Daten und Zufall in der Jahrgangsstufe 8 Seite 1

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1 Daten und ufall in der Jahrgangsstufe Seite Bei vielen Experimenten, wie z. B. Experimenten der Physik, kann das Ergebnis mit Sicherheit vorhergesagt werden. Solche Experimente heißen kausale Experimente. Ein Stein, der nach oben geworfen wird, kehrt nach einer bestimmten eit mit Sicherheit wieder auf die Erde zurück. Das Experiment Steinwurf ist damit ein kausales Experiment. Es gibt aber auch Experimente, deren Ergebnis nicht eindeutig vorhersehbar ist. Es können u. U. mehrere unterschiedliche Ergebnisse für das Experiment in Frage kommen. Das Ergebnis ist also mit einer bestimmten Unsicherheit behaftet. Ein solches Experiment heißt ufallsexperiment. Für ufallsexperimente kann somit keine Gleichung angegeben werden, mit der das Ergebnis vorher berechnet werden kann. Ein ufallsexperiment liegt vor, wenn gilt: Das Experiment ist beliebig oft unter gleichen Bedingungen durchführbar. Die möglichen Ergebnisse können eindeutig angegeben werden. Es ist nicht voraussagbar, welche der möglichen Ergebnisse des Experiments eintreten. enn bei einem ufallsexperiment alle möglichen Ergebnisse mit der gleichen ahrscheinlichkeit auftreten, spricht man von einem Laplace-Experiment. Die ahrscheinlichkeitsrechnung kann über das Ergebnis eines bestimmten, einzelnen ufallsexperiments keine verlässlichen Aussagen liefern. ir wollen uns in der ahrscheinlichkeitsrechnung, ausgehend von ufallsexperimenten aus den vorherigen Jahrgangsstufen, vorwiegend auf Laplace-Experimente beschränken und von dem aus der Jahrgangsstufe 7 bekannten Gesetz der großen ahlen zur Laplace-ahrscheinlichkeit übergehen. Führe mit zwei weiteren Mitspielern folgendes Münzwurfspiel durch: Nehmt zwei -Cent-Münzen, legt diese in einen Becher, schüttelt den Becher und kippt dann die Münzen auf den Tisch. Spieler A erhält einen Punkt, wenn zweimal ahl, Spieler B einen Punkt, wenn einmal ahl und Spieler C einen Punkt, wenn keine ahl geworfen wird. Das Spiel hat der gewonnen, der nach einer bestimmten Anzahl von ürfen die meisten Gewinnpunkte erreicht hat. Führt dieses Spiel mit insgesamt 50 ürfen durch und ermittelt mit einer Strichliste die absoluten Häufigkeiten für zweimal ahl, einmal ahl und keinmal ahl. Rupert, Birgit und Sabine haben folgendes Ergebnis erzielt: Rupert Birgit Sabine zweimal ahl einmal ahl keinmal ahl Absolute Häufigkeit 0 7 Einmal ahl tritt am häufigsten auf. Das Spiel hat Birgit gewonnen. weiter Sieger ist Sabine. Führt nun das Spiel mit insgesamt 00 ürfen durch und ermittelt wieder die absoluten Häufigkeiten für zweimal ahl, einmal ahl und keinmal ahl.

