Kegelschnitte. Evelina Erlacher 13. & 14. M arz 2007

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1 Workshops zur VO Einfu hrung in das mathematische Arbeiten im SS 2007 Kegelschnitte Evelina Erlacher 13. & 14. M arz 2007 Denken wir uns einen Drehkegel, der nach oben als auch nach unten unbegrenzt ist. Schneiden wir diesen Kegel mit einer Ebene ε, die nicht durch die Spitze des Kegels geht, so erhalten wir je nach Neigung der Ebene ε einen Kreis (Abb. 1), eine Ellipse (Abb. 2), eine Parabel (Abb. 3) oder eine Hyperbel (Abb. 4). Abb. 1 Abb. 2 Abb. 3 Abb. 4 Daher werden Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel auch als Kegelschnitte bezeichnet. Eine Gerade g kann bez uglich eines Kegelschnitts k drei verschiedene Lagen annehmen, und zwar: Die Gerade g kann den Kegelschnitt in zwei Punkten, den Schnittpunkten, schneiden: g k = {S1, S2 }. Die Gerade ist eine Sekante. Die Gerade g kann den Kegleschnitt in einem Punkt, dem Ber uhrpunkt, ber uhren: g k = {T }. Die Gerade ist eine Tangente. Die Gerade kann an dem Kegelschnitt vorbeigehen: g k = {}. Die Gerade ist eine Passante. Sonderf alle: Geraden, die parallel (aber nicht ident) zu einer der Asymptoten einer Hyperbel sind, haben mit der Hyperbel genau einen Schnittpunkt S. Geraden, die normal auf die Leitgerade einer Parabel stehen, haben mit der Parabel genau einen Schnittpunkt S. Um zu entscheiden, welcher Fall vorliegt, kann man folgendermaßen vorgehen: Die Gleichung der Geraden g und des Kegelschnitts k werden zu einem Gleichungssystem zusammengefasst und dessen L osungsmenge L ermittelt. F uhrt das Gleichungssystem auf eine quadratische Gleichung in einer Variablen, so gibt es drei L osungsf alle, die genau den drei m oglichen Lagen der Geraden bez uglich des Kegelschnitts entsprechen. F uhrt das Gleichungssystem auf eine lineare Gleichung in einer Variablen, dann liegt ein Sonderfall vor. F uhrt das Gleichungssystem auf eine falsche Aussage, so ist der Kegelschnitt eine Hyperbel und die Gerade eine der beiden Asymptoten der Hyperbel. Evelina Erlacher & 14. M arz 2007

2 1 Der Kreis Definition: Die Menge aller Punkte X (der Ebene), die von einem gegebenen Punkt M den Abstand r haben, ist die Kreislinie (oder kurz: der Kreis) mit Mittelpunkt M und Radius r: k[m, r] = {X R 2 XM = r}. Die Vektorform der Kreisgleichung lautet (X M) 2 = r 2, wobei X... variabler ( laufender ) Punkt des Kreises, M... Mittelpunkt, r... Radius. ( ) x Führt man auf der linken Seite für X = und M = y so erhält man die Koordinatenform der Kreisgleichung: ( xm (x x M ) 2 + (y y M ) 2 = r 2. y M ) die Skalarmultiplikation aus, Liegt der Mittelpunkt M im Ursprung, d.h. M(0 0), so ist der Kreis in Hauptlage und seine Gleichung lautet: X 2 = r 2 bzw. x 2 + y 2 = r 2. Weiters gilt: Ist t : y = kx + d eine Tangente an den Kreis k[m, r] mit Berührpunkt T, so steht der Berührradius MT normal auf t, d.h. MT ist ein Normalvektor zu t. t : y = kx + d ist genau dann eine Tangente an den Kreis k : (x x M ) 2 + (y y M ) 2 = r 2, wenn die sogenannte Berührbedingung erfüllt ist. (k x M y M + d) 2 = r 2 (k 2 + 1) Sei T (x T y T ) ein Punkt des Kreises k : (x x M ) 2 + (y y M ) 2 = r 2. Dann ist t : (x T x M )(x x M ) + (y T y M )(y y M ) = r 2 (1) die Gleichung der Tangente t an den Kreis k, die k in T berührt. Gleichung (1) heißt Spaltform der Tangentengleichung. Es sei P (x P y P ) ein Punkt außerhalb des Kreises (gemeint ist hier: MP > r). Setzt man P in die Spaltform ein, so erhält man die Gleichung der Polaren pol : (x P x M )(x x M ) + (y P y M )(y y M ) = r 2. Der Punkt P heißt dann der Pol der Geraden pol bezüglich des Kreises k. Es gilt: Schneidet die Polare pol des Punktes P den Kreis k in den zwei Punkten T 1 und T 2, so sind dies die Berührpunkte jener Tangenten t 1 und t 2, die man aus P an k legen kann. Evelina Erlacher & 14. März 2007

