Max Neunhöffer. Computeralgebra-Symposium Konstanz Lehrstuhl D für Mathematik RWTH Aachen. Sudokus und Symmetrie.

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1 gefüllte Sudokus und Lehrstuhl D für Mathematik RWTH Aachen Computeralgebra-Symposium Konstanz..00

2 gefüllte

3 Ein (gefülltes) Sudoku-Feld: gefüllte

4 Ein (gefülltes) Sudoku-Feld: gefüllte In jeder Zeile kommen alle Ziffern genau einmal vor. In jeder Spalte kommen alle Ziffern genau einmal vor. In jedem Block kommen alle Ziffern genau einmal vor.

5 Ein Sudoku-Rätsel: gefüllte Aufgabe: Fülle Raster zu Sudoku-Feld.

6 Ein Sudoku-Rätsel: gefüllte Aufgabe: Fülle Raster zu Sudoku-Feld.

7 Ein Sudoku-Rätsel: gefüllte Aufgabe: Fülle Raster zu Sudoku-Feld. Versprechen: Es gibt nur genau eine Möglichkeit!

8 Computeralgebra und Mathematik zu tun? gefüllte

9 Computeralgebra und Mathematik zu tun? gefüllte Man kommt sehr schnell auf interessante Probleme: Wie löst man

10 Computeralgebra und Mathematik zu tun? gefüllte Man kommt sehr schnell auf interessante Probleme: Wie löst man Wie schwer ist ein

11 Computeralgebra und Mathematik zu tun? gefüllte Man kommt sehr schnell auf interessante Probleme: Wie löst man Wie schwer ist ein Lösungen gibt es zu einem Satz von Hinweisen?

12 Computeralgebra und Mathematik zu tun? gefüllte Man kommt sehr schnell auf interessante Probleme: Wie löst man Wie schwer ist ein Lösungen gibt es zu einem Satz von Hinweisen? verschiedene Sudoku-Felder gibt es?

13 Computeralgebra und Mathematik zu tun? gefüllte Man kommt sehr schnell auf interessante Probleme: Wie löst man Wie schwer ist ein Lösungen gibt es zu einem Satz von Hinweisen? verschiedene Sudoku-Felder gibt es? verschiedene gibt es?

14 Computeralgebra und Mathematik zu tun? gefüllte Man kommt sehr schnell auf interessante Probleme: Wie löst man Wie schwer ist ein Lösungen gibt es zu einem Satz von Hinweisen? verschiedene Sudoku-Felder gibt es? verschiedene gibt es? Hinweise muss man geben, damit die Lösung eindeutig ist?

15 Computeralgebra und Mathematik zu tun? gefüllte Man kommt sehr schnell auf interessante Probleme: Wie löst man Wie schwer ist ein Lösungen gibt es zu einem Satz von Hinweisen? verschiedene Sudoku-Felder gibt es? verschiedene gibt es? Hinweise muss man geben, damit die Lösung eindeutig ist? Diese Probleme sind verschieden schwer.

16 Computeralgebra und Mathematik zu tun? gefüllte Man kommt sehr schnell auf interessante Probleme: Wie löst man Wie schwer ist ein Lösungen gibt es zu einem Satz von Hinweisen? verschiedene Sudoku-Felder gibt es? verschiedene gibt es? Hinweise muss man geben, damit die Lösung eindeutig ist? Diese Probleme sind verschieden schwer. Wenn gelöst, dann durch eine Kombination aus Mathematik und Computeralgebra.

17 gefüllte [] Bertram Felgenhauer und Frazer Jarvis: Mathematics of Sudoku I, 00.

18 gefüllte [] Bertram Felgenhauer und Frazer Jarvis: Mathematics of Sudoku I, 00. [] Ed Russell und Frazer Jarvis: Mathematics of Sudoku II, 00.

19 gefüllte [] Bertram Felgenhauer und Frazer Jarvis: Mathematics of Sudoku I, 00. [] Ed Russell und Frazer Jarvis: Mathematics of Sudoku II, 00. Alles kann unter: abgerufen werden.

20 gefüllte gefüllte Sudoku-Felder gibt es?

