Bruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme

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1 Bruchterme und gebrochen rtionle Funktionen Der Quotient zweier Terme Es ist ist 3 : 4 3 und. 4 : Dehnt mn die Bruchschreibweise uf Terme us, dnn erhält mn sog. Bruchteme. ² ( + ) : (3 + 4) ² : ( + b) + b Der Quotient zweier Terme ergibt einen Bruchterm. Einsetzen in Bruchterme Setzt mn für die Vriblen eines Bruchterms Zhlen ein, dnn erhält erhält der Bruchterm einen Wert. Die Menge der Einsetzzhlen nennt mn Grundmenge G. ² Ist T(; y) + y y G (; y), y Q, dnn ist T(3; ) T( 3; 0) ( 3) T( ; 4 ) + 4 ( 4 ) : T(; ) ist nicht definiert.

2 Beim Einsetzen in einen Bruchterm drf der Nenner nicht den Wert Null nnehmen. Die erlubte Einsetzmenge heißt Definitionsmenge D des Bruchterms. Die Definitionsmenge ist stets eine Teilmenge der ngegebenen Grundmenge G. ² Für den Term T(; y) + y y ist D (; y), y Q und y ² T(), G Q Rechnung : 0 Definitionsmenge : D Q, Q\{ } ² T() 3 Rechnung : 3 0 ( 3) 0 Dieses Produkt ht genu dnn den Wert Null, wenn einer seiner Fktoren den Wert Null ht. Also Definitionsmenge : D Q\{0; 3 } ² T() 6 + 9, G Q Rechnung : ( 3) 0 ( 3) ( 3) Definitionsmenge : D Q\{3}

3 Aufgben : b. Gegeben ist der Term T(; b). + b Berechne den Wert des Terms für b ,4 0,4 0,4 0,4 b 0,3 0,3 0,3 0,3 b Bestimme die Definitionsmenge in G Q ) T() + b) + 3 c) T() d) 4 T() T() e) T() f) 4 3 T() + 5 g) T() h) 4 T() i) T() j) T() + 3

4 Ds Erweitern von Bruchtermen Es ist Für Bruchterme gilt entsprechend ² 3b 3b 4 6b b c b c ² b ( + b) b ( + b) + b b + b ² + y ( + ) y y y + y ² y y ( y) ( + y) ( y) ( + y) + y y y 4y + y y 4y ² ( + ) ( ) ( + ) + ² y ( y) ( ) ( ) ( ) + y y Ein Bruchterm wird erweitert, wenn mn Zähler und Nenner mit dem gleichen Term multipliziert. Aufgben. Erweitere ) mit b) mit c) mit 3b 4 b + b b + b + 3b b. Erweitere mit y y y ) b) c) d) y + y y y

5 Ds Kürzen von Bruchtermen 5 Es ist Für Bruchterme gilt entsprechend Bechte : c b c b Zähler c und Nenner b c sind Produkte mit dem gleichen Fktor c. Beispiele : 4 ) b) c) 6 3 3b 3 6b 3b b 3b b ( + y) b ( + y) b In den nächsten Beispielen ist der Zähler oder der Nenner kein Produkt. Mn muss zunächst fktorisieren. d) b b ( b) b b b e) 3 6b 4b f) 3 ( b) ( + b) ( b) 3 + b y y y ( + y)( y) ( y) ( + y)( y) + y + y g) y (y ) y + y ( y) ( y) ( y) y y oder y ( y) y + y ( y) ( y) (y ) y Bechte : ( y) (y )! Ein Bruchterm wird gekürzt, wenn mn den Zähler und Nenner durch den gleichen Term divividiert. Durch welchen Term Zähler und Nenner teilbr sind,erkennt mn erst, wenn mn diese fktorisiert..

