1 Mengen und Aussagen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "1 Mengen und Aussagen"

Transkript

1 Mathematik für Physiker I, WS 010/011 Montag $Id: mengen.tex,v /11/01 14:19:48 hk Exp $ $Id: beweise.tex,v /11/05 06:40:11 hk Exp $ 1 Mengen und Aussagen Wir haben jetzt Allaussagen (x M) : A(x) und Existenzaussagen (x M) : A(x) eingeführt. Diese scheinen sich zwar formal recht ähnlich zu sein, inhaltlich unterscheiden sie sich jedoch grundlegend voneinander. Um eine Allaussage (x M) : A(x) zu beweisen, muss man sich ein beliebiges Element x M der zugrundeliegenden Menge M vorgeben und für jedes solche die Aussage A(x) beweisen. Es reicht nicht dies für einzelne x M zu tun. Als ein Beispiel nehmen wir einmal M = N\{0, 1} = {, 3, 4,...} und A(n) = ggt(n 5 5, (n + 1) 5 5) = 1 letzteres für jedes n N. Probieren wir etwa n = so sind n 5 5 = 7 und (n+1) 5 5 = 38 und wir haben ggt(n 5 5, (n + 1) 5 5) = 1. Verwenden wir dann einen Computer, so kann man leicht etwa alle Werte n durchprobieren und die beiden Zahlen n 5 5 und (n + 1) 5 5 stellen sich immer als teilerfremd heraus. Als ein Beweis der Aussage (n M) : A(n) reicht das aber nicht aus, selbst eine so große Zahl von Beispielen hat keine Beweiskraft. Andererseits reicht ein einzelnes Gegenbeispiel aus die Allaussage zu widerlegen, und nehmen wir etwa n = , so ist ggt(n 5 5, (n + 1) 5 5) = > 1. Ganz anders sieht dies bei einer Existenzaussage aus. Um eine Aussage (x M) : A(x) zu beweisen, muss man nur ein einziges x M finden für welches die Aussage A(x) gilt. Idealerweise geschieht dies durch möglichst direkte Angabe solch eines x, aber dies ist nicht zwingend verlangt, es gibt Beispiele bei denen man die Existenz eines x einsehen kann, ohne die geringste Idee zu haben wie solches x konkret beschaffen kann. Von Bedeutung sind oftmals auch die Verneinungen von All- und Existenzaussagen. Überlegen wir uns zunächst wann eine Allaussage (x M) : A(x) falsch ist. Wie im obigen Beispiel reicht hierfür ein einzelnes x M aus so, dass A(x) falsch ist. In anderen Worten ist die Verneinung einer Allaussage eine Existenzaussage, nämlich (x M) : A(x) = (x M) : A(x). Entsprechend ist eine Existenzaussage (x M) : A(x) falsch, wenn wir eben kein Element x von M finden können für das A(x) wahr ist, d.h. wenn die Verneinung A(x) für jedes Element x von M wahr ist. Die Verneinung einer Existenzaussage wird damit eine Allaussage (x M) : A(x) = (x M) : A(x). 3-1