21 Lateinische Quadrate Jedes Sudoku-Feld ist ein lateinisches Quadrat. gefüllte

22 Lateinische Quadrate gefüllte Jedes Sudoku-Feld ist ein lateinisches Quadrat. Es gibt lateinsche Quadrate der Größe,

23 Lateinische Quadrate gefüllte Jedes Sudoku-Feld ist ein lateinisches Quadrat. Es gibt lateinsche Quadrate der Größe, lateinische Quadrate der Größe,

24 Lateinische Quadrate gefüllte Jedes Sudoku-Feld ist ein lateinisches Quadrat. Es gibt lateinsche Quadrate der Größe, lateinische Quadrate der Größe, lateinische Quadrate der Größe,

25 Lateinische Quadrate gefüllte Jedes Sudoku-Feld ist ein lateinisches Quadrat. Es gibt lateinsche Quadrate der Größe, lateinische Quadrate der Größe, lateinische Quadrate der Größe, Die Anzahlen für 0 0 und sind noch bekannt.

26 Lateinische Quadrate gefüllte Jedes Sudoku-Feld ist ein lateinisches Quadrat. Es gibt lateinsche Quadrate der Größe, lateinische Quadrate der Größe, lateinische Quadrate der Größe, Die Anzahlen für 0 0 und sind noch bekannt. = Es gibt weniger Sudokus, aber doch sehr viele.

27 gefüllte

28 gefüllte Wenn wir die Ziffern umnummerieren, entsteht wieder ein Sudoku-Feld.

29 gefüllte Wenn wir die Ziffern umnummerieren, entsteht wieder ein Sudoku-Feld. Etwa so: von nach

30 gefüllte Wenn wir die Ziffern umnummerieren, entsteht wieder ein Sudoku-Feld. Etwa so: von nach

31 gefüllte Wenn wir die Ziffern umnummerieren, entsteht wieder ein Sudoku-Feld. Etwa so: von nach Sparfaktor:! = = 0

32 Wir betrachten zunächst nur die oberen drei -Blöcke: gefüllte

33 gefüllte Wir betrachten zunächst nur die oberen drei -Blöcke: Welche Möglichkeiten bleiben für die rechten Blöcke?

34 gefüllte Wir betrachten zunächst nur die oberen drei -Blöcke: Welche Möglichkeiten bleiben für die rechten Blöcke? (Typ I) {,,} {,,}

35 gefüllte Wir betrachten zunächst nur die oberen drei -Blöcke: Welche Möglichkeiten bleiben für die rechten Blöcke? (Typ I) {,,} {,,} {,,} {,,} {,,} {,,}

36 gefüllte Wir betrachten zunächst nur die oberen drei -Blöcke: Welche Möglichkeiten bleiben für die rechten Blöcke? (Typ I) {,,} {,,} {,,} {,,} {,,} {,,} (Typ II) {,,} {,,}

37 gefüllte Wir betrachten zunächst nur die oberen drei -Blöcke: Welche Möglichkeiten bleiben für die rechten Blöcke? (Typ I) (Typ II) {,,} {,,} {,,} {,,} {,,} {,,} {,,} {,,a} {,b,c} {,,} {,b,c} {,,a} wobei {a, b, c} = {,, } ist.

38 Anzahlen für erste Blockzeile gefüllte (Typ I) {,,} {,,} {,,} {,,} {,,} {,,} mal Typ I: {,, } {,, } und {,, } {,, },

39 Anzahlen für erste Blockzeile gefüllte (Typ I) {,,} {,,} {,,} {,,} {,,} {,,} mal Typ I: {,, } {,, } und {,, } {,, }, jeweils (!) verschiedene Konfigurationen

40 Anzahlen für erste Blockzeile gefüllte (Typ II) {,,} {,,a} {,b,c} {,,} {,b,c} {,,a} mal Typ I: {,, } {,, } und {,, } {,, }, jeweils (!) verschiedene Konfigurationen = mal Typ II

41 Anzahlen für erste Blockzeile gefüllte (Typ II) {,,} {,,a} {,b,c} {,,} {,b,c} {,,a} mal Typ I: {,, } {,, } und {,, } {,, }, jeweils (!) verschiedene Konfigurationen = mal Typ II (greife zwei aus {,, }, eine aus {,, } und eine aus {,, } (wähle a) heraus bzw. andersherum)