3 2 Die Ellipse Definition: Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte X (der Ebene), für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten, den Brennpunkten F 1 und F 2, eine Konstante c ist: ell = {X R 2 XF 1 + XF 2 = c}. Liegen die Brennpunkte F 1 und F 2 symmetrisch um den Ursprung auf der x-achse, so sagt man die Ellipse befindet sich in erster Hauptlage. Wie sieht nun die Gleichung einer Ellipse in erster Hauptlage aus? Es sei 0 < e < a, die Brennpunkte haben die Koordinaten F 1 ( e 0) und F 1 (e 0) und c aus der Definition der Ellipse sei 2a. Wir setzen b := a 2 e 2. Aus der Definition lässt sich dann die Gleichung der Ellipse in erster Hauptlage ableiten: ell : b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 bzw. ell : x2 a 2 + y2 b 2 = 1. Abb. 5 Man nennt M(0 0)... Mittelpunkt, A( a 0), B(a 0)... Hauptscheitel, C(0 b), D(0 b)... Nebenscheitel, AB... Hauptachse, CD... Nebenachse, a... große Halbachse, b... kleine Halbachse, e... lineare Exzentrizität. Es sei X ein beliebiger Punkt der Ellipse ell. Dann heißen die Strecken XF 1 und XF 2 Brennstrecken. Punktweise Konstruktion einer Ellipse (siehe Abb. 5): Wir wählen einen Hilfspunkt H auf AB, zeichnen um F 1 einen Kreis(bogen) mit Radius HA und um F 2 einen Kreis(bogen) mit dem Radius HB. Die beiden Schnittpunkte dieser Kreise sind (symmetrisch zur Hauptachse liegende) Punkte X 1 und X 2 der Ellipse. Weiters gilt: e 2 = a 2 b 2. t : y = kx + d ist genau dann eine Tangente an die Ellipse ell : b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2, wenn die sogenannte Berührbedingung d 2 = a 2 k 2 + b 2 erfüllt ist. Evelina Erlacher & 14. März 2007

4 Sei T (x T y T ) ein Punkt der Ellipse ell : b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2. Dann ist t : b 2 x T x + a 2 y T y = a 2 b 2 (2) die Gleichung der Tangente t an die Ellipse ell, die ell in T berührt. Gleichung (2) heißt Spaltform der Tangentengleichung. Es sei P (x P y P ) ein Punkt außerhalb der Ellipse (gemeint ist hier: P F 1 + P F 2 > 2a). Setzt man P in die Spaltform ein, so erhält man die Gleichung der Polaren pol : b 2 x P x + a 2 y P y = a 2 b 2. Der Punkt P heißt dann der Pol der Geraden pol bezüglich der Ellipse ell. Es gilt: Schneidet die Polare pol des Punktes P die Ellipse ell in den zwei Punkten T 1 und T 2, so sind dies die Berührpunkte jener Tangenten t 1 und t 2, die man aus P an ell legen kann (Abb. 6). Abb. 6 3 Die Hyperbel Definition: Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte X (der Ebene), für die der Betrag der Differenz der Abstände von zwei festen Punkten, den Brennpunkten F 1 und F 2, eine Konstante c ist: hyp = {X R 2 XF 1 XF 2 = c}. Liegen die Brennpunkte F 1 und F 2 symmetrisch um den Ursprung auf der x-achse, so sagt man die Hyperbel befindet sich in erster Hauptlage. Wie sieht nun die Gleichung einer Hyperbel in erster Hauptlage aus? Es sei 0 < a < e, die Brennpunkte haben die Koordinaten F 1 ( e 0) und F 1 (e 0) und c aus der Definition der Hyperbel sei 2a. Wir setzen b := e 2 a 2. Aus der Definition lässt sich dann die Gleichung der Hyperbel in erster Hauptlage ableiten: hyp : b 2 x 2 a 2 y 2 = a 2 b 2 bzw. hyp : x2 a 2 y2 b 2 = 1. Evelina Erlacher & 14. März 2007

5 Kegelschnitte Man nennt M (0 0) A( a 0), B(a 0) C(0 b), D(0 b) AB CD a b e Mittelpunkt, Hauptscheitel, Nebenscheitel, Hauptachse, Nebenachse, große Halbachse, kleine Halbachse, lineare Exzentrizit at. Es sei X ein beliebiger Punkt der Hyperbel hyp. Dann heißen die Strecken XF1 und XF2 Brennstrecken. Die Hyperbel besitzt zwei Asymptoten u1 und u2 : u1 : y = b x a und b u2 : y = x. a Punktweise Konstruktion einer Hyperbel (siehe Abb. 7): Wir nehmen eine Hilfsgerade h an und tragen auf ihr die Strecke AB = 2a ab. Nun w ahlen wir einen Hilfspunkt H auf h außerhalb der Strecke AB, zeichnen um F1 einen Kreis(bogen) mit Radius HA und um F2 einen Kreis(bogen) mit dem Radius HB. Die beiden Schnittpunkte dieser Kreise sind (symmetrisch zur Hauptachse liegende) Punkte X1 und X2 der Hyperbel. In analoger Weise erh alt man die symmetrisch liegenden Punkte X3 und X4. Abb. 7 Weiters gilt: e2 = a2 + b2. Evelina Erlacher & 14. M arz 2007

