FÜR IHREN UNTERRICHT ZUM HERAUSNEHMEN Exponentialfunktionen mit EVA. Schritt Lernaktivitäten der SchülerInnen Sozialform Zeit Arbeitsmittel

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1 Pwissenplus FÜR IHREN UNTERRICHT ZUM HERAUSNEHMEN Eponentialfunktionen mit EVA Das Prinzip des eigenverantwortlichen Arbeitens und Lernens (EVA) geht auf Dr. Heinz Klippert (geb. 948) zurück. Besondere Bedeutung haben dabei die Selbstständigkeit und Selbsttätigkeit der Schüler/innen, die als Vorbereitung auf die zukünftige Arbeits- und Berufswelt unabdingbar sind. Der Unterricht gemäß den EVA-Methoden trägt dazu bei, dass Schüler/innen selbstständiges und kooperatives Lernen bzw. Arbeiten üben. Das EVA-Lernen ist eng mit dem Begriff der Lernspirale verknüpft. Schüler werden durch eine Lernspirale veranlasst, immer tiefer in das Thema einzudringen. Eine Lernspirale kann aus einer Makro- und mehreren Mikrospiralen bestehen. Die Makrospirale umfasst ein größeres Vorwissen/Voreinstellungen aktivieren Schritt Lernaktivitäten der SchülerInnen Sozialform Zeit Arbeitsmittel Wiederholung der prozentuellen Ab- bzw. Zunahme und Wiederholung wichtiger Rechenregeln für Potenzen mittels Zuordnungsübung Vergleich der Lösung Schritt, können auch als Hausübung gemacht werden. Vergleich der Lösungen dann zu Stundenbeginn. Neue Kenntnisse/Verfahrensweisen erarbeiten Eine Hälfte der Klasse bearbeitet in Partnerarbeit das Arbeitsblatt Eponentialfunktion Erarbeitungsaufgabe A, die andere das Arbeitsblatt Eponentialfunktion Erarbeitungsaufgabe B. Zu viert werden Epertengespräche zum Austausch der neuen Informationen geführt. Anschließend nehmen die Schüler den entsprechenden Hefteintrag vor. Eine Hälfte der Klasse bearbeitet in Partnerarbeit das Arbeitsblatt Eponentialfunktion Eigenschaften A, die andere das Arbeitsblatt Eponentialfunktion Eigenschaften B. Schüler, die zuvor Arbeitsblatt A bearbeitet haben, sollen jetzt Arbeitsblatt B bearbeiten. Zu viert werden Epertengespräche zum Austausch der neuen Informationen geführt. Anschließend nehmen die Schüler den entsprechenden Hefteintrag vor. Nach dem Zufallsprinzip werden oder Schüler ausgewählt, die die Ergebnisse der vorhergehenden Schritte präsentieren. Falls nötig Hefteinträge komplettieren/korrigieren. Ist auch am Beginn der nächsten Stunde möglich. Festigen neuer Kenntnisse 9 0 Themengebiet, das durch einzelne Mikrospiralen realisiert wird. Zumeist wird der Unterricht bzw. jede Mikrospirale in folgende drei Phasen gegliedert: Vorwissen/Voreinstellungen aktivieren Neue Kenntnisse/Verfahrensweisen erarbeiten Kompleere Anwendungs- und Transferaufgaben Das hier vorliegende Arbeitsmaterial stellt eine mögliche Mikrospirale aus der Phase Vorwissen aktivieren und neue Kenntnisse als Einstieg in das Thema Eponentialfunktion dar. Die Schüler sollen wichtige Eigenschaften der Eponentialfunktion selbstständig erarbeiten, kompleere Anwendungs- und Transferaufgaben müssen hier aufgrund von Platzmangel entfallen. Der Vorschlag ist für Unterrichtseinheiten gedacht. Eine Zäsur nach Arbeitsschritt 4 ist möglich bzw. sinnvoll. EA PA PA GA PA GA Plenum Arbeitsblatt: Vorwissen aktivieren Erarbeitungsaufgabe A Erarbeitungsaufgabe B Hefteintrag Eigenschaften A Eigenschaften B Hefteintrag Kurze Wiederholung des neu erworbenen Wissens. Die Schüler bilden er- bis 3er-Gruppen und spielen Funktionen-Domino. PA 5 Funktionen-Domino Weiterführende Webseiten: wissenplus für Ihren Unterricht 4-05/06 I Alle Lösungen für diese Ausgabe von wissenplus, sowie für die letzte Ausgabe stehen zum Download unter bereit.