2 Mathematik für Physiker I, WS 010/011 Montag Bei Verneinung drehen sich als All- und Existenzquantoren um, d.h. Allquantoren werden zu Existenzquantoren und Existenzquantoren werden zu Allquantoren. Sind beispielsweise M, N zwei Mengen und A(x, y) eine Aussage über Elemente x M und y N, so wird (x M) (y N) : A(x, y) = (x M) : (y N) : A(x, y) = (x M) (y N) : A(x, y). Entsprechend kann man in allen solchen Fällen vorgehen, zum Verneinen werden alle Quantoren umgedreht und die innere Aussage verneint. Zum Abschluß wollen wir noch einen Zusammenhang zwischen Aussagen und Mengen beschreiben. Neben den bisher beschriebenen Methoden zur Bildung von Mengen gibt es noch eine weitere Konstruktionsmethode bei der aus einer gegebenen Menge durch eine Bedingung an die Elemente dieser Menge eine Teilmenge ausgewählt wird. Als ein Beispiel nehmen wir einmal die Menge P der Primzahlen. Primzahlen n sind spezielle natürliche Zahlen n N, und zwar diejenigen die nicht Eins sind und keinen von 1 und n verschiedenen Teiler besitzen. Letzteres ist eine Bedingung A(n) an die Elemente von N, und man schreibt P = {n N n 1und es gibt keinen Teiler m von n mit 1 < m < n}. } {{ } A(n) Allgemein schreibt man {x M A(x)} = { Menge aller Element x M, die die Bedingung A(x) an Elemente von M erfüllen. Beachte das es hier nur erlaubt ist, eine Teilmenge aus einer bereits vorhandenen Grundmenge M auszuwählen. Man ist versucht auch freie Mengenbildungen also {x A(x)} für die Menge überhaupt aller mathematischen Objekte x, die die Bedingung A(x) erfüllen, zuzulassen. Diese harmlos aussehende Schreibweise führt aber sofort in verheerende Widersprüche. Der bekannteste solche Widerspruch ist die sogenannte Russelsche Antinomie. Bei dieser versucht man die Menge R := {x x ist eine Menge mit x / x} zu bilden. Es gibt dann zwei Möglichkeiten, entweder ist R ein Element von R oder nicht, und wir wollen beide Möglichkeiten einmal durchgehen. Ist R R, so ist R nach Definition von R eine Menge die sich nicht selbst als Element enthält, also haben wir R / R. Dies geht natürlich nicht, und damit scheidet diese Möglichkeit aus. Daher muss wohl R / R gelten. Aber dann ist R ja eine Menge die sich nicht selbst als Element enthält, und dies bedeutet wiederum R R, und auch diese Möglichkeit scheidet aus. So etwas wie die Menge R darf also nicht existieren, und tatsächlich haben wir die obige Mengenbildung durch das Bestehen auf einer vorgegebenen Grundmenge auch 3-

3 Mathematik für Physiker I, WS 010/011 Montag ausgeschlossen. Natürlich könnte es trotzdem einen komplizierteren Widerspruch geben, der nur unsere erlaubten Mengenbildungen verwendet, aber ein solcher ist bislang nicht aufgetaucht. Auch die Operationen des Schneidens, Vereinigens und Komplementbildens von Mengen lassen sich alternativ über die Bildung von Teilmengen durch Auswahlbedingungen beschreiben. Beispielsweise ist für je zwei Mengen A, B A B = {x A x B} = {x B x A} = {x x A x B}. Der letzte dieser drei Ausdrücke sieht dabei wie die eben gerade verbotene freie Mengenbildung aus. In diesem speziellen Fall kann man sie aber doch erlauben, da durch die Bedingung A(x) = x A x B ja implizit eine Grundmenge gegeben ist. Ebenso sind A B = {x x A x B}, A\B = {x A x / B}. In diesem Sinne entspricht das Schneiden von Mengen der und Verknüpfung von Aussagen, und das Vereinigen entspricht der oder Verknüpfung. Die Beweismethoden Es gibt drei verschiedene Beweismethoden, der direkte Beweis, der indirekte Beweis und die sogenannte vollständige Induktion. Die ersten beiden Methoden sind sehr allgemeiner Natur während die vollständige Induktion auf Aussagen eines speziellen Typs beschränkt ist. Diese drei Methoden sind nur die prinzipiellen Grundmethoden. Beweise komplizierterer Aussagen setzen sich in der Regel aus vielen kleinen Teilbeweisen zusammen, die dann ihrerseits jeweils eine der Grundmethoden verwenden. Wir beginnen mit dem einfachsten der drei Grundtypen, dem direkten Beweis. Zu zeigen ist eine Implikation A B, wobei A die Voraussetzungen sind und B die Behauptung ist. Bei einem direkten Beweis gibt man eine logische Folgerungskette an, die bei den Vorausetzungen A beginnt und mit der Behauptung B endet. Als ein Beispiel für einen direkten Beweis, wollen wir die folgende Behauptung verwenden: Für alle x, y R mit x, y 0 ist xy x + y. Die Voraussetzungen A und die Behauptung B sind hier A = x, y R x, y 0, B = xy x + y. 3-3