42 Anzahlen für erste Blockzeile gefüllte (Typ II) {,,} {,,a} {,b,c} {,,} {,b,c} {,,a} mal Typ I: {,, } {,, } und {,, } {,, }, jeweils (!) verschiedene Konfigurationen = mal Typ II (greife zwei aus {,, }, eine aus {,, } und eine aus {,, } (wähle a) heraus bzw. andersherum) jeweils (!) verschiedene Konfigurationen

43 Anzahlen für erste Blockzeile gefüllte (Typ II) {,,} {,,a} {,b,c} {,,} {,b,c} {,,a} mal Typ I: {,, } {,, } und {,, } {,, }, jeweils (!) verschiedene Konfigurationen = mal Typ II (greife zwei aus {,, }, eine aus {,, } und eine aus {,, } (wähle a) heraus bzw. andersherum) jeweils (!) verschiedene Konfigurationen = macht insgesamt (!) + (!) =

44 Anzahlen für erste Blockzeile gefüllte (Typ II) {,,} {,,a} {,b,c} {,,} {,b,c} {,,a} mal Typ I: {,, } {,, } und {,, } {,, }, jeweils (!) verschiedene Konfigurationen = mal Typ II (greife zwei aus {,, }, eine aus {,, } und eine aus {,, } (wähle a) heraus bzw. andersherum) jeweils (!) verschiedene Konfigurationen = macht insgesamt (!) + (!) = = ohne Umnummerieren:! = 00

45 Spaltenvertauschung Idee: Finde Gruppen von Konfigurationen mit gleicher Fortsetzungsanzahl. gefüllte

46 gefüllte Spaltenvertauschung Idee: Finde Gruppen von Konfigurationen mit gleicher Fortsetzungsanzahl. Beispiel:

47 gefüllte Spaltenvertauschung Idee: Finde Gruppen von Konfigurationen mit gleicher Fortsetzungsanzahl. Beispiel: = gleiche Anzahl von Fortsetzungen zu vollen Sudokus

48 gefüllte Spaltenvertauschung Idee: Finde Gruppen von Konfigurationen mit gleicher Fortsetzungsanzahl. Beispiel: = gleiche Anzahl von Fortsetzungen zu vollen Sudokus (permutiere Spalten in den Fortsetzungen genauso)

49 Spaltenvertauschung Insgesamt gehen noch wesentlich mehr Operationen: gefüllte

50 gefüllte Spaltenvertauschung Insgesamt gehen noch wesentlich mehr Operationen: plus.

51 gefüllte Spaltenvertauschung Insgesamt gehen noch wesentlich mehr Operationen: plus. Zwei Konfigurationen, die durch diese Operationen auseinander hervorgehen, haben die gleiche Anzahl Fortsetzungen.

52 gefüllte Spaltenvertauschung Insgesamt gehen noch wesentlich mehr Operationen: plus. Zwei Konfigurationen, die durch diese Operationen auseinander hervorgehen, haben die gleiche Anzahl Fortsetzungen. = Berechne Klasseneinteilung durch Vergröberung.

53 gefüllte Spaltenvertauschung Insgesamt gehen noch wesentlich mehr Operationen: plus. Zwei Konfigurationen, die durch diese Operationen auseinander hervorgehen, haben die gleiche Anzahl Fortsetzungen. = Berechne Klasseneinteilung durch Vergröberung. = Liefert Klassen, zähle jeweils Elemente.

54 gefüllte Vertauschung in den Spalten Für die Frage, wie zum Beispiel zu einem Sudoku-Feld fortgesetzt werden kann, spielt

55 gefüllte Vertauschung in den Spalten Für die Frage, wie zum Beispiel zu einem Sudoku-Feld fortgesetzt werden kann, spielt die Reihenfolge der Zahlen in jeder Spalte keine Rolle.

56 gefüllte Vertauschung in den Spalten Für die Frage, wie zum Beispiel zu einem Sudoku-Feld fortgesetzt werden kann, spielt die Reihenfolge der Zahlen in jeder Spalte keine Rolle. Dies interferiert aber mit der!