6 t : y = kx + d ist genau dann eine Tangente an die Hyperbel hyp : b 2 x 2 a 2 y 2 = a 2 b 2, wenn die sogenannte Berührbedingung d 2 = a 2 k 2 b 2 erfüllt ist. Sei T (x T y T ) ein Punkt der Hyperbel hyp : b 2 x 2 a 2 y 2 = a 2 b 2. Dann ist t : b 2 x T x a 2 y T y = a 2 b 2 (3) die Gleichung der Tangente t an die Hyperbel hyp, die hyp in T berührt. Gleichung (3) heißt Spaltform der Tangentengleichung. Es sei P (x P y P ) ein Punkt außerhalb der Hyperbel (gemeint ist hier: P F 1 P F 2 < 2a). Setzt man P in die Spaltform ein, so erhält man die Gleichung der Polaren pol : b 2 x P x a 2 y P y = a 2 b 2. Der Punkt P heißt dann der Pol der Geraden pol bezüglich der Hyperbel hyp. Es gilt: Schneidet die Polare pol des Punktes P die Hyperbel hyp in den zwei Punkten T 1 und T 2, so sind dies die Berührpunkte jener Tangenten t 1 und t 2, die man aus P an hyp legen kann. 4 Die Parabel Definition: Eine Parabel ist die Menge aller Punkte X (der Ebene), von denen jeder von einer gegebenen Geraden, der sogenannten Leitgeraden l, und von einem festen Punkt, dem Brennpunkt F, jeweils gleichen Abstand hat: par = {X R 2 Xl = XF }. Abb. 8 Die Parabel besitzt eine zur Leitgeraden l normale Symmetrieachse a. F liegt auf a. Ist L der Schnittpunkt von a mit l, so gilt: Der Halbierungspunkt der Strecke LF heißt Scheitel A. Der Abstand vom Brennpunkt F zur Leitgeraden l heißt Parameter p, der Abstand vom Scheitel A zum Brennpunkt F heißt lineare Exzentrizität e und es gilt p = 2e. Es sei X ein beliebiger Punkt der Parabel par. Dann heißen die Strecken Xl und XF Brennstrecken. Punktweise Konstruktion einer Parabel (siehe Abb. 8): Wir ziehen zu l Parallele im Abstand d und schneiden diese mit dem Kreis(bogen) um F mit dem Radius d. Jeder der beiden Schnittpunkte ist ein Parabelpunkt X. Evelina Erlacher & 14. März 2007

7 Liegt der Scheitel A im Ursprung und der Brennpunkt F auf der befindet sich die Parabel in erster zweiter dritter vierter Hauptlage. positiven x-achse, positiven y-achse, negativen x-achse, negativen y-achse, Aus der Definition lässt sich die Gleichung der Parabel in erster Hauptlage ableiten: so Es gilt: A(0 0), F (e 0) und l : x = e. Analog erhält man par : y 2 = 2px. Parabel in 2. Hauptlage Parabel in 3. Hauptlage Parabel in 4. Hauptlage par : x 2 = 2py par : y 2 = 2px par : x 2 = 2py A(0 0) A(0 0) A(0 0) F (0 e) F ( e 0) F (0 e) l : y = e l : x = e l : y = e Weiters gilt für eine Parabel in erster Hauptlage: p = 2e. t : y = kx + d ist genau dann eine Tangente an die Parabel par : y 2 = 2px, wenn die sogenannte Berührbedingung p = 2kd erfüllt ist. Sei T (x T y T ) ein Punkt der Parabel par : y 2 = 2px. Dann ist t : y T y = p (x T + x) (4) die Gleichung der Tangente t an die Parabel par, die par in T berührt. Gleichung (4) heißt Spaltform der Tangentengleichung. Es sei P (x P y P ) ein Punkt außerhalb der Parabel (gemeint ist hier: P l < P F ). Setzt man P in die Spaltform ein, so erhält man die Gleichung der Polaren pol : y P y = p (x P + x). Evelina Erlacher & 14. März 2007

