimmen. Nach Beispiel 34.6 ist die reelle artialbruchzerlegung gleich x 3 3 x 3 x2 x 2 x 3 x 6 2x4 x 2 x 3 x 6 2x x 2 x 6 3 x 2 x 3 x 6 2x x 2 x 2 x 2 x. Als Stammfunktion ergibt sich daher 3 ln(x ) 6 ln(x2 x) 2 arctan 2 (x ), wobei wir für den rechten Summanden Lemma 34.2 verwendet haben. Beispiel Wir möchten eine Stammfunktion zu f(x) x3 x5 x 4 x 2 bestimmen. Nach Beispiel 34.7 ist die reelle artialbruchzerlegung gleich x 3 x5 x 2 (x 2 ) x 5 x 2 2x 5 x 2. Als Stammfunktion ergibt sich daher ln x 5x ln(x 2 ) 5arctan x.