2 P FÜR IHREN UNTERRICHT EXPONENTIALFUNKTIONEN Autorin: EVELYN STEPANCIK ist Lehrerin für Mathematik, Deutsch und Informatik am BG/BRG Purkersdorf und unterrichtet im Rahmen der Erwachsenenbildung an der TGA Wien. Verantwortlicher Redakteur: MAG. WALTER SWOBODA BPA Wien, AL Berufsschulen Vorwissen aktivieren Mit den folgenden Aufgaben wiederholst du wichtiges Wissen zur Erarbeitung der Eponentialfunktion.. Ordne den Sachverhalten der linken Spalte die richtige Formel bzw. Berechnung der rechten Spalte zu. A B C D E Eine Stadt hatte im Jahr 003 ca Einwohner. Die Einwohnerzahl wächst jährlich um etwa 6 %. Die Einwohnerzahl im Jahr 004 beträgt: Der Wert einer Aktie betrug im Jahr 00. Aufgrund schlechter Wirtschaftsbedingungen nimmt der Wert der Aktie jährlich um, % ab. Der Wert der Aktie im Jahr 00: Bei günstigen Bedingungen verdoppelt sich die Bakterienanzahl alle 60 Minuten. Wenn zu Beginn der Beobachtung 50 Bakterien vorhanden sind, wie viele sind es dann nach vier Stunden? Eine Stadt hatte im Jahr 003 ca Einwohner. Die Einwohnerzahl wächst jährlich um etwa 6 %. Die Einwohnerzahl im Jahr 005 beträgt: Der Wert einer Aktie betrug im Jahr 00. Aufgrund schlechter Wirtschaftsbedingungen nimmt der Wert der Aktie jährlich um, % ab. Der Wert der Aktie im Jahr 004: Ordne den Ausdrücken der linken Spalte die richtigen Ausdrücke der rechten Spalte zu. A B C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 II wissenplus für Ihren Unterricht 4-05/06

3 P FÜR IHREN UNTERRICHT EXPONENTIALFUNKTIONEN Eponentialfunktion Erarbeitungsaufgabe A Eine bestimmte Bakterienkultur wird auf einer Nährlösung gezüchtet. Zu Beginn nehmen die Bakterien eine Fläche von 700 mm ein. Die Fläche vergrößert sich pro Stunde um ca. 35 %. A(n) ist der Inhalt der Fläche nach n Stunden.. Berechne A(n) für n = 0; ; ;,5; 3; 3,5; 4; 4,75; 5 und stelle eine Formel für A(n) auf. A(0) = A() = A() = A(,5) = A(3) = A(3,5) = A(4) = A(4,75) = A(5) = A(n) A(n) = n. Zeichne den Graphen der Funktion A, die jedem Zeitpunkt n den Flächeninhalt A(n) der Bakterienkultur zuordnet. Lies aus dem Graphen den ungefähren Flächeninhalt zum Zeitpunkt n =,5 und n = 3,5 ab. 3. Überlege, warum die einzelnen Wertepaare der obigen Tabelle durch eine ununterbrochene Linie verbunden werden dürfen. 4. Triff dich mit deinem Partner bzw. deiner Partnerin Eponentialfunktion Erarbeitungsaufgabe A zum Epertengespräch. Vervollständige nun deinen Teil des Hefteintrags. wissenplus für Ihren Unterricht 4-05/06 III

4 P FÜR IHREN UNTERRICHT EXPONENTIALFUNKTIONEN Eponentialfunktion Erarbeitungsaufgabe B Eine bestimmte Bakterienkultur verringert sich durch Zugabe eines Medikaments in die Nährlösung. Zu Beginn nehmen die Bakterien eine Fläche von 8000 mm ein. Die Fläche verringert sich pro Stunde um ca. 7 %. A(n) ist der Inhalt der Fläche nach n Stunden.. Berechne A(n) für n = 0; ; ;,5; 3; 3,5; 4; 4,75; 5 und stelle eine Formel für A(n) auf. A(0) = A() = A() = A(,5) = A(3) = A(3,5) = A(4) = A(4,75) = A(5) = A(n) A(n) = n. Zeichne den Graphen der Funktion A, die jedem Zeitpunkt n den Flächeninhalt A(n) der Bakterienkultur zuordnet. Lies aus dem Graphen den ungefähren Flächeninhalt zum Zeitpunkt n =,5 und n = 3,5 ab. 3. Überlege, warum die einzelnen Wertepaare der obigen Tabelle durch eine ununterbrochene Linie verbunden werden dürfen. 4. Triff dich mit deinem Partner bzw. deiner Partnerin Eponentialfunktion Erarbeitungsaufgabe B zum Epertengespräch. Vervollständige nun deinen Teil des Hefteintrags. IV wissenplus für Ihren Unterricht 4-05/06