2 Mögliches Ergebnis bei 00 ürfen: Daten und ufall in der Jahrgangsstufe Seite Rupert Birgit Sabine zweimal ahl einmal ahl keinmal ahl Absolute Häufigkeit 5 00 Einmal ahl tritt wieder am häufigsten auf. Das Spiel hat wieder Birgit gewonnen. weiter Sieger ist diesmal Rupert. ir wollen nun herausfinden, welcher Spieler die größte Gewinnchance hat. Dazu erstellen wir ein Baumdiagramm, an dem man die Ergebnisse für das Münzwurfspiel leicht abzählen kann. Erste Münze weite Münze Ergebnis Punkt für Start : ahl : appen Rupert Birgit Birgit Sabine Aus dem Diagramm kann man ablesen, dass es vier mögliche Ergebnisse gibt. Bei jedem urf treten die Ergebnisse,, und jeweils mit der gleichen ahrscheinlichkeit auf. Da Birgit bei und bei gewinnt, ist ihre Gewinnchance doppelt so groß wie die ihrer Mitspieler. Dieser Sachverhalt lässt sich auch zahlenmäßig ausdrücken. Dazu ist es nötig, ein paar Begriffe einzuführen. Alle verschiedenen möglichen Ergebnisse eines ufallsexperiments bilden zusammen den Ergebnisraum Ω. Der Ergebnisraum Ω beim durchgeführten Spiel ist demnach Ω= {; ; ; }. Beispiele: Der Ergebnisraum des Münzwurfs mit einer Münze ist Ω = {; }. Der Ergebnisraum beim erfen eines ürfels ist Ω = {; ; ; ; 5;}. Im Folgenden werden nun weitere Begriffe mit Hilfe des ufallsexperiments erfen eines ürfels eingeführt. Beim Spiel Mensch ärgere dich nicht benötigt man eine Sechs, damit man eine Spielfigur einsetzen darf. irft man keine Sechs, darf man nicht einsetzen. Keine Sechs bedeutet, dass man die Ergebnisse,,, oder 5 wirft. Diese Ergebnisse können als zusammengehörig betrachtet werden. Deshalb fasst man sie zu einer Menge E keine Sechs zusammen. Diese Menge E nennt man das Ereignis keine Sechs und schreibt dafür E={;;;;5}.

3 Daten und ufall in der Jahrgangsstufe Seite Beispiele: Das Ereignis E gerade ahl ist beim ürfeln die Menge E ={;;}. Das Ereignis E Primzahl die Menge E = {;;5}. Ein Ereignis E ist eine Teilmenge des Ergebnisraums Ω. Jede Teilmenge des Ergebnisraums ist ein Ereignis. Betrachtet man das Ereignis E die ist gefallen, so enthält das Ereignis E = {} nur ein einziges Element. Ein derartiges Ereignis heißt Elementarereignis. um Ereignis E gerade ahl bildet das Ereignis ungerade ahl das Gegenereignis E. um Ereignis E gerade ahl ist E = {;;5}. Das Gegenereignis zu E Primzahl ist E ={;;}. Es gilt: E E= Ω und E E =0. Gib das Gegenereignis zu E die ist gefallen an. Das Ereignis E es fällt eine ahl zwischen und tritt beim ürfeln immer ein. Deshalb ist E ein sicheres Ereignis und man erhält E ={;;;;5;}=Ω. Das Gegenereignis zu E es fällt keine ahl zwischen und tritt beim ürfeln nie ein. So ein Ereignis heißt unmögliches Ereignis: E =0. Die Laplace-Experimente sind nach dem französischen Mathematiker Pierre Simon Laplace (79 7) benannt. Er hatte die Idee, Regeln für das Ermitteln von ahrscheinlichkeiten für derartige ufallsversuche aufzustellen. Danach wird die ahrscheinlichkeit P für das Eintreten eines Ereignisses E definiert durch Anzahl der Elemente von E Anzahl der Elemente von Ω E. Ω Der Buchstabe P für die ahrscheinlichkeit kommt aus der lateinischen Übersetzung probabilitas; im Englischen wurde dies zu probability. Diese neuen Begriffe lassen sich nun auf unser Eingangsbeispiel Münzwurfspiel anwenden: Das Ereignis E zweimal ahl ist somit E = {}, das Ereignis E einmal ahl ist E ={;} und das Ereignis E keine ahl ist E ={}. E und E sind demnach auch Elementarereignisse. In unserem Beispiel ergibt sich damit für die ahrscheinlichkeit des Eintritts der Ereignisse zweimal ahl, einmal ahl und keinmal ahl : E P(E ) = P(E ) Ω E P(E ) = P(E ) Ω E P(E ) = P(E ) Ω = = = = P(E ) 0,5 = P(E ) 0,50 P(E ) 0,5 = P(E ) = 5% P(E ) = 50% P(E ) = 5%.

