Mengenbegriff und Mengendarstellung

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1 R. Brikma Seite Megebegriff ud Megedarstellug Eie Mege, ist die Zusammefassug bestimmter, wohluterschiedeer Objekte userer Aschauug ud useres Dekes welche Elemete der Mege geat werde zu eiem Gaze. der Mege ach G. Cator ( ), deutscher Mathematiker Der Megebegriff. Dieser Megebegriff darf icht mit dem umgagssprachliche Begriff Mege im Sie vo viel verwechselt werde. I der bedeutet bestimmte Objekte dass geau etschiede werde muss, ob das Elemet zur Mege gehört. Wohluterschiede bedeutet, dass jedes Elemet ur eimal i der Mege ethalte ist, also icht mehrere derselbe Elemete i eier Mege vorhade sei dürfe. Das mehrfach vorkommede Elemet wird ur eimal i der Mege aufgeführt. Eie Mege, die kei Elemet ethält, wird leere Mege geat. I de folgede Ausführuge werde Begriffe ud Eigeschafte vo Mege a Beispiele verdeutlicht, bei dee die Elemete der Mege durch mathematische Kriterie beschriebe sid, also hauptsächlich Zahlemege. Mege werde dargestellt mit Hilfe der Megeklammer i dee die Elemete aufgezählt werde oder i dee die Elemete beschriebe werde. Eie adere Darstellug ist das Megediagramm (Euler oder Ve Diagramm). Dabei werde die Elemete i das Diagramm eigetrage. Darstellug vo Mege. Symbole für Mege sid große Buchstabe, z.b. A, B, M,... Symbole für Elemete sid z.b. kleie Buchstabe oder auch Zahle A, b, c, x, y,...1,, 3, 99,... { a b c d} Megeschreibweise i aufzähleder Form: A = ; ; ; sprich: A ist die Mege mit de Elemete a, b, c, d a A b A sprich: a ist Elemet vo A sprich: b ist icht Elemet vo A Erstellt vo R. Brikma p0_fos_01_3.doc :40 Seite 1 vo 8

2 R. Brikma Seite { a b c a d} Die "Mege" B = ; ; ; ; ist keie Mege, da das Elemet a zweimal dari vorkommt. Richtig ist: B = ; ; ; { a b c d} C = { } = heißt leere Mege, sie ethält kei Elemet. Megeschreibweise i beschreibeder Form: { 3 1 } B= x x xisteiegeradezahl sprich: B ist die Mege aller Elemete x, für die gilt: x ist größer oder gleich 3 ud kleier oder gleich 1 ud x ist eie gaze Zahl. Darstellug eier Mege im Megediagramm B Beispiel: Die Mege M der gerade atürliche Zahle zwische 9 ud 5 soll i aufzähleder ud beschreibeder Form sowie im Megediagramm agegebe werde. aufzählede Form: M = { 10 ;1 ;14 ; 16 ;18 ; 0 ; ; 4 } beschreibede Form: M = { x 9 < x < 5 x = ist atürliche Zahl } Megediagramm: M Erstellt vo R. Brikma p0_fos_01_3.doc :40 Seite vo 8

3 R. Brikma Seite Beispiel: Die Mege A ist i aufzähleder Form geschriebe. Es soll eie beschreibede Form etwickelt werde. { 1; 4;9;16;5} A = Das ist die Mege der Quadratzahle zwische 1 ud 5. A = { x 1 x 5 x = ist eie atürliche Zahl } Eigeschafte vo Mege Durch die Agabe der Kriterie für die beschreibede Form vo Mege werde die Elemete der zu bestimmede Mege aus eier umfagreichere Mege ausgewählt. Beispiel: A ist die Mege aller atürliche Zahle zwische 1 ud 10 ud die Elemete sid Quadratzahle. A = { x x ist eie atürliche Zahl 1 x 10 x ist eie Quadratzahl } B ist die Mege aller atürliche Zahle zwische 1 ud 10. B = { x x ist eie atürliche Zahl 1 x 10 } C ist die Mege der atürliche Zahle. C = { 0;1;;3; 4;5;... } I dieser Beschreibug trete drei Kriterie auf, die ausgehed vo eier Grudmege ( Mege C ) über eie Obermege ( Mege B ) zu der zu bestimmede Mege A führe. { 0;1;;3; 4;5;... } { 1;;3; 4;5;6;7;8;9;10} { 1; 4;9} C = B = A = Bei der Betrachtug der Mege A, B, C zeige sich bereits bestimmte Eigeschafte vo Mege: Die Mege der atürliche Zahle hat uedlich viele Elemete. Sie wird im Gegesatz zu de Mege A ud B, die edlich viele Elemete ethalte, als icht edliche Mege bezeichet. Weiterhi ist erkebar, dass alle Elemete vo A i B ud C ethalte sid ud alle Elemete vo B auch i C ethalte sid. Dieser Sachverhalt wird mit dem Begriff Teilmege defiiert. Erstellt vo R. Brikma p0_fos_01_3.doc :40 Seite 3 vo 8