5 P FÜR IHREN UNTERRICHT EXPONENTIALFUNKTIONEN Eponentialfunktion Eigenschaften A Deine Aufgabe ist es, Eigenschaften der Eponentialfunktion für herauszufinden. Vervollständige die Wertetabellen (auf 3 Dezimalen) und zeichne die Funktionsgraphen im vorgegebenen Koordinatensystem. -3 -,5 - -,5 - -0,5 0 0,5,5 y -3 -,5 - -,5 - -0,5 0 0,5,5 y -3 -,5 - -,5 - -0,5 0 0,5,5 y Triff dich mit deinem Partner bzw. deiner Partnerin Eponentialfunktion Eigenschaften A zum Epertengespräch und vervollständige deinen Hefteintrag. wissenplus für Ihren Unterricht 4-05/06 V

6 P FÜR IHREN UNTERRICHT EXPONENTIALFUNKTIONEN Eponentialfunktion Eigenschaften B Deine Aufgabe ist es, Eigenschaften der Eponentialfunktion für herauszufinden. Vervollständige die Wertetabellen (auf 3 Dezimalen) und zeichne die Funktionsgraphen im vorgegebenen Koordinatensystem. - -,5 - -0,5 0 0,5,5 3 y - -,5 - -0,5 0 0,5,5 y - -,5 - -0,5 0 0,5,5 y Triff dich mit deinem Partner bzw. deiner Partnerin Eponentialfunktion Eigenschaften B zum Epertengespräch und vervollständige deinen Hefteintrag. VI wissenplus für Ihren Unterricht 4-05/06

7 P FÜR IHREN UNTERRICHT EXPONENTIALFUNKTIONEN Eponentialfunktion Eigenschaften B Funktionen Domino START ENDE wissenplus für Ihren Unterricht 4-05/06 VII

8 P FÜR IHREN UNTERRICHT EXPONENTIALFUNKTIONEN Eponentialfunktion Hefteintrag. HEFTEINTRAG Definition: Eine reelle Funktion f: mit heißt Eponentialfunktion. Der Faktor c = im Erarbeitungsbeispiel A gibt an Die Basis a = im Erarbeitungsbeispiel A gibt an Der Faktor c = im Erarbeitungsbeispiel B gibt an Die Basis a = im Erarbeitungsbeispiel B gibt an. HEFTEINTRAG Der Graph einer Eponentialfunktion f mit geht stets durch den Punkt ( ). Eine Eponentialfunktion f mit ist streng monoton steigend, wenn a ist. Eine Eponentialfunktion f mit ist streng monoton fallend, wenn a ist. Die Graphen der Funktionen f und f mit und sind symmetrisch bezüglich der y-achse. VIII wissenplus für Ihren Unterricht 4-05/06