4 Daten und ufall in der Jahrgangsstufe Seite Ergebnis: Rupert und Sabine gewinnen mit einer ahrscheinlichkeit von 5%, Birgit gewinnt mit einer ahrscheinlichkeit von 50%. Die ahlenwerte für ahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und : < < 0 P(E). In der Tabelle sind die relativen Häufigkeiten für das Auftreten zweimal ahl, einmal ahl und keinmal ahl des durchgeführten Münzwurfspiels dargestellt. Anzahl der ürfe Relative Häufigkeit für das Auftreten von zweimal ahl 0, Relative Häufigkeit für das Auftreten von einmal ahl Relative Häufigkeit für das Auftreten von keinmal ahl 50 = 0 0, 0 50 = 7 0, 50 = 5 0, 00 = 00 0,50 00 = 0, 00 = Im Vergleich dazu die berechneten ahrscheinlichkeiten. ahrscheinlichkeit für das Auftreten von zweimal ahl 0, 5 ahrscheinlichkeit für das Auftreten von einmal ahl ahrscheinlichkeit für das Auftreten von keinmal ahl = 0,50 = 0, 5 = Die ahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses kann durchaus vom Versuchsausgang abweichen. Aus der Jahrgangsstufe 7 wissen wir aber, dass sich bei einer genügend hohen Anzahl von Versuchen die relative Häufigkeit dem ert der errechneten ahrscheinlichkeit annähert. usammenfassung: Jeden möglichen Ausgang eines ufallsexperiments nennt man Ergebnis. Die Menge aller verschiedenen möglichen Ergebnisse eines ufallsexperiments bilden zusammen den Ergebnisraum Ω. Jede Teilmenge des Ergebnisraums heißt Ereignis E. Ein ufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind, heißt Laplace-Experiment. Für Laplace-Experimente gilt: Die ahrscheinlichkeit P eines Ereignisses E ist festgelegt durch: Anzahl der Elemente von E E Anzahl der Elemente von Ω Ω mit < < 0 P(E).

5 Daten und ufall in der Jahrgangsstufe Seite 5 Beispiel: Christine und Peter werfen jeweils nacheinander dreimal eine Münze. Die Münze soll nie auf dem Rand stehen bleiben und somit immer ahl () oder appen () zeigen. Christine erhält einen Punkt, wenn insgesamt mindestens zweimal die ahl oben liegt, Peter erhält einen Punkt, wenn beim zweiten urf das appen oben liegt. er hat die besseren Gewinnaussichten? ur Ermittlung aller möglichen Kombinationen von und eignet sich ein Baumdiagramm. Start. urf. urf. urf Ergebnis Gewinn Christine Christine beide Peter Christine keiner Peter Peter Aus dem Baumdiagramm ist ersichtlich, dass beide die gleichen Gewinnchancen haben. Dies lässt sich auch rechnerisch bestätigen. Ergebnisraum Ω = {; ; ; ; ; ; ; } mit Ω =. Für das Ereignis mindestens zweimal ahl gilt: E = {; ; ; }. Für das Ereignis zweiter urf ist appen gilt: E ={;;;}. Damit ist E = E =. Somit gilt für die ahrscheinlichkeit P für das Eintreten der Ereignisse E und E : P(E ) = bzw. P(E ) = 0,50 und P(E ) = bzw. P(E ) = 0,50. Für das Ereignis Christine gewinnt und Peter verliert gilt: E = {; ; } und damit für die ahrscheinlichkeit P für das Eintreten von E : P(E ) = bzw. P(E ) = 0,75.

