2 Durchschnitt und Verbindungsraum

Transkript

1 2 Durchschnitt und Verbindungsraum Seien X und Y nicht leere affine Unterräume des R n (21) Satz: a) Ist X Y, so ist T(X) T(Y ) b) Ist X Y φ so ist X Y ein affiner Raum mit Richtungsvektorraum T(X) T(Y ) c) Sei V eine nicht leere Menge von affinen Unterräumen des R n Dann ist Z = V ein affiner Unterraum von R n Beweis: V V a) Wähle ein p Y X Wegen Y X ist dann T(Y ) = { py y Y } { px x X} = T(X) c) Im Fall Z = φ ist nichts zu zeigen Ist Z φ, so wählen wir ein p Z, also p V für alle V V Es folgt V = p + T(V ) für alle V V Setze W := T(V ) V V Da alle T(V ) Untervektorräume des R n sind, gilt dies auch für W: Sind v, w W, so ist v, w T(V ) für alle V V Da die T(V ) Untervektorräume des R n sind, folgt für λ K: v +λw T(V ) für alle V V Also ist v + λw W Somit ist p + W ein affiner Unterraum des R n Behauptung: Z = p + W, also auch T(Z) = W Beweis: Es ist W T(V ) für alle V V, also auch p+w p+t(v ) = V für alle V V Es folgt p + W V = Z V V 1

2 Sei umgekehrt z Z, also z V = p + T(V ) für alle V V Es folgt z p T(V ) für alle V V, und somit z p T(V ) = W, dh z p + W V V Damit ist auch Z p + W b) ergibt sich aus dem Beweis von c) (mit V = {X, Y }) Im Allgemeinen ist X Y kein affiner Unterraum des R n Beispiel: Sei X die x Achse und Y die y Achse des R n Y e 2 e 1 + e 2 e 1 X Wäre Z = X Y ein affiner Unterraum, so wäre, wegen 0 Z, Z = T(Z) R 2 ein Untervektorraum Es ist aber e 1 + e 2 Z! (22) Bemerkung: Der Durchschnitt aller affinen Unterräume des R n, welche X Y umfassen ist (nach (21)c)) ein affiner Raum Er wird Verbindungsraum von X und Y genannt und mit X Y bezeichnet Nach Konstruktion ist also X Y der kleinste affine Unterraum von R n, welcher X Y umfaßt Beispiele: 2

3 a) Ist Y X, so ist X Y = X, da X offenbar der kleinste affine Unterraum des R n ist, welcher X und Y umfaßt b) Seien p q aus R n, n 1 Setze v := pq = q p Dann ist {p} {q} = p + Rv eine Gerade, die sogenannte Verbindungsgerade zwischen p und q {p} {q} p v q Insbesondere ist T(p q) = R pq Beweis: Hier ist X = {p}, Y = {q}, X Y = {p, q} Also ist {p} {q} der kleinste affine Unterraum, der {p, q} umfaßt q = p+v p+rv, p = p+0 p + R v, somit X Y p + R v Umgekehrt: {p, q} X Y und X Y ist ein affiner Unterraum; also ist v = pq T(X Y ), also p + R v p + T(X Y ) = X Y Problem: Seien X φ und Y φ affine Unterräume des R n Wie bestimmt man T(X Y ) aus T(X) und T(Y )? (23) Satz: a) Ist X Y φ, so ist T(X Y ) = T(X) + T(Y ) b) Im Fall X Y = φ wählt man p X und q Y Dann ist T(X Y ) = (T(X) + T(Y )) R pq; R pq = T(p q) (so) Beweis: Wegen X X Y und Y X Y gilt nach 21 a) T(X) T(X Y ) und T(Y ) T(X Y ) Es folgt in jedem Fall T(X) + T(Y ) T(X Y ) 3

4 a) Zeige, dass auch T(X Y ) T(X) + T(Y ), falls X Y φ Wähle dazu p X Y und setze Z := p + (T(X) + T(Y )) Z ist affin mit Richtungsraum T(Z) = T(X) + T(Y ), ferner X = p + T(X) Z und Y = p + T(Y ) Z Nach Definition von X Y ist daher X Y Z, also auch T(X Y ) T(Z) = T(X) + T(Y ) b) Wegen X Y = φ ist p q, ferner p X Y und q X Y Es folgt pq T(X Y ), also Z := {p} {q} = p+r pq p+t(x Y ) = X Y Es folgt X (Y Z) = (X Y ) Z = X Y, nach Beispiel a) Ferner gilt p X (Y Z) φ und q Y Z φ Wende Teil a) zweimal an: T(X Y ) = T(X (Y Z)) a) = T(X) + T(Y Z) a) = T(X) + (T(Y ) + T(Z)) = T(X) + T(Y ) + T({p} {q}) Es ist noch zu zeigen: (T(X) + T(Y )) R pq = {0} Angenommen: pq = u + v mit u T(X) und v T(Y ), also q p = u+v Es folgt p+u = q+( v) (p+t(x)) (q+t(y )) = X Y, im Widerspruch zu X Y = φ Statt {p} {q} schreiben wir auch p q (24) Bemerkung: Seien X φ und Y φ affine Unterräume mit X Y φ Dann ist X Y = p q q Y Anschaulich ist X Y (falls X Y { Punkt }) die Vereinigung der Verbindungsgeraden p q mit p X, q Y Beweis: Sei p X und q Y Dann ist {p, q} X Y X Y und nach Definition von p q ist p q X Y Es folgt Z := p q X Y Noch zu zeigen: 4 q Y