57 gefüllte Vertauschung in den Spalten Für die Frage, wie zum Beispiel zu einem Sudoku-Feld fortgesetzt werden kann, spielt die Reihenfolge der Zahlen in jeder Spalte keine Rolle. Dies interferiert aber mit der! = schwieriger zu rechnen: naiver Ansatz: Reduktion auf 0 Klassen Felgenhauer/Jarvis/Russel: Reduktion auf

58 gefüllte Der Rest ist Für je eine Konfiguration aus den 0 Klassen C i berechnet man mit einem Backtrack-Suchalgorithmus die Anzahl aller Fortsetzungen eines c C i,

59 gefüllte Der Rest ist Für je eine Konfiguration aus den 0 Klassen C i berechnet man mit einem Backtrack-Suchalgorithmus die Anzahl aller Fortsetzungen eines c C i, multipliziert jeweils mit C i und addiert, und

60 gefüllte Der Rest ist Für je eine Konfiguration aus den 0 Klassen C i berechnet man mit einem Backtrack-Suchalgorithmus die Anzahl aller Fortsetzungen eines c C i, multipliziert jeweils mit C i und addiert, und spart noch einen Faktor durch erste Spalte:

61 gefüllte Der Rest ist Für je eine Konfiguration aus den 0 Klassen C i berechnet man mit einem Backtrack-Suchalgorithmus die Anzahl aller Fortsetzungen eines c C i, multipliziert jeweils mit C i und addiert, und spart noch einen Faktor durch erste Spalte:

62 gefüllte Der Rest ist Für je eine Konfiguration aus den 0 Klassen C i berechnet man mit einem Backtrack-Suchalgorithmus die Anzahl aller Fortsetzungen eines c C i, multipliziert jeweils mit C i und addiert, und spart noch einen Faktor durch erste Spalte:

63 Und die Antwort ist... gefüllte

64 Und die Antwort ist... gefüllte ,

65 Und die Antwort ist... gefüllte , also etwa unter 000 lateinischen Quadraten.

66 gefüllte verschiedene Sudoku-Felder gibt es?

67 Wir kennen schon Operationen, die ein Sudoku in ein anderes überführen: gefüllte

68 gefüllte Wir kennen schon Operationen, die ein Sudoku in ein anderes überführen: Umnummerieren

69 gefüllte Wir kennen schon Operationen, die ein Sudoku in ein anderes überführen: Umnummerieren Vertauschung von Zeilen in den Blockzeilen

70 gefüllte Wir kennen schon Operationen, die ein Sudoku in ein anderes überführen: Umnummerieren Vertauschung von Zeilen in den Blockzeilen Vertauschung von Blockzeilen

71 gefüllte Wir kennen schon Operationen, die ein Sudoku in ein anderes überführen: Umnummerieren Vertauschung von Zeilen in den Blockzeilen Vertauschung von Blockzeilen Vertauschung von Spalten in den Blockspalten

72 gefüllte Wir kennen schon Operationen, die ein Sudoku in ein anderes überführen: Umnummerieren Vertauschung von Zeilen in den Blockzeilen Vertauschung von Blockzeilen Vertauschung von Spalten in den Blockspalten Vertauschung von Blockspalten

73 gefüllte Wir kennen schon Operationen, die ein Sudoku in ein anderes überführen: Umnummerieren Vertauschung von Zeilen in den Blockzeilen Vertauschung von Blockzeilen Vertauschung von Spalten in den Blockspalten Vertauschung von Blockspalten Transponieren

74 gefüllte Wir kennen schon Operationen, die ein Sudoku in ein anderes überführen: Umnummerieren Vertauschung von Zeilen in den Blockzeilen Vertauschung von Blockzeilen Vertauschung von Spalten in den Blockspalten Vertauschung von Blockspalten Transponieren (Drehungen und Spiegelungen dadurch erreichbar)

75 gefüllte Wir kennen schon Operationen, die ein Sudoku in ein anderes überführen: Umnummerieren Vertauschung von Zeilen in den Blockzeilen Vertauschung von Blockzeilen Vertauschung von Spalten in den Blockspalten Vertauschung von Blockspalten Transponieren (Drehungen und Spiegelungen dadurch erreichbar) Zwei Sudoku-Felder heißen im Wesentlichen gleich, wenn Sie durch eine Folge dieser Operationen ineinander übergeführt werden können.

76 gefüllte Operationen von Gruppen auf Mengen Es sei G eine Gruppe und Ω eine (nichtleere) Menge. G operiert auf Ω, falls eine Abbildung existiert mit G Ω Ω, (g, ω) g ω (gh) ω = g (h ω) für alle g, h G und ω Ω, ω = ω für alle ω Ω.