4 Mathematik für Physiker I, WS 010/011 Montag Wir wollen an diesem Beispiel auch gleich einen der typischen Anfängerfehler vorführen, und geben daher zunächst einen fehlerhaften Beweis an: ab a + b = ( ) a + b (a + b) ab = 4 = 4ab a + ab + b = a ab + b 0 = (a b) 0 ist wahr. = a + ab + b 4 (quadrieren) Leider ist das kein Beweis, und zwar weder ein Beweis unserer Behauptung noch von irgend etwas. Für einen direkten Beweis müsste man von der Voraussetzung ausgehend auf die Behauptung schließen, aber hier sind wir anstelle dessen von der Behauptung ausgegangen und haben gezeigt das aus dieser eine wahre Aussage folgt. Dies besagt aber nichts, denn aus einer falschen Aussage folgt ebenso eine wahre Aussage. Die eigentliche Rechnung ist aber schon in gewissen Sinne in Ordnung, sie ist nur falsch organisiert. Was eigentlich gemeint ist, ist dass die letzte Aussage (a b) 0 wahr ist, und aus dieser folgt dann a ab b 0 und aus dieser folgt weiter (a + b) = a + ab + b 4ab, also (a + b) /4 ab, und das Ziehen der Wurzel ergibt schließlich (a + b)/ (ab). Die korrekte Schlußrichtung ist hier also von unten nach oben, wir müssen den falschen Beweis nur umdrehen um den korrekten Beweis zu erhalten. Die korrigierte Version ist somit wie folgt. Es gilt a ab + b = (a b) 0, und Addition mit 4ab liefert (a + b) = a + ab + b = a ab + b + 4ab 4ab, also (a + b) /4 4. Die Monotonie der Wurzel liefert schließlich die Behauptung (a + b)/ ab. Damit haben wir einen direkten Beweis unserer Behauptung angegeben. In diesem Beispiel sehen wir auch, dass die logische Reihenfolge in einem Beweis von der Reihenfolge der eigentlichen Überlegungen abweichen kann, auch wenn dies nicht immer so extrem wie in diesem Beispiel ist. Wir hatten früher schon bemerkt, dass ein Beweis nicht nur die Korrektheit einer Aussage belegen soll, sondern diese auch erklären soll. Dagegen ist es nicht die Aufgabe eines Beweises zu dokumentieren wie man auf den Beweis oder die Aussage kommt. Soviel zum direkten Beweis. Wir kommen jetzt zur zweiten Beweismethode, dem indirekten Beweis oder Widerspruchsbeweis. Auch bei diesen ist eine Aussage A B zu beweisen. Wie immer beim Beweis einer Implikation nehmen wir an, dass die Aussage A gilt, und bei einem Widerspruchsbeweis nehmen wir weiter an, dass die Aussage B falsch ist. Dann wird aus der Aussage A ( B) ein Widerspruch hergeleitet, d.h. wir finden eine Aussage C von der wir zeigen können das sowohl C als auch die Verneinung C wahr sind. Da dies nicht möglich ist, muss die Annahme das B falsch ist selbst falsch gewesen sein, d.h. B ist wahr. Das Urbeispiel eines Widerspruchsbeweises ist der Beweis der Irrationalität von. Die zu beweisende Aussage ist hier B : / Q. 3-4

5 Mathematik für Physiker I, WS 010/011 Montag Nehmen wir also an B wäre falsch, d.h. es ist Q. Da rationale Zahlen definitionsgemäß Brüche ganzer Zahlen sind, und da > 0 ist, gibt es dann natürliche Zahlen p, q N mit p, q 1 und = p/q. Durch Auskürzen kann man weiter annehmen das p und q keine gemeinsamen Teiler haben. Dies ist dann unsere Aussage C : p und q haben keine gemeinsamen Teiler mit der wir einen Widerspruch erhalten werden. Hierzu rechnen wir = = ( ) p = p q q, und somit ist auch p = q. Damit ist p ein Vielfaches von, also gerade. Andererseits sind Produkte ungerader Zahlen wieder ungerade, und damit muss p selbst gerade sein, da sonst p ungerade wäre. Damit erhalten wir die natürliche Zahl r := p N mit p = r. Setzen wir dies in unsere Gleichung ein, so folgt q = p = (r) = 4r, also auch q = r. Genau wie bei p muss q damit gerade sein. Somit ist aber ein gemeinsamer Teiler von p und q, wir haben also C. Dies ist ein Widerspruch, und somit ist tatsächlich irrational. Während der direkte und der indirekte Beweis auf ganz allgemeine Aussagen anwendbar sind, ist die dritte, jetzt zu diskutierende, Beweismethode nur für eine spezielle Sorte von Aussagen verwendbar. Die vollständige Induktion ist ein Beweisverfahren, um Aussagen über alle natürlichen Zahlen zu beweisen, genauer geht es um Allaussagen der Form (n N) : A(n), wobei A(n) eine Aussage über natürliche Zahlen n ist. Ein Beispiel einer solchen Aussage ist n(n + 1) A(n) : n = für n N. Dabei interpretieren wir die bei n = 0 auftretende leere Summe als Null. Ein Induktionsbeweis erfolgt in zwei Schritten: 1. Induktionsanfang: Zeige das die Aussage A(0) gilt.. Induktionsschritt: Hier ist zu zeigen, dass aus A(n) für n N auch A(n + 1) folgt, d.h es ist die Allaussage (n N) : A(n) A(n + 1) zu beweisen. Den Induktionsschritt unterteilt man meistens in zwei Teile: (a) Induktionsannahme: Sei n N mit A(n) gegeben. 3-5