6 Aufgben :. Kürze vollstädig ) b + 4 b) c) 6y 8b + 6 9y d) 6 e) f) g) b b h) b + 9b 3b i) Vereinfche beide Terme, flls es möglich ist 9 4 ) b) Begründe, dss die Termwerte von Teilufgbe b) nicht größer ls werden können, unbhängig dvon welche Zhl mn für einsetzt. - BMT 00 Kürze so weit wie möglich (es wird die miml mögliche Definitionsmenge vorusgesetzt) : 3

7 Gebrochen-rtionle Funktionen ² Wir zeichnen die Grphen der Funktionen f : y und g : y Wertetbelle : 4 0 0,5 0,8,,5 6 f() 5 0, 0 0, 0,5 5 g() 0, , Ergebnis : ) Die Funktion g ist n der Stelle, der Nullstelle von f, nicht definiert. Mn nennt dher eine Defintionslücke von g. b) Die Funktionswerte von g werden n -Werten, die nhe bei der Defintionslücke liegen, beliebig groß bzw. beliebig klein. Der Grph von g nähert sich der senkrechten Gerden n. Mn eine diese Gerde deshlb eine senkrechte Asymptote (griech. symptotos "nicht zusmmenfllend") des Grphen von g.

8 b) Der Grph der Funktion nähert sich für große bzw. kleine -Werte der Gerden y 0, der -Achse, n. Mn nennt die -Achse deshlb eine wgrechte Asymptote des Grphen von f. ² Wir zeichnen die Grphen der Funktionen f : y 3, g : y + und h : y Wertetbelle : 7 4 3,,9 0 3 f() 4 0 0,8, 3 6 g() 0 4 0,4 0 0,4 4 0 h() 0,45 0, ,75 0,75 0,6 Ergebnis : ) Die Funktion h ist n der Stelle nicht definiert. Ihre mimle Definitionsmenge ist D m R\{ }. b) Die Gerde ist senkrechte Asymptote des Grphen von h.

9 b) Die Funktionswerte nähern sich für große bzw. kleine -Werte dem Wert. Die Gerde y ist wgrechte Asymptote des Grphen von f. Eine Funktion f : y f() mit mimler Defintionsmenge D m mit einem echten Bruchterm f() ls Funktionsterm, heißt gebrochen rtionle Funktion. Werden die Funktionswerte in der Nähe einer Definitionslücke beliebig groß 0 bzw. beliebig klein, dnn ist die Gerde 0 eine senkrechte Asymptote des Grphen von f. Nähern sich die Funktionswerte für große bzw. kleine -Werte einem Wert y 0, dnn ist die Gerde y y 0 eine wgrechte Asymptote des Grphen von f. ² Die Funktion f : 3 + besitzt die mimle Definitionsmenge und die wgrechte Asymptote y 3. D m Q\{ }, die senkrechte Asymptote

10 ² Die Funktion f : ( ) besitzt die mimle Definitionsmenge und die wgrechte Asymptote y 0. D m Q\{}, die senkrechte Asymptote ² Die Funktion f : besitzt die mimle Definitionsmenge 0 und und die wgrechte Asymptote y 0. D m Q\{0, }, die senkrechten Asymptoten

11 ² Die Funktion f : besitzt die mimle Definitionsmenge D m Q\{0; }, brsitzt ber nur die Gerde ls senkrechte Asymptote. Grund : Es ist f() ( ) d. h. der Grph von f stimmt uf D m Q\{0; } mit dem Grphen der Funktion g : überein. ² Die Funktion f : 0,5 + besitzt die mimle Definitionsmenge D m Q und die wgrechte Asymptote y 0.

12 Aufgben 3. Gegeben ist der Term T(). ) Berechne T(4), T( 5)T(4) und T(. ) b) Welchen Wert der Vriblen drfst du nicht in diesen Term einsetzen? c) Erläutere, wo diejenigen Zhlen uf dem Zhlenstrhl liegen, die beim Einsetzen möglichst große Termwerte ergeben. -. Gegeben ist die Funktion f mit Abbildungsvorschrift f : 3 ) Welche Zhl knn nicht in der Definitionsmenge enthlten sein? b) Berechne f(0), f(00) und f(000). c) Lege eine Wertetbelle n und zeichne den Funktionsgrphen. d) Gib die Gleichungen der Asymptoten des Grphen von f n Welche der bgebildeten Grphen gehören zu den ngegebenen Funktionsgleichungen? Ordne zu.