6 Daten und ufall in der Jahrgangsstufe Seite Aufgabe : a) wei ürfel werden geworfen und die Augensumme wird jeweils notiert. arum ist dies kein Laplace-Experiment? Gib den Ergebnisraum Ω für dieses Experiment an. b) In einer Urne mit vier roten, drei blauen und fünf grünen Kugeln soll eine Kugel blind gezogen werden. arum ist dies kein Laplace-Experiment? Gib den Ergebnisraum Ω an. c) Ein ufallsversuch mit Spielkarten hat den Ergebnisraum Ω = {Karo; Herz; Pik; Kreuz}. Beschreibe ein mögliches Laplace-Experiment. d) Ein ufallsversuch hat den Ergebnisraum Ω = {; ; ; }. Beschreibe ein mögliches Laplace-Experiment. Aufgabe : wei ürfel werden geworfen. Gib die Elemente des Ereignisses E an. a) E: Die Augensumme ist durch teilbar. b) E: Die Augensumme ist eine Primzahl. c) E: Die Augensumme ist eine Quadratzahl. d) E: Die Augensumme ist die ahl. e) E: Die Augensumme ist fünf. f) E: Die Augensumme ergibt eine ahl zwischen und. Aufgabe : Der Ergebnisraum Ω = {; ;; ;5;} und das Ereignis E = {;;5} sind bekannt. Beschreibe ein mögliches ufallsexperiment sowie ein passendes Ereignis. Aufgabe : Bei einer Umfrage wurde festgestellt, dass die Schülerinnen und Schüler einer Schule entweder mit öffentlichen Verkehrmitteln oder mit dem Fahrrad oder zu Fuß kommen. Gib den Ergebnisraum Ω an. Aufgabe 5: Aus den Kärtchen wird eine Karte gezogen. F E R I E N Gib den Ergebnisraum Ω und das Ereignis E der gezogene Buchstabe ist ein Vokal an. Aufgabe : Sibylle wirft eine Münze dreimal; dabei fällt mindestens zweimal ahl. Beschreibe das Ereignis als Menge. Aufgabe 7: An dem Glücksrad wird gedreht. Bestimme die ahrscheinlichkeit für das Ereignis a) grün gewinnt. b) schwarz, rot und grün gewinnt.

7 Daten und ufall in der Jahrgangsstufe Seite 7 Aufgabe : An dem Glücksrad wird gedreht. ie groß ist die ahrscheinlichkeit für das Ereignis a) die 7 gewinnt? b) gerade ahl gewinnt? c) Primzahl gewinnt? d) und 5 gewinnt? Aufgabe 9: Beim diesjährigen Schulfest werden Spiele angeboten, bei denen Preise zu gewinnen sind. Die Klasse a und b haben unterschiedliche Glücksräder gebaut. Auf dem Glücksrad der Klasse a sind ahlen von 0 bis 59 notiert. Es gewinnen alle ahlen, die ein Vielfaches von sind. Auf dem Glücksrad der Klasse b sind die ahlen von 0 bis 9 notiert. Es gewinnen alle ahlen, die ein Vielfaches von 5 sind. Begründe, mit welchem Rad du spielen würdest. Aufgabe 0: Ordne die Glücksräder nach ihren Gewinnchancen. A B C Alle Vielfachen von Alle Vielfachen von Alle ahlen mit Quergewinnen. gewinnen. summe 7 gewinnen.