77 gefüllte Operationen von Gruppen auf Mengen Es sei G eine Gruppe und Ω eine (nichtleere) Menge. G operiert auf Ω, falls eine Abbildung existiert mit G Ω Ω, (g, ω) g ω (gh) ω = g (h ω) für alle g, h G und ω Ω, ω = ω für alle ω Ω. Operiert G auf Ω, so heißt für ein ω Ω G ω := {g ω g G} Ω die G-Bahn von ω.

78 gefüllte Operationen von Gruppen auf Mengen Es sei G eine Gruppe und Ω eine (nichtleere) Menge. G operiert auf Ω, falls eine Abbildung existiert mit G Ω Ω, (g, ω) g ω (gh) ω = g (h ω) für alle g, h G und ω Ω, ω = ω für alle ω Ω. Operiert G auf Ω, so heißt für ein ω Ω G ω := {g ω g G} Ω die G-Bahn von ω. G ω := {g G g ω = ω} G der Stabilisator von ω.

79 gefüllte Operationen von Gruppen auf Mengen Es sei G eine Gruppe und Ω eine (nichtleere) Menge. G operiert auf Ω, falls eine Abbildung existiert mit G Ω Ω, (g, ω) g ω (gh) ω = g (h ω) für alle g, h G und ω Ω, ω = ω für alle ω Ω. Operiert G auf Ω, so heißt für ein ω Ω Es gilt G ω := {g ω g G} Ω die G-Bahn von ω. G ω := {g G g ω = ω} G der Stabilisator von ω. Gω = [G : G ω ] = G G ω, d.h. die Länge der Bahn ist der Index des Stabilisators in G.

80 gefüllte Operationen von Gruppen auf Mengen Es sei G eine Gruppe und Ω eine (nichtleere) Menge. G operiert auf Ω, falls eine Abbildung existiert mit G Ω Ω, (g, ω) g ω (gh) ω = g (h ω) für alle g, h G und ω Ω, ω = ω für alle ω Ω. Operiert G auf Ω, so heißt für ein ω Ω Es gilt G ω := {g ω g G} Ω die G-Bahn von ω. G ω := {g G g ω = ω} G der Stabilisator von ω. Gω = [G : G ω ] = G G ω, d.h. die Länge der Bahn ist der Index des Stabilisators in G. Wie kann man die Anzahl der G-Bahnen auf Ω bestimmen?

81 Nicht Burnsides Es sei Ω/G die Menge der G-Bahnen auf Ω. gefüllte

82 gefüllte Nicht Burnsides Es sei Ω/G die Menge der G-Bahnen auf Ω. (Cauchy-Frobenius-Burnside) Die Anzahl der Bahnen Ω/G von G auf Ω ist Fix Ω (g), G g G wobei Fix Ω (g) := {ω Ω g ω = ω} ist.

83 gefüllte Nicht Burnsides Es sei Ω/G die Menge der G-Bahnen auf Ω. (Cauchy-Frobenius-Burnside) Die Anzahl der Bahnen Ω/G von G auf Ω ist Fix Ω (g), G g G wobei Fix Ω (g) := {ω Ω g ω = ω} ist. Beweis: Fix Ω (g) = {(g, ω) G Ω g ω = ω} g G

84 gefüllte Nicht Burnsides Es sei Ω/G die Menge der G-Bahnen auf Ω. (Cauchy-Frobenius-Burnside) Die Anzahl der Bahnen Ω/G von G auf Ω ist Fix Ω (g), G g G wobei Fix Ω (g) := {ω Ω g ω = ω} ist. Beweis: Fix Ω (g) = {(g, ω) G Ω g ω = ω} g G = ω Ω G ω = ω Ω G G ω

85 gefüllte Nicht Burnsides Es sei Ω/G die Menge der G-Bahnen auf Ω. (Cauchy-Frobenius-Burnside) Die Anzahl der Bahnen Ω/G von G auf Ω ist Fix Ω (g), G g G wobei Fix Ω (g) := {ω Ω g ω = ω} ist. Beweis: Fix Ω (g) = {(g, ω) G Ω g ω = ω} g G = G ω = ω Ω ω Ω = G B Ω/G ω B G G ω B = G B Ω/G