8 Der Punkt P heißt dann der Pol der Geraden pol bezüglich der Parabel par. Es gilt: Schneidet die Polare pol des Punktes P die Parabel par in den zwei Punkten T 1 und T 2, so sind dies die Berührpunkte jener Tangenten t 1 und t 2, die man aus P an par legen kann. Analoges gilt für die Parabel in zweiter, dritter und vierter Hauptlage, wobei: 2. Hauptlage 3. Hauptlage 4. Hauptlage Spaltform: t : x T x = p (y T + y) t : y T y = p (x T + x) t : x T x = p (y T + y) Berührbedingung: p = 2d k p = 2kd p = 2d 2 k 2 5 Schnittwinkel Definition: Als Schnittwinkel zweier Kurven in deren Schnittpunkt S bezeichnet man den Winkel der zugehörigen Kurventangenten in S. Hat der Schnittwinkel die Größe 0, so sagt man: die beiden Kurven berühren einander. 6 Typische Aufgaben Aufgabentyp: Gesucht ist die Gleichung des Kreises k für den eine Kombination folgender Angaben gemacht wird: (a) k berührt die x-achse. (b) k berührt die y-achse. (c) Der Punkt P liegt auf k. (d) Die Punkte P und Q liegen auf k. (e) k berührt den Kreis k 1 [M 1, r 1 ] von außen. (f) k berührt den Kreis k 1 [M 1, r 1 ] von innen. Lösungshinweise: Gesucht sind also der Mittelpunkt M(x M y M ) und der Radius r von k. (a) Es gilt: r = y m. (b) Es gilt: r = x m. (c) Einsetzen von P in die allgemeine Kreisgleichung von k liefert die Gleichung eines Kreises k P, auf dem der gesuchte Mittelpunkt M liegt. (d) Die Streckensymmetrale s P Q : P Q X = P Q HP Q der Stercke P Q enthält den gesuchten Mittelpunkt M (wobei H P Q der Halbierungspunkt der Strecke P Q ist). (e) Es gilt: MM 1 = r + r 1. (f) Es gilt: MM 1 = r r 1. Aufgabe: Gesucht ist die Gleichung (1) der Parabel in Hauptlage, (2) der Ellipse oder Hyperbel in erster Hauptlage, für die (1) ein, (2) zwei Punkte aus der folgenden Liste gegeben sind: (a) ein Punkt P des Kegelschnitts, (b) ein (beide) Brennpunkt(e), (c) eine Tangente t an den Kegelschnitt, Evelina Erlacher & 14. März 2007

9 (d) eine (beide) Gleichung(en) der Asmyptote(n) (nur Hyperbel), (e) die Gleichung der Leitgeraden l (nur Parabel). Lösung: Bei der Parabel ist also der Parameter p gesucht, bei Ellipse und Hyperbel die Halbachsen a und b. Jeder Punkt in obiger Liste führt auf eine Gleichung, in der p bzw. a und b die einzige(n) Unbekannte(n) ist (sind). Um p berechnen zu können benötigt man nur eine solche Gleichung, zur Berechnung von a and b zwei. Auf die Gleichungen kommt man folgendermaßen: (a) P in die allgemeine Gleichung des Kegelschnitts einsetzen. (b) e aus den Brennpunktkoordinaten ablesen und in die Gleichung für die lineare Exzentrizität einsetzen. (c) Steigung k und Achsenabschnitt d aus der Tangentengleichung ablesen und in die Berührbedingung einsetzen. (d) Steigung k ablesen und k = b a setzen. (e) e aus der Gleichung der Leitgeraden ablesen und in die Gleichung für die lineare Exzentrizität einsetzen. Aufgabe: Gegeben ist ein Kegelschnitt k und eine Gerade g. Gesucht sind die zu g (1) parallelen, (2) normalen Tangenten an k. Lösung: Ablesen der Steigung k g der Geraden g. Die Steigung der Tangenten k t ist (1) k t = k g, (2) k t = 1 k g. Über die Berührbedingung des Kegelschnitts berechnet man den Achsenabschnitt d (Achtung: bei Kreis, Ellipse und Hyperbel 2 Lösungen, bei Parabel 1 Lösung). Aufgabe: Gegeben ist ein Kegelschnitt k und ein Punkt P außerhalb von k. Gesucht sind die Gleichungen der Tangenten, die von P aus an k gelegt werden können. Lösung: P in die Spaltform eingesetzt liefert die Gleichung der Polaren pol. Die Schnittpunkte von pol und k sind T 1 und T 2, die Tangentenberührpunkte der gesuchten Tangenten. Einsetzen von T 1 bzw. T 2 in die Spaltform liefert die gesuchten Tangentengleichungen t 1 und t 2. Literatur [1] Götz, Stefan, Reichel, Hans-Christian, Müller, Robert, Hanisch, Günter, Mathematik-Lehrbuch 7, Verlag öbv & hpt, Wien 2006 Evelina Erlacher & 14. März 2007