5 Für q X Y ist auch q Z Wähle p X Y fest (Nach Vor ist X Y φ) Es folgt 23 pq T(X Y ) = T(X) + T(Y ), dh pq = u + v mit u T(X) und v T(Y ) Setze p = p + 2u X und q = p + 2v Y Dann ist Beispiel: q = p + u + v = (p + 2u) + (v u) = p (q p ) = = p + 1 p q p q Z, somit q Z 2 a) Sei X = x Achse R 2, Y = y-achse R 2 Y q r p X p q Ist r R 2 beliebig Dann existierten p q mit p X, q Y mit r p q Insbesondere ist X Y = R 2 = p q q Q 5

6 b) Sei X R 2 Gerade und Y = {q}, q X Dann ist X Y = R 2 p q Hier gilt p q = (R 2 \(q + T(X)) {q} q + T(X) X Die gestrichelte Linie fehlt in p q (bis auf den Punkt q) Frage: Wie hängen die Dimensionen von X, Y, X Y und X Y zusammen (25) Dimensionsformel: Seien X φ und Y φ affine Unterräume des R n Dann gilt: a) Ist X Y φ, so gilt b) Ist X Y = φ, so gilt Beweis: dim X Y = dim X + dim Y dim X Y dim X Y = dim X + dim Y dim(t(x) T(Y )) + 1 6

7 a) T(X Y ) 21 = T(X) T(Y ) und T(X Y ) 23 = T(X) + T(Y ) Also ist dim X Y = dim(t(x) + T(Y )) = = dim T(X) + dim T(Y ) dim(t(x) T(Y )) = = dim X + dim Y dim X Y b) Wähle p X und q Y, setze Z = p q Wegen X Y = φ ist p q, somit dim Z = 1 Ferner gilt nach 23 b) T(X Y ) = (T(X) + T(Y )) T(Z) Es folgt dim X Y = dim(t(x + T(Y )) + dim T(Z) = = dim T(X) + dim T(Y ) dim(t(x) T(Y )) + 1 = dim X + dim Y dim(t(x) T(Y )) + 1 Beispiel: Windschiefe Geraden Zwei affine Geraden Y 1 und Y 2 im R 3 heißen windschief, wenn (i) Y 1 Y 2 = φ und (ii) T(Y 1 ) T(Y 2 ) Behauptung: Sind Y 1 und Y 2 windschiefe Geraden im R 3, so ist Y 1 Y 2 = R 3 Beweis: Y 1 Y 2 = φ und dim T(Y 1 ) = dim T(Y 2 ) = 1, T(Y 1 ) T(Y 2 ) Also ist T(Y 1 ) T(Y 2 ) = {0} Nach der Dimensionsformel folgt dim Y 1 Y 2 = dim Y 1 +dim Y 2 dim(t(y 1 ) T(Y 2 ))+1 = 3 und Y 1 Y 2 = R 3 (26) Unterraum Kriterium: Eine nicht leere Teilmenge X R n ist genau dann ein affiner Unterraum, wenn für alle Paare x y aus X die Verbindungsgerade x y ganz in X enthalten ist Beweis: Wähle p X und setze V := { px x X} Sei X affin Da x y der kleinste affine Unterraum Z von Rn ist mit {x, y} Z, gilt x y X, falls {x, y} X Sei x y X für alle x y aus X Wegen p+v = {p + px x X} = X ist zu zeigen, dass V ein Untervektorraum von R n ist (i) Wegen p X ist 0 = pp V (ii) Sei v = px V (x X) und λ R 7

8 Für v = 0 ist auch λv = 0 V Für v 0 ist x p und p x = p + R v X, also y := p + λv X Es folgt λv = py V, da y X (iii) Seien v = px, w = py aus V (x, y X) Ist (v, w) linear abhängig, etwa w = µv, so ist v+w = (1+µ)v V nach (ii) Sei (v, w) linear unabhängig y z = p(v + w) w 1 s = (x + y) (v + w) p v x Wegen (v, w) linear unabhängig ist x y Nach Vor ist daher x y = x+r xy X, also auch s = 1(x+y) = x+ 1 xy 2 2 x y X, also s X Es folgt ps = 1(x+y) p = 1 px+ 1 py = 1(v+w) V wegen s X Nach (ii) ist dann auch v + w = 2( 1 (v + w)) V 2 8