6 Mathematik für Physiker I, WS 010/011 Montag (b) Induktionsschritt: Zeige, dass auch A(n + 1) gilt. Haben wir Induktionsanfang und Induktionsschritt erfolgreich durchgeführt, so besagt das Prinzip der vollständigen Induktion, dass die Aussage A(n) für jedes n N wahr ist. Ein häufiges Mißverständnis besteht darin zu glauben, dass man beim Induktionsschritt bereits weiss das A(n) wahr ist. Dies ist aber nicht der Fall, alles was gezeigt wird ist die Implikation A(n) A(n + 1) und wie immer beim Beweis einer Implikation kann man annehmen das die Voraussetzung der Implikation, also A(n), wahr ist denn andernfalls ist die Implikation sowieso wahr. Als ein Beispiel wollen wir die Formel n = n(n + 1) für alle n N per vollständiger Induktion beweisen. Dies bedeutet die Gültigkeit von (n N) : A(n) mit der Aussage für n N. A(n) : n = n(n + 1) Induktionsanfang: Der Induktionsanfang ist was sicherlich wahr ist. A(0) : 0 = 0 (0 + 1), Induktionsannahme: Sei n N mit n = n(n+1). Induktionsschritt: Wir müssen einsehen das auch A(n + 1), also (n + 1) = wahr ist. Mit der Induktionsannahme ergibt sich (n + 1) = (1 + + n) + (n + 1) = und der Induktionsschritt ist durchgeführt. = (n + 1)(n + ) n(n + 1) + (n + 1) n(n + 1) + (n + 1) = (n + 1)(n + ), Per vollständiger Induktion ist damit A(n) für alle n N bewiesen. Überlegen wir uns kurz warum ein Induktionsbeweis funktioniert. Im Induktionsanfang wird A(0) nachgewiesen und im Induktionsschritt wird weiter A(n) A(n + 1) für alle n N gezeigt. Mit n = 0 wissen wir insbesondere A(0) A(0 + 1) = A(1), 3-6

7 Mathematik für Physiker I, WS 010/011 Montag d.h. A(0) und die Implikation A(0) A(1) sind wahr und somit ist auch A(1) wahr. Mit n = 1 haben wir dann auch A(1) A(1 + 1) = A() und da wir A(1) bereits eingesehen haben, ist auch A() wahr. So fortfahrend sind dann auch A(3), A(4),..., und immer so weiter, wahr. Da wir so bei jeder natürlichen Zahl n N vorbeikommen ist A(n) für jedes n N wahr. Dies sollte Sie von der Gültigkeit der Methode der vollständigen Induktion überzeugen. Es ist allerdings kein exaktes Argument für diese, da wir das Problem in dem harmlos aussehenden und so weiter versteckt haben. Bevor wir mit der vollständigen Induktion fortfahren, wollen wir noch eine nützliche Abkürzung einführen, das sogenannte Summenzeichen. Man schreibt beispielsweise für n N k = n. Das große Sigma ist hier das Summenzeichen und k der sogenannte Summationsindex. Das Summenzeichen n a k wird so interpretiert das k die Werte von 1 bis n durchläuft, für jedes solche k die Zahl a k gebildet wird und alle diese Zahlen aufsummiert werden. Beispielsweise sind 6 k = = = 86 oder k=3 4 1 k = = 5 1. Oftmals läßt man den Summationsindex auch über eine kompliziertere Menge laufen, die dann in der Regel unterhalb des Summenzeichens beschrieben wird, beispielsweise 1 k 10 k Primzahl 1 k = = Der Summationsindex ist eine der letztes Mal erwähnten formalen Variablen, insbesondere gibt es ihn nur innerhalb der Summe und nicht außerhalb. Bei komplexeren Summen dürfen auch mehrere Summationsindizes gleichzeitig verwendet werden, beispielsweise 1 i<j 3 1 i + j = = = Hier durchlaufen die Summationsindizes i, j die möglichen Werte (i, j) = (1, ), (1, 3) und (, 3). Sind a 1,..., a n, b 1,..., b n und c beliebige Zahlen, so gelten offenbar (a k + b k ) = a k + (ca k ) = c 3-7 a k. b k und

