10. Vorlesung EP I. Mechanik 7. Schwingungen (freie, gedämpfte und erzwungene Schwingung, Resonanz, Schwebung)

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1 10. Vorlesung EP I. Mechanik 7. Schwingungen (freie, gedämpfte und erzwungene Schwingung, Resonanz, Schwebung) Versuche: Pendel mit zwei Längen Sandpendel ohne/mit Dämpfung erzwungene Schwingung mit ω < ω 0, ω = ω 0, ω > ω 0 ( Texastower ) Tacoma Bridge Film zwei gekoppelte Pendel

2 7. Schwingungen Schwingungen Schwingung: räumlich und zeitlich wiederkehrender (=periodischer) Vorgang Zu besprechen: ungedämpfte freie Schwingung gedämpfte freie Schwingung erzwungene gedämpfte Schwingung Ungedämpfte freie Schwingungen Beispiel Federpendel (a) in Ruhe (b) gespannt: Auslenkung x Rückstellkraft der Feder F R = Dx (c) losgelassen a) b) c) Bewegung erfolgt nach den bekannten Gesetzen: M a = Dx (2. Newtonsches Axiom)

3 Hier werden wir mal differenzieren: a = dv dt v = dx ergibt a = d 2 x ; dt dt 2 (mit unseren Differenzen könnten wir auch schreiben: a = v t v = x t ergibt a = x t t Mit diesen Ableitungen erhalten wir aus dem 2. Newtonschen Axiom eine neue Gleichung: (*) ; M d 2 x dt 2 + Dx = 0 ist eine Differentialgleichung. Die Lösung muß eine Funktion x(t) sein, deren 2. Ableitung proportional zur Funktion selber ist.

4 Lösungsansatz: (**) x( t)= A 0 cos( ω 0 t + ϕ 0 ) (Sinusfunktion wäre auch möglich.) harmonische Schwingung x(t) momentane Auslenkung A 0 = maximale Auslenkung = maximale Amplitude φ(t): = ω 0 t + φ 0 =Phase der Schwingung, wobei Anfangsphase φ 0 beliebig. dϕ dt = ω 0 = Kreisfrequenz ω 2π 0 f0 = = 1 T ist Frequenz der Schwingung. T ist die Periode der Schwingung

5 Setzen wir (**) in (*) ein und verwenden, dass d(sin(ω 0 t) dt = ω 0 cos(ω 0 t) ist, so erhalten wir: d(cos(ω 0 t) dt = ω 0 sin(ω 0 t) und -Mω 0 2 cos(ω 0 t + ϕ 0 ) + D cos(ω 0 t + ϕ 0 ) = 0. Daraus folgt: ω 0 = D M Maximalamplitude A 0 ist beliebig und hängt nur von der Anfangsbedingung ab. Graphische Darstellung der Lösung: x(t) =A 0 cos(ωt + φ 0 ) = A 0 cos(φ(t)) Wenn die Kraft auf einen Körper proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage ist, vollführt er eine harmonische Schwingung.

6 Anderes Beispiel: Schwerependel Idealfall mathematisches Pendel : Punktmasse m, Faden masselos (sonst: physikalisches Pendel ) Die Schwerkraft F G = mg wird zerlegt in F (wird durch Fadenspannung F Faden kompensiert) und F tangential = =sin α mg α mg (kleine Auslenkung). Diese bewirkt eine Beschleunigung d 2 x/dt 2 = l d 2 α/dt 2 : m l d 2 α/dt 2 = α m g d 2 α/dt = (g/l) α Lösung: α = α 0 cosωt (Newton II), F = -F Faden Bogenstrecke dx = l α, 2 2 d x d α =l 2 2 dt dt Einsetzen in obige Differenzialgleichung ergibt: ω= g l Die Schwingungsdauer T = 2π/ω =2π hängt also nicht von der Masse ab, nur von der Fadenlänge. l g

7 Gedämpfte Schwingung Zusätzlich zur Rückstellkraft (-D x) wirkt eine Reibungskraft (-γ v=-γ dx/dt) z.b. Stokesche Reibung bei Schwingung in Flüssigkeit oder Gas. Kräftegleichung (Differentialgleichung) 2 d x dt M 2 dx + γ + Dx dt = 0 Ansatz: x(t) = A 0 e -δt cos(ω t + φ 0 ) Diese Funktion erfüllt die Gleichung und ergibt δ=γ/(2m) und ω = δ = ω δ Im Vergleich mit der ungedämpften Schwingung (s.o., ω = ω 0 = D / M ) ist die Schwingung langsamer und nimmt exponentiell ab. D M 0 Versuch Sandpendel mit Styroporplatte Einhüllende e -δt mit Dämpfungsfaktor δ