86 gefüllte Nicht Burnsides Es sei Ω/G die Menge der G-Bahnen auf Ω. (Cauchy-Frobenius-Burnside) Die Anzahl der Bahnen Ω/G von G auf Ω ist Fix Ω (g), G g G wobei Fix Ω (g) := {ω Ω g ω = ω} ist. Beweis: Fix Ω (g) = {(g, ω) G Ω g ω = ω} g G = G ω = ω Ω ω Ω = G B Ω/G ω B = G Ω/G. G G ω B = G B Ω/G

87 Die Sudoku-Gruppe G hat (!)! = 00 Elemente. gefüllte

88 gefüllte Die Sudoku-Gruppe G hat (!)! = 00 Elemente. Das Umnummerieren vertauscht mit den anderen Operationen: G = U H.

89 gefüllte Die Sudoku-Gruppe G hat (!)! = 00 Elemente. Das Umnummerieren vertauscht mit den anderen Operationen: G = U H. Bezeichnung: Wir nennen zwei Sudoku-Felder äquivalent, wenn sie durch Umnummerieren auseinander hervorgehen.

90 gefüllte Die Sudoku-Gruppe G hat (!)! = 00 Elemente. Das Umnummerieren vertauscht mit den anderen Operationen: G = U H. Bezeichnung: Wir nennen zwei Sudoku-Felder äquivalent, wenn sie durch Umnummerieren auseinander hervorgehen. H operiert auf den Äquivalenzklassen von Sudokus.

91 gefüllte Die Sudoku-Gruppe G hat (!)! = 00 Elemente. Das Umnummerieren vertauscht mit den anderen Operationen: G = U H. Bezeichnung: Wir nennen zwei Sudoku-Felder äquivalent, wenn sie durch Umnummerieren auseinander hervorgehen. H operiert auf den Äquivalenzklassen von Sudokus. Idee: Benutze Cauchy-Frobenius-Burnside-.

92 gefüllte Die Sudoku-Gruppe G hat (!)! = 00 Elemente. Das Umnummerieren vertauscht mit den anderen Operationen: G = U H. Bezeichnung: Wir nennen zwei Sudoku-Felder äquivalent, wenn sie durch Umnummerieren auseinander hervorgehen. H operiert auf den Äquivalenzklassen von Sudokus. Idee: Benutze Cauchy-Frobenius-Burnside-. Problem: H = immer noch ziemlich groß.

93 gefüllte Gruppentheorie Operiert H auf Ω und sind h, k H, dann ist Fix Ω (khk ) = k Fix Ω (h), also Fix Ω (h) = Fix Ω (khk ).

94 gefüllte Gruppentheorie Operiert H auf Ω und sind h, k H, dann ist Fix Ω (khk ) = k Fix Ω (h), also Fix Ω (h) = Fix Ω (khk ). Benutze das Computeralgebrasystem GAP, um die Konjugiertenklassen von H zu bestimmen.

95 gefüllte Gruppentheorie Operiert H auf Ω und sind h, k H, dann ist Fix Ω (khk ) = k Fix Ω (h), also Fix Ω (h) = Fix Ω (khk ). Benutze das Computeralgebrasystem GAP, um die Konjugiertenklassen von H zu bestimmen. Es sind.

96 gefüllte Gruppentheorie Operiert H auf Ω und sind h, k H, dann ist Fix Ω (khk ) = k Fix Ω (h), also Fix Ω (h) = Fix Ω (khk ). Benutze das Computeralgebrasystem GAP, um die Konjugiertenklassen von H zu bestimmen. Es sind. Suche für jede von diesen durch Backtracksuche alle Äquivalenzklassen von Sudoku-Feldern, die von einem Klassenvertreter in auf sich abgebildet wird.

97 gefüllte Gruppentheorie Operiert H auf Ω und sind h, k H, dann ist Fix Ω (khk ) = k Fix Ω (h), also Fix Ω (h) = Fix Ω (khk ). Benutze das Computeralgebrasystem GAP, um die Konjugiertenklassen von H zu bestimmen. Es sind. Suche für jede von diesen durch Backtracksuche alle Äquivalenzklassen von Sudoku-Feldern, die von einem Klassenvertreter in auf sich abgebildet wird. Es gibt 0 wesentlich verschiedene Sudokus.

98 gefüllte Sudoku-Rätsel gibt es?