8 Daten und ufall in der Jahrgangsstufe Seite Aufgabe : a) ie groß ist die ahrscheinlichkeit, dass die 7 als erste ahl bei der iehung der Lottozahlen aus 9 gezogen wird? b) Mit welcher ahrscheinlichkeit ist die erste gezogene ahl ungerade? c) Bei der iehung der Lottozahlen wurden bereits die Kugeln mit ; 5; 9 und 0 gezogen. Mit welcher ahrscheinlichkeit wird als nächste ahl die gezogen? Aufgabe : In einem Korb befinden sich Lose: 0 rote, 0 orange, 5 grüne, 5 blaue und 0 gelbe. 0% der Lose sind Nieten, anteilsmäßig auf die einzelnen Farben gleich verteilt. Ermittle die ahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: a) Das erste gezogene Los ist ein Gewinn. b) Das erste gezogene Los ist eine Niete. c) Das erste gezogene Los ist grün und ein Gewinn. Aufgabe : In einer Lostrommel sind 500 Lose. Die Hälfte der Lose sind Nieten. 0% des Restes sind Gewinne, die restlichen Lose sind Trostpreise. Mit welcher ahrscheinlichkeit ist das erste gezogene Los a) ein Gewinn? b) eine Niete? c) ein Trostpreis? d) keine Niete? Aufgabe : Die kurze Karte des Schafkopfspiels besteht aus Karten. Die sechs verschiedenen Kartentypen bilden die 9, 0, Unter, Ober, König und Ass. Sie gibt es jeweils in den Farben Schelle, Eichel, Herz und Grün. Mit welcher ahrscheinlichkeit erwischt du beim verdeckten iehen folgende Karten: a) Herz? b) Eichel Ober? c) Grün oder Schelle? d) 9, 0 oder König? e) Schelle, aber keine Ass.

9 Daten und ufall in der Jahrgangsstufe Seite 9 Aufgabe 5: Eine Münze wird dreimal geworfen. a) Führe das Experiment 0-mal durch und notiere jeweils das Ergebnis. ie oft lag bei allen drei ürfen die gleiche Münzseite oben? b) Bestimme mit Hilfe eines Baumdiagramms die ahrscheinlichkeit, dass bei allen drei ürfen die gleiche Münzseite oben liegt. Aufgabe : Ein Mitspieler darf seine erste Spielfigur nur dann einsetzen, wenn er eine würfelt. a) ie groß ist die ahrscheinlichkeit, dass beim ersten urf eine gewürfelt wird? b) Ermittle mithilfe eines Baumdiagramms die ahrscheinlichkeit, dass mindestens eine innerhalb von zwei Versuchen gewürfelt wird. c) Sibylles gelber Stein steht vier Felder hinter Karls grünem Stein. ie groß ist die ahrscheinlichkeit, dass Sibylle beim nächsten urf Karls Stein werfen kann? Aufgabe 7: Beim Roulettspiel bleibt die Kugel auf einem der 7 Felder liegen. Diese Felder sind von 0 bis durchnummeriert. Felder sind rot, Felder sind schwarz und das Feld mit der ahl 0 ist grün. Ermittle die folgenden ahrscheinlichkeiten: a) Die Kugel bleibt bei der ahl 5 liegen. b) Die Kugel fällt auf eine ungerade ahl. c) Die Kugel fällt auf eine Primzahl. d) Die Kugel kommt auf einem Feld zu liegen, das rot markiert ist. Aufgabe : eichne ein Glücksrad mit acht gleich großen Feldern und färbe sie so ein, dass beim Drehen folgende Gewinnchancen bestehen: Blau : 0,5 Gelb : 0,5 Rot : 0,5 eiß : Rest der Fläche.

10 Daten und ufall in der Jahrgangsstufe Seite 0 Lösungen Arbeitsauftrag Seite : Das Gegenereignis zu E lautet: E ={;;;;5}. Arbeitsauftrag Seite : E = {; ; }, E = {; }, E = {; ; }. Aufgabe : a) Es handelt sich nicht um ein Laplace-Experiment, da z. B. die Augensumme (;) nur einmal, die Augensumme 5 (;),, (;) dagegen mehrmals vorkommt. Ω = {;; ;5;;7;;9;0;;}. b) Es handelt sich nicht um ein Laplace-Experiment, da z. B. die ahrscheinlichkeit, eine grüne Kugel zu ziehen, höher ist als die ahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen. Ω = {rot; blau;grün}. c). B.: Aus den Skatspielkarten wird eine Karte blind gezogen. d) Der ufallsversuch könnte das zweimalige erfen einer Münze sein. Aufgabe : a) E = {;;9;}. b) E = {;;5;7;}. c) E = {;;9}. d) E=0. e) E={5}. f) E = {;;5;;7;;9;0;}. Aufgabe : Das ufallsexperiment könnte das erfen eines ürfels sein, das Ereignis E: Die geworfene ahl ist ungerade. Aufgabe : Aufgabe 5: Ω= {ö;f;u}. Ω= {F;E;R;I;N} und E={E;I}. Aufgabe : E = {; ; ; }. Aufgabe 7: a) b) Aufgabe : a) b) c) d) 0,7. 0,50. 0,5. 0,50. 0,50. 0,5.