8 Starke Dämpfung Obige Lösung gilt für schwache Dämpfung (ω 0 > δ). Bei stärkerer Dämpfung schwingt das System nicht mehr, sondern kriecht zum Nullpunkt. Kriechfall D m δ 2 < 0 Anwendungen des aperiodischen Grenzfalls: Stoßdämpfer, Anzeigegeräte D δ 2 = m 0 D δ 2 > m 0 (gedämpfte Schwingung)

9 Erzwungene (gedämpfte) Schwingung Treibende periodische Kraft mit Kreisfrequenz ω x 1 (t) x 1 (t) x(t) x(t) Bewegungsgleichung: 2 d x dx + γ Dx = F cos( ωt) 2 + dt dt M 1

10 Lösung x(t) = A 2 cos(ωt φ 2 ) für t >> Einschwingzeit Nach Einschwingvorgang verblüffend einfach: Schwingung mit anregender Frequenz ω Amplitude und Phase abhängig von relativer Anregungsfrequenz (und Dämpfung) Maximale Auslenkung Phasenverschiebung φ 2 gegenüber der Auslenkung der Anregung 2γω tan ϕ2 = 2 2 ω ω 0 kleine Dämpfung große Dämpfung

11 Das Phänomen Resonanz Bei erzwungenen Schwingungen reichen kleine Kräfte aus, um mit der Zeit sehr große Amplituden zu erzeugen. Voraussetzung: Antriebsfrequenz ganz nahe an Resonanzfrequenz ω 0 und schwache Dämpfung. Auto mit kaputten Stoßdämpfern (siehe Diagramm auf voriger Seite) (d.h. Schwingung läuft der Kraft um 90 = π/2 hinterher)

12 Anharmonische periodische Vorgänge Viele periodische Vorgänge kann man nicht durch eine einzelne Sinus- oder Kosinusfunktion beschreiben, obwohl die Bewegung einen definierte Periode (T = 1/f 0 = 2π/ω 0 ) besitzt. Mathematisch kann man aber beweisen (Fourier-Theorem), dass ein periodischer Vorgang durch eine Summe (Überlagerung) von (i. A.) sehr vielen harmonischen Teilschwingungen (sin(ω n t), cos(ω n t) mit ω n =n ω 0 ) beschrieben werden kann: x( t)= a 0 + a 1 cos( ω 0 t)+ a 2 cos( 2 ω 0 t)+... b 1 sin ( ω 0 t)+ b 2 sin ( 2 ω 0 t)+... Fourieranalyse: Zerlegung einer periodischen Funktion in diese Teilschwingungen

13 Überlagerung von Schwingungen ähnlicher Frequenz führt zu Amplitudenmodulationen bzw. Schwebungen 5 Perioden 5.5 Perioden

14

15 Versuch: gekoppelte Pendel Durch die schwache Federkopplung wirkt eine erzwingende Kraft F 2 auf das zunächst ruhende Pendel. Nach mehreren Schwingungen nimmt die Amplitude von x 1 (t) ab, während m 2 mit wachsender Amplitude schwingt, bis m 1 still steht. Dann wiederholt sich der Vorgang in umgekehrter Richtung, d.h. die Schwingungsenergie wechselt periodisch von Pendel 1 zu Pendel 2. Jedes Pendel vollführt somit eine Schwebung. Diese läßt sich als Überlagerung von 2 Schwingungen mit leicht verschiedenen Frequenzen darstellen. sogenannte Eigenschwingungen.

16 Gekoppelte Oszillatoren z.b. 2 Schwerependel mit zwischengespannter Feder. Es gibt zwei Schwingungsmoden ( Eigenschwingungen ): Überlagerung beider Schwingungsmoden ergibt Schwebung: Oszillation wechselt von einem Pendel zum anderen

F R. = Dx. M a = Dx. Ungedämpfte freie Schwingungen Beispiel Federpendel (a) in Ruhe (b) gespannt: Auslenkung x Rückstellkraft der Feder

F R. = Dx. M a = Dx. Ungedämpfte freie Schwingungen Beispiel Federpendel (a) in Ruhe (b) gespannt: Auslenkung x Rückstellkraft der Feder 6. Schwingungen Schwingungen Schwingung: räumlich und zeitlich wiederkehrender (=periodischer) Vorgang Zu besprechen: ungedämpfte freie Schwingung gedämpfte freie Schwingung erzwungene gedämpfte Schwingung

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