99 Unzählige Wie macht man gefüllte

100 Unzählige Wie macht man Nimm eines der 0 Sudoku-Felder. gefüllte

101 gefüllte Unzählige Wie macht man Nimm eines der 0 Sudoku-Felder. Trage so lange Hinweise ein, bis es eindeutig wird.

102 gefüllte Unzählige Wie macht man Nimm eines der 0 Sudoku-Felder. Trage so lange Hinweise ein, bis es eindeutig wird. braucht

103 gefüllte Unzählige Wie macht man Nimm eines der 0 Sudoku-Felder. Trage so lange Hinweise ein, bis es eindeutig wird. braucht Typisch sind etwa 0, wobei weniger nicht unbedingt schwerer zu lösen bedeutet!

104 gefüllte Unzählige Wie macht man Nimm eines der 0 Sudoku-Felder. Trage so lange Hinweise ein, bis es eindeutig wird. braucht Typisch sind etwa 0, wobei weniger nicht unbedingt schwerer zu lösen bedeutet! ) Es gibt schon = 000 ( Möglichkeiten, Hinweise für ein einziges Sudoku-Feld auszusuchen,

105 gefüllte Unzählige Wie macht man Nimm eines der 0 Sudoku-Felder. Trage so lange Hinweise ein, bis es eindeutig wird. braucht Typisch sind etwa 0, wobei weniger nicht unbedingt schwerer zu lösen bedeutet! ) Es gibt schon = 000 ( Möglichkeiten, Hinweise für ein einziges Sudoku-Feld auszusuchen, etliche werden zu Sudoku-Rätseln führen.

106 gefüllte Unzählige Wie macht man Nimm eines der 0 Sudoku-Felder. Trage so lange Hinweise ein, bis es eindeutig wird. braucht Typisch sind etwa 0, wobei weniger nicht unbedingt schwerer zu lösen bedeutet! ) Es gibt schon = 000 ( Möglichkeiten, Hinweise für ein einziges Sudoku-Feld auszusuchen, etliche werden zu Sudoku-Rätseln führen. Eine solche Auswahl von liefert ( ) = 00 Rätsel.

107 gefüllte Unzählige Wie macht man Nimm eines der 0 Sudoku-Felder. Trage so lange Hinweise ein, bis es eindeutig wird. braucht Typisch sind etwa 0, wobei weniger nicht unbedingt schwerer zu lösen bedeutet! ) Es gibt schon = 000 ( Möglichkeiten, Hinweise für ein einziges Sudoku-Feld auszusuchen, etliche werden zu Sudoku-Rätseln führen. Eine solche Auswahl von liefert ( ) = 00 Rätsel. = Anzahl der Sudokurätsel astronomisch und unbekannt.

108 Offenes Problem gefüllte Frage

109 Offenes Problem gefüllte Frage Derzeitige Lage: Es gibt Sudoku-Rätsel mit Hinweisen.

110 Offenes Problem gefüllte Frage Derzeitige Lage: Es gibt Sudoku-Rätsel mit Hinweisen. Es ist kein Sudoku-Rätsel mit Hinweisen bekannt.

111 Offenes Problem gefüllte Frage Derzeitige Lage: Es gibt Sudoku-Rätsel mit Hinweisen. Es ist kein Sudoku-Rätsel mit Hinweisen bekannt. Gordon Royle an der University of Western Australia hat derzeit Sudoku-Rätsel mit Hinweisen:

112 Offenes Problem gefüllte Frage Derzeitige Lage: Es gibt Sudoku-Rätsel mit Hinweisen. Es ist kein Sudoku-Rätsel mit Hinweisen bekannt. Gordon Royle an der University of Western Australia hat derzeit Sudoku-Rätsel mit Hinweisen: Es wird vermutet, dass es nicht sehr viel mehr gibt.

113 Offenes Problem gefüllte Frage Derzeitige Lage: Es gibt Sudoku-Rätsel mit Hinweisen. Es ist kein Sudoku-Rätsel mit Hinweisen bekannt. Gordon Royle an der University of Western Australia hat derzeit Sudoku-Rätsel mit Hinweisen: Es wird vermutet, dass es nicht sehr viel mehr gibt. Bei keinem der bekannten er kann man einen Hinweis weglassen.

114 Einige Links gefüllte

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