11 Daten und ufall in der Jahrgangsstufe Seite Aufgabe 9: Klasse a Klasse b Ergebnisraum Ω {0;;;...;59} {0;;;...;9} Ereignis E {;;;;55} {5;0;5} Ω 0 0 E 5 P(E) 5 0,0 0 = 0,5 0 = Beim Glücksrad der Klasse a hat man eine Gewinnwahrscheinlichkeit von,%, beim Glücksrad der Klasse b eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 5%. Ich würde daher am Glücksrad der Klasse b spielen. Aufgabe 0: A B C Ergebnisraum Ω {0;;;...;9} {0;;;...;79} {0;;;...;9} Ereignis E {;;;;55; {;;9;5;5; {7;; 5;} ;77;;99;0} 7} Ω E 0 P(E) 5 0,0 0 = 0,075 0 = 0,0 0 = C hat die höchste, A die zweithöchste und B die niedrigste Gewinnchance. Aufgabe : a) Ω= 9 E = b) Ω= 9 E = 5 c) Ω= 5 E = 9 0, ,5. 5 0, 0. Aufgabe : a) Im Korb befinden sich 0 Lose: 0% der 0 Lose sind Gewinne: Lose. ahrscheinlichkeit, dass das erste gezogene Los ein Gewinn ist: 0, 0 0 =. b) Das Ereignis Niete ist das Gegenereignis zum Ereignis Gewinn : P( E) 0,0 = ( ) P E = 0,0. c) ahrscheinlichkeit, dass das erste gezogene Los grün ist: 5 = % von 7 sind Treffer: 7 0,0 0,05 = oder: Es gibt 0,0 5 = 7 grüne Treffer: 7 0, 05. 0

12 Daten und ufall in der Jahrgangsstufe Seite Aufgabe a) Ω= 500 0% von 50 Losen sind Gewinne: E = ,0 0%. b) 50 Lose sind Nieten: E = ,50 50%. c) 00 Lose sind Trostpreise: E = ,0 0%. d) 50 Lose sind keine Nieten: E = ,50 50% oder: Das Ereignis keine Niete ist das Gegenereignis zum Ereignis Niete : P(keine Niete) = 0,50 P(keine Niete) = 0,50. Aufgabe : a) Ω= E = b) Ω= E = c) Ω= E = d) Ω= E = e) Ω= E = 5 0,5. 0,0. 0,50. 0, ,.

13 Daten und ufall in der Jahrgangsstufe Seite Aufgabe 5 a) (offen) b) Start. urf. urf. urf Ergebnis ahrscheinlichkeit, dass jeweils die gleiche Münzseite oben liegt: Ω= E = 0,5.

14 Daten und ufall in der Jahrgangsstufe Seite Aufgabe : a) Ω= E = b) 0,7.. urf. urf Ergebnis ; ; ; ; 5 ;5 ;... ; 5 ; ; ; 5 ;5 ; Ω= Ω= E = c) Ω= {; ;; ;5;} E = {5} Ω= E = 0,. 0,7.

15 Daten und ufall in der Jahrgangsstufe Seite 5 Aufgabe 7: a) Ω= 7 E = b) Ω= 7 E = c) Ω= 7 E = d) Ω= 7 E = 7 0, ,9. 7 0,0. 7 0,9. Aufgabe :