8 Mathematik für Physiker I, WS 010/011 Montag Entsprechende Formeln gelten dann natürlich auch für die Summation über kompliziertere Indexbereiche. Wir wollen jetzt auch noch eine kleine Variante der vollständigen Induktion besprechen, bei der eine Aussage A(n) nicht unbedingt für alle n N bewiesen wird sondern für alle n ab einem Startwert n 0 N. Zu beweisen ist also die Allaussage (n N, n n 0 ) : A(n), und für eine vollständige Induktion müssen die folgenden drei Bestandteile durchgeführt werden: Induktionsanfang: Die Aussage A(n 0 ) ist wahr. Induktionsannahme: Sei n N mit n n 0 und A(n). Induktionsschritt: Zeige das dann auch A(n + 1) gilt. Beachte das wir in der Induktionsannahme zusätzlich zu A(n) auch noch annehmen das n n 0 ist, dies kann durchaus wesentlich sein. Haben wir die obigen drei Schritte durchgeführt, so besagt das Prinzip der vollständigen Induktion, dass die Aussage A(n) für alle n N mit n n 0 gilt. Als ein Beispiel wollen wir die Aussage n > n für n N untersuchen. Diese ist nicht für jedes n N wahr, für die kleinen Werte von n haben wir n n n und somit versuchen wir unser Glück mit dem Startwert n 0 = 5. Wir wollen also n > n für alle n N mit n 5 beweisen. Unsere Aussage A(n) ist hier A(n) : n > n. Wir führen die vollständige Induktion durch Induktionsanfang: Es ist 5 = 3 > 5 = 5, also gilt A(5). Induktionsannahme: Sei n N mit n 5 und n > n gegeben. Induktionsschritt: Da insbesondere n 3 ist haben wir dann Es folgt n = n n 3n = n + n > n + 1. n+1 = n > n = n + n > n + n + 1 = (n + 1), und wir haben auch A(n + 1) eingesehen. 3-8

9 Mathematik für Physiker I, WS 010/011 Montag Per vollständiger Induktion ist damit n > n für alle n N mit n 5 bewiesen. In den allermeisten Fällen ist der Induktionsanfang wie in diesen Beispielen eine recht banale Angelegenheit. Trotzdem ist er unverzichtbar, der Induktionsschluß kann auch bei falschen Aussagen funktionieren. Nehmen wir einmal die offensichtlich unsinnige Aussage n > n + 1 als unser A(n). Ist dann n N mit A(n), also n > n + 1, so folgt durch Addition mit Eins auch n + 1 > (n + 1) + 1, also A(n + 1). Der Induktionsschluß ist hier also problemlos möglich, der Anfang natürlich nicht. Dies ist kein seltenes Phänomen, nehmen Sie einmal an die Aussage A(n) ist für jedes n N falsch. Da aus falschem alles folgt, gilt dann A(n) A(n + 1) für jedes n N, der Induktionsschluß funktioniert also immer wenn die Aussage A(n) niemals richtig ist. 3-9

$Id: reell.tex,v /11/06 13:37:36 hk Exp $ M := {na n N} R. (n + 1)a = na + a > s a + a = s,

$Id: reell.tex,v /11/06 13:37:36 hk Exp $ M := {na n N} R. (n + 1)a = na + a > s a + a = s, $Id: reell.tex,v 1.49 2017/11/06 13:37:36 hk Exp $ 1 Die reellen Zahlen 1.4 Das Vollständigkeitsaxiom In der letzten Sitzung haben wir die Axiome der reellen Zahlen vervollständigt, insbesondere haben