13 ) y b) y c) + ( ) y d) y + e) y ( ) f) y ) Die Zeichnung zeigt die Grphen der Funktionen mit den Funktionsgleichungen y + und y. Bestimme nhnd der Zeichnung die Lösungsmenge der Gleichung +

14 b) Bestimme mit Hilfe des gegebenen Funktionsgrphen die Lösungsmenge der Gleichung bzw Gib die Gleichungen zweier Funktionen f und g n, deren Grphen die senkrechte Asymptote,5 und die wgrechte Asymptote y hben.

15 Rechnen mit Bruchtermen Addition und Subtrktion von Bruchtermen Es ist Also ist c + b c + b c und c b c b c Gleichnmige Bruchterme werden ddiert (subtrhiert), indem mn die Zähler der Bruchterme ddiert (subtrhiert) und den Nenner beibehält. ² 4 3b + 5 3b b 9 3b 3 b ² ( + ) + ( ) ( + ) 3 + ² + + ( ) Bechte :. Sind die Zählerterme Summen, dnn müssen diese beim Übergng zu einem Bruchstrich eingeklmmert werden.. Nch dem Zusmmennfssen, flls möglich, kürzen. Es ist Also ist b + c d d bd + bc bd d + bc bd

16 Ungleichnmige Bruchterme werden ddiert (subtrhiert), indem mn ) die Bruchterme uf einen gemeinsmen Nenner (Huptnenner) erweitert. b) die Zähler der so erhltenen gleichnmigen Bruchterme ddiert (subtrhiert) und den Nenner beibehält. Den Huptnenner findet mn nlog zur Primfktorzerlegung durch Fktorisieren der Nenner. ² ² ( + ) 3 ² ² 4 + ( 4)( + ) ( )( ) ( )( + ) ( 4) ( 3 + ) 6 ² + b b b + b + b ( + b)( b) b ( + b) ( + b) b ( b) ( + b)( b) + b ( + b)( b)

17 Multipliktion und Division von Bruchtermen Es ist und 3 : Also ist b c d c bd und b : c d b d c d bc Zwei Bruchterme werden miteinnder mulzipliziert, indem mn Zählerterm mit Zählerterm und Nennerterm mit Nennerterm multipliziert. Durch einen Bruchterm wird dividiert, indem mn mit dessen Kehrbruch multiplziert. ² 3 4 5b 83 5b ² -y -y +y +y ( y) ( + y) ( y) ( + y) + y y y y y y y ² y- y - 4y y ( y) ( + y) ( y) y + y Bechte :. Summenterme vor dem Ausmultiplizieren einklmmern.. Vor dem Ausmultiplizieren kürzen.

18 Aufgben. Fsse so weit wie möglich zusmmen ) b) c) 3b + + 3b + +. ) b) c) b + b + b b b + d) e) ) b + b 4 b) + b c) + b + 3b + 3b + 4. ) b) 6b 9 + b + b 4. ) b) c) b + + b 4 4 y d) 9 y + 4y 4y 6 5. Vereinfche ) b b) c) d) e) 30c 3 c 4 b 9y : y 4 3 y : (y) b 6b 9b + : 4 6. ) b + b b) c) y + y b 4 4y : y + 4y ) y y b) +y y y +

19 4. Fsse jeweils zu einem Bruch zusmmen. In welchen Fällen ändert sich durch die Umformung die mimle Definitionsmenge? ) b) c) + y y 3 t d) e) f) t 4 + t : BMT 00 Gegeben ist der Bruchterm : T() + 3 ) Gib die Definitionsmenge D des Terms n (Grundmenge Q). b) Fsse die beiden Brüche zusmmen und vereinfche. c) Berechne T( 4)

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