4 R. Brikma Seite Eie Mege A ist Teilmege eier Mege B, we jedes Elemet vo A auch Elemet vo B ist. Symbol für Teilmege: A B sprich: A ist Teilmege vo B A B für alle Elemete x A gilt: x B Etspreched dem obige Beispiel gilt also: A B B C A B C Jede Mege ist Teilmege vo sich selbst ( uechte Teilmege ) D = {1;;3} E = {1;;3} D E Die leere Mege ist Teilmege eier jede Mege. { } E A = { x x 5} A = {;3; 4;5} Der Idex bedeutet, die Elemete der Mege etstamme der Grudmege der atürliche Zahle. Meist werde die Kriterie für Mege so gewählt, dass ihre Elemete eier Grudmege etomme werde, also die zu bestimmede Mege Teilmege der Grudmege ist. Da diese Grudmege i der Mathematik oft Zahlemege sid, wird die Schreibweise dadurch vereifacht, dass die Grudmege als Idex der Megeklammer hizugeführt wird. Vergleicht ma zwei Mege miteiader, so ist eie Ordugsstruktur im Sie vo größer oder kleier als icht sivoll. Der Vergleich zweier Mege ka sich daher ur auf adere Eigeschafte beziehe, so z. B. auf die Azahl der Elemete. Diese Azahl bezeichet ma als Mächtigkeit der Mege. Die Zahl selbst heißt Kardialzahl. { ; ; } { 1;;3;4 } C = a b c D = Symbol für die Mächtigkeit bzw. Kardialzahl card card C = 3 card D = 4 Zwei Mege heiße äquivalet, we sie gleichmächtig sid. A = B = { } { x y z} 1;;3 ; card A = 3 ; ; ; card B = 3 A B sprich : Die Mege A ist äquivalet der Mege B Symbol für Äquivalez: Erstellt vo R. Brikma p0_fos_01_3.doc :40 Seite 4 vo 8

5 R. Brikma Seite Die Äquivalez zweier Mege lässt sich durch Zuordug der Elemete feststelle. Merke Zwei Mege A ud B sid äquivalet, we jedem Elemet vo A geau ei Elemet vo B zugeordet werde ka ud umgekehrt. Beispiel für die Äquivalez zweier uterschiedlicher Mege. 1 3 x y z Um die Gleichheit vo Mege festzustelle, muss geprüft werde, ob die beide Mege dieselbe Elemete ethalte. Zwei Mege sid gleich, we sie dieselbe Elemete ethalte Beispiel gleicher Mege: A= uvw,, B= uvw,, also A = B { } { } Die Mege A ist gleich der Mege B, da sie dieselbe Elemete ethält. Dabei ist die Reihefolge der Elemete uerheblich. Auch über die Teilmegebezeichug ka auf die Gleichheit vo Mege geschlosse werde. Satz Ist die Mege A Teilmege der Mege B ud die Mege B Teilmege der Mege A, so ist die Mege A gleich der Mege B. A B B A A = B Plausibilitätsbeweis: A ist Teilmege vo B. Damit ist jedes Elemet vo A auch Elemet vo B. B ist Teilmege vo A. Damit ist jedes Elemet vo B auch Elemet vo A. Also sid beide Mege gleich. Erstellt vo R. Brikma p0_fos_01_3.doc :40 Seite 5 vo 8