9 Eponentialfunktionen mit EVA Lösungen Mit den folgenden Aufgaben wiederholst du wichtiges Wissen zur Erarbeitung der Eponentialfunktion.. Ordne den Sachverhalten der linken Spalte die richtige Formel bzw. Berechnung der rechten Spalte zu. A B C D E Eine Stadt hatte im Jahr 003 ca Einwohner. Die Einwohnerzahl wächst jährlich um etwa 6%. Die Einwohnerzahl im Jahr 004 beträgt: Der Wert einer Aktie betrug im Jahr 00. Aufgrund schlechter Wirtschaftsbedingungen nimmt der Wert der Aktie jährlich um,% ab. Der Wert der Aktie im Jahr 00: Bei günstigen Bedingungen verdoppelt sich die Bakterienanzahl alle 60 Minuten. Wenn zu Beginn der Beobachtung 50 Bakterien vorhanden sind, wie viele sind es dann nach vier Stunden? Eine Stadt hatte im Jahr 003 ca Einwohner. Die Einwohnerzahl wächst jährlich um etwa 6%. Die Einwohnerzahl im Jahr 005 beträgt: Der Wert einer Aktie betrug im Jahr 00. Aufgrund schlechter Wirtschaftsbedingungen nimmt der Wert der Aktie jährlich um,% ab. Der Wert der Aktie im Jahr 004: 0, , 06 = , ,06 = = 400 Lösung: A4, B, C5, D, E3. Ordne den Ausdrücken der linken Spalte die richtigen Ausdrücke der rechten Spalte zu. A 4 3 ( a ) 3 B C D a a 3 7 a 8 a 3 ( ) 3 E a F a a 5 4 a 3 a 3 a a G a a 7 a H 0 Lösung: A5, B7, C6, D, E8, F3, G, H 9 a 8 a

10 Eponentialfunktionen mit EVA Lösungen Eine bestimmte Bakterienkultur wird auf einer Nährlösung gezüchtet. Zu Beginn nehmen die Bakterien eine Fläche von 700 mm² ein. Die Fläche vergrößert sich pro Stunde um ca. 35%. A(n) ist der Inhalt der Fläche nach n Stunden.. Berechne A(n) für n = 0; ; ;,5; 3; 3,5; 4; 4,75; 5 und stelle eine Formel für A(n) auf. A(0) = 700 A() = 945 A() = 75,75 A(,5) = 48,9 A(3) = 7,65 A(3,5) = 856,45 A(4) = 35,05438 A(4,75) = 9,95 A(5) = 338,834 A(n) = 700,35 n Zeichne den Graphen der Funktion A, die jedem Zeitpunkt n den Flächeninhalt A(n) der Bakterienkultur zuordnet. Lies aus dem Graphen den ungefähren Flächeninhalt zum Zeitpunkt n =,5 A(,5) 00 und n = 3,5 A(3,5) 000 ab. 3. Überlege, warum die einzelnen Wertepaare der obigen Tabelle durch eine ununterbrochene Linie verbunden werden dürfen. Die Fläche vergrößert sich je Stunde mit dem Faktor,35. Es kann angenommen werden, dass sich der Flächeninhalt in jeder viertel, halben, dreiviertel Stunde um einen Faktor q, q, q (der aber kleiner als,35 ist) vermehrt. q Faktor für eine halbe Stunde q q = (q )² =,35 q =, 35 =, 35 A = 700 q = 700,35. Für n kann jeder beliebige Zeitpunkt t eingesetzt werden. Zu beachten ist, dass das Bakterienwachstum nicht unbeschränkt erfolgt, weil zu einem bestimmten Zeitpunkt die Nährlösung ausgeht. 4. Triff dich mit deinem Partner bzw. deiner Partnerin Eponentialfunktion Erarbeitungsaufgabe B zum Epertengespräch. Vervollständige nun deinen Teil des Hefteintrags.

11 Eponentialfunktionen mit EVA Lösungen Eine bestimmte Bakterienkultur verringert sich durch Zugabe eines Medikaments in die Nährlösung. Zu Beginn nehmen die Bakterien eine Fläche von 8000 mm² ein. Die Fläche verringert sich pro Stunde um ca. 7%. A(n) ist der Inhalt der Fläche nach n Stunden.. Berechne A(n) für n = 0; ; ;,5; 3; 3,5; 4; 4,75; 5 und stelle eine Formel für A(n) auf. A(0) = 8000 A() = 5840 A() = 463, A(,5) = 364,48 A(3) = 3,4 A(3,5) = 876,66 A(4) = 7,86 A(4,75) = 794, A(5) = 658,46 A(n) = ,73 n Zeichne den Graphen der Funktion A, die jedem Zeitpunkt n den Flächeninhalt A(n) der Bakterienkultur zuordnet. Lies aus dem Graphen den ungefähren Flächeninhalt zum Zeitpunkt n =,5 A(,5) 4900 und n = 3,5 A(3,5) 660 ab. 3. Überlege, warum die einzelnen Wertepaare der obigen Tabelle durch eine ununterbrochene Linie verbunden werden dürfen. Die Fläche verringert sich je Stunde mit dem Faktor 0,73. Es kann angenommen werden, dass sich der Flächeninhalt in jeder viertel, halben, dreiviertel Stunde um einen Faktor q, q, q (der aber kleiner als,35 ist) verringert. q Faktor für eine halbe Stunde q q = (q )² = 0,73 A = 8000 q = ,73 q = 0,73 = 0,73. Für n kann jeder beliebige Zeitpunkt t eingesetzt werden. 4. Triff dich mit deinem Partner bzw. deiner Partnerin Eponentialfunktion Erarbeitungsaufgabe A zum Epertengespräch. Vervollständige nun deinen Teil des Hefteintrags.

12 Eponentialfunktionen mit EVA Lösungen Deine Aufgabe ist es, Eigenschaften der Eponentialfunktion f ( ) a = für 0< a < herauszufinden. Vervollständige die Wertetabellen (auf 3 Dezimalen) und zeichne die Funktionsgraphen im vorgegebenen Koordinatensystem. f f f ( ) = -3 -,5 - -,5 - -0,5 0 0,5,5 y 8,00 5,66 4,00,83,00,4,00 0,7 0,50 0,35 0,5 ( ) = 3-3 -,5 - -,5 - -0,5 0 0,5,5 y 7,00 5,59 9,00 5,0 3,00,73,00 0,58 0,33 0,9 0, 3 ( ) = 4-3 -,5 - -,5 - -0,5 0 0,5,5 y 64,00 3,00 6,00 8,00 4,00,00,00 0,50 0,5 0,3 0,06 Triff dich mit deinem Partner bzw. deiner Partnerin Eponentialfunktion Eigenschaften B zum Epertengespräch und vervollständige deinen Hefteintrag.

13 Eponentialfunktionen mit EVA Lösungen Deine Aufgabe ist es, Eigenschaften der Eponentialfunktion f ( ) = a für a > herauszufinden. Vervollständige die Wertetabellen (auf 3 Dezimalen) und zeichne die Funktionsgraphen im vorgegebenen Koordinatensystem. f ( ) = - -,5 - -0,5 0 0,5,5,5 3 y 0,3 0,8 0,5 0,35 0,50 0,7,00,4,00,83 4,00 f ( ) = 3 - -,5 - -0,5 0 0,5,5 y 0,04 0,06 0, 0,9 0,33 0,58,00,73 3,00 f3 ( ) = 4 - -,5 - -0,5 0 0,5,5 y 0,0 0,03 0,06 0,3 0,5 0,50,00,00 4,00 Triff dich mit deinem Partner bzw. deiner Partnerin Eponentialfunktion Eigenschaften A zum Epertengespräch und vervollständige deinen Hefteintrag.

14 Eponentialfunktionen mit EVA Lösungen : Auf einem dickeren Papier (Karton) ausdrucken, folieren und zerschneiden. START y = y = y = 4 y = 4 y = 8 3 y = 4 5 y = Ende

15 Eponentialfunktionen mit EVA Lösungen. Hefteintrag Definition: Eine reelle Funktion f: A R mit ( ) ( *, + f = c a c a, a ) Eponentialfunktion. heißt Der Faktor c = 700 im Erarbeitungsbeispiel A gibt die Größe des Flächeninhalts, den die Bakterienkultur zum Zeitpunkt 0 hat, an. Die Basis a =,35 im Erarbeitungsbeispiel A gibt an, um welchen Faktor sich der Flächeninhalt der Bakterienkultur pro Stunde vermehrt. Der Faktor c = 8000 im Erarbeitungsbeispiel B gibt die Größe des Flächeninhalts, den die Bakterienkultur zum Zeitpunkt 0 hat, an. Die Basis a = 0,73 im Erarbeitungsbeispiel B gibt an, um welchen Faktor sich der Flächeninhalt der Bakterienkultur pro Stunde verringert.. Hefteintrag + Der Graph einer Eponentialfunktion f mit f ( ) = a ( a, a ) (0 ). geht stets durch den Punkt Eine Eponentialfunktion f mit f ( ) = a ist streng monoton steigend, wenn a > ist. Eine Eponentialfunktion f mit f ( ) = a ist streng monoton fallend, wenn 0 < a < ist. f a Die Graphen der Funktionen f und f mit ( ) f ( ) = und = sind symmetrisch bezüglich der y-achse. a