6 R. Brikma Seite Etwicklug der Zahlemege I der Mathematik werde die Recheoperatioe mit Hilfe vo Zahle defiiert. Durch die Etwicklug der Rechearte vo der Additio bis hi zum Logarithmiere wurde die Uzuläglichkeit der Zahlemege offebar, mit der gerade operiert wurde. So bestad der zuerst bekate Zahlebereich aus Zahle, die zum Abzähle beötigt wurde, also die positive gaze Zahle, die als atürliche Zahle bezeichet werde. I der Megelehre sid die Zahle als Elemete vo Zahlemege festgelegt, i de sogeate Stadardmege. Mege der atürliche Zahle. { } Symbol: = 0;1;;3;4;... 0 Die Mege der atürliche Zahle ethält die Zahle, die zum Abzähle beötigt werde eischließlich der Zahl Null. Die ordet das Elemet 0 der Mege der atürliche Zahle zu. Obwohl dies vom Begriff des Abzähles icht direkt eizusehe ist, wird dadurch jedoch die Symbolik der Zahlegrudmege vereifacht. Aber auch die Schreibweise vo Idizes a Koeffiziete begit meist mit a + a x + a x + + a x Ierhalb der atürliche Zahle ist die Verküpfug Additio abgeschlosse, d. h. die Additio zweier atürlicher Zahle führt wieder zu eier atürliche Zahl. + 5 = 7 a+ b = c a, b, c Die Subtraktio ist i icht abgeschlosse, da icht jede dieser Verküpfuge wieder zu eiem Elemet aus führt. 5 8 = 3 3 Die Zahlemege muss also so erweitert werde, dass die Verküpfug Subtraktio ueigeschräkt möglich ist. Diese Zahlemege ist die Mege der gaze Zahle. Die Mege der gaze Zahle ethält die Elemete der Mege der atürliche Zahle ud alle egative gaze Zahle. Erstellt vo R. Brikma p0_fos_01_3.doc :40 Seite 6 vo 8

7 R. Brikma Seite Symbol = {... 3; ; 1;0;1;;3;... } I sid die Verküpfuge Additio, Subtraktio ud Multiplikatio abgeschlosse. Bei der Divisio zeigt sich jedoch wieder die Uzuläglichkeit dieser Zahlemege. 6 6:7= 7 Die Erweiterug der Mege der gaze Zahle um die Bruchzahle führt zur Mege der ratioale Zahle, i der die Divisio ahezu ueigeschräkt möglich ist. Die Divisio durch Null ist icht erlaubt. Die Mege der ratioale Zahle ist die Mege aller Zahle q, m für die gilt: q = ud m ist Elemet der Mege ud ist Elemet der Mege ohe das Elemet 0. * Symbol = { q q = m m } Nach DIN 5473 werde die Stadardmege mit eiem Ster gekezeichet, we * * * * das Elemet 0 icht ethalte sei soll, also,,,. Für jede ratioale Zahl gibt es uedlich viele Schreibweise, so dass i der aufzählede Form der Mege ur die Repräsetate (icht mehr kürzbare Brüche) aufgeführt werde = = = =... = = Zusätzlich zu de ratioale Zahle existiere auf dem Zahlestrahl Pukte, die keier ratioale Zahl etspreche, also icht durch m * q = mit m ud dargestellt werde köe. π si(48 ) lg 0 Da diese Zahle wie de ratioale Zahle wirklich ei Pukt auf dem Zahlestrahl zugeordet ist, et ma alle Zahle, dee geau ei Pukt auf dem Zahlestrahl zugeordet ist, die Mege der reelle Zahle. Die Mege der reelle Zahle ist die Mege aller Pukte des Zahlestrahls. Symbol Erstellt vo R. Brikma p0_fos_01_3.doc :40 Seite 7 vo 8

8 R. Brikma Seite I der Mege der reelle Zahle sid die Verküpfuge Additio, Subtraktio Multiplikatio, Poteziere, ueigeschräkt ud die Divisio ohe Divisor 0 möglich. 45 log ( 8) Die Verküpfuge Radiziere ud Logarithmiere sid icht ueigeschräkt möglich. Diese Verküpfuge sid i eier ochmals erweiterte Zahlemege abgeschlosse, der Mege der komplexe Zahle. Erstellt vo R. Brikma p0_fos_01_3.doc :40 Seite 8 vo 8