Mehr

$Id: reell.tex,v /11/07 11:22:18 hk Exp $

$Id: reell.tex,v /11/07 11:22:18 hk Exp $ $Id: reell.tex,v.4 206//07 :22:8 hk Exp $ Die reellen Zahlen.4 Das Vollständigkeitsaxiom Am Ende der letzten Sitzung hatten wir die sogenannte archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen bewiesen, gegeben

Mehr

Eine Menge fasst also einige bereits vorhandene Objekte zu einem neuen Ganzen zusammen. Wir werden nur Mengen betrachten, deren Elemente allesamt

Eine Menge fasst also einige bereits vorhandene Objekte zu einem neuen Ganzen zusammen. Wir werden nur Mengen betrachten, deren Elemente allesamt Inhaltsverzeichnis Mengen und Aussagen.......................... 2 Die Beweismethoden........................... 6 3 Funktionen................................ 22 4 Die reellen Zahlen............................

Mehr

Rechenregeln für Summen

Rechenregeln für Summen Rechenregeln für Summen Im Umgang mit Summen sind gewisse Regeln zu beachten. 1 Summe gleicher Summanden Betrachten wir folgende Summe: x Hier enthält x keinen Summationsindex, d.h. es wird x einfach n-mal

Mehr

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 3 Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil

Mehr

Q.E.D. Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2018/2019 Übung#2, Christian Rieck, Arne Schmidt

Q.E.D. Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2018/2019 Übung#2, Christian Rieck, Arne Schmidt Institute of Operating Systems and Computer Networks Algorithms Group Q.E.D. Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2018/2019 Übung#2, 01.11.2018 Christian Rieck, Arne Schmidt Einführendes Beispiel

Mehr

Dr. Regula Krapf Sommersemester Beweismethoden

Dr. Regula Krapf Sommersemester Beweismethoden Vorkurs Mathematik Dr. Regula Krapf Sommersemester 2018 Beweismethoden Aufgabe 1. Überlegen Sie sich folgende zwei Fragen: (1) Was ist ein Beweis? (2) Was ist die Funktion von Beweisen? Direkte Beweise

Mehr

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 3 Wintersemester 2017/18 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil

Mehr

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 3 Wintersemester 2017/18 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil

Mehr

$Id: reell.tex,v /11/11 12:32:08 hk Exp $

$Id: reell.tex,v /11/11 12:32:08 hk Exp $ Mathemati für Physier I, WS 203/204 Montag. $Id: reell.tex,v.23 203// 2:32:08 h Exp $ Die reellen Zahlen.5 Potenzen mit rationalen Exponenten Wir behandeln gerade die Bernoulli-Ungleichung +x) n +nx gültig

Mehr

Vorkurs Mathematik. Prof. Udo Hebisch WS 2017/18

Vorkurs Mathematik. Prof. Udo Hebisch WS 2017/18 Vorkurs Mathematik Prof. Udo Hebisch WS 2017/18 1 1 Logik 2 1 Logik Unter einer Aussage versteht man in der Mathematik einen in einer natürlichen oder formalen Sprache formulierten Satz, für den eindeutig

Mehr

$Id: reell.tex,v /10/30 10:58:10 hk Exp $

$Id: reell.tex,v /10/30 10:58:10 hk Exp $ $Id: reell.tex,v 1.46 2017/10/30 10:58:10 hk Exp $ 1 Die reellen Zahlen 1.2 Aussagen und Mengen Wir beschäftigen uns gerade mit den verschiedenen Methoden zur Beschreibung von Mengen. 5. Als nächstes Beispiel

Mehr

Lösungen zum Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen

Lösungen zum Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen Lösungen zum Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen Aufgabe 1: Es sei D die Menge aller rationalen Dedekind-Mengen, also D := { M 2 Q M is Dedekind-Menge }. Auf der Menge D definieren wir

Mehr

Eine Aussage kann eine Eigenschaft für ein einzelnes, konkretes Objekt behaupten:

Eine Aussage kann eine Eigenschaft für ein einzelnes, konkretes Objekt behaupten: Aussagen Aussagen Eine Aussage kann eine Eigenschaft für ein einzelnes, konkretes Objekt behaupten: verbale Aussage formale Aussage Wahrheitswert 1) 201 ist teilbar durch 3 3 201 wahre Aussage (w.a.) 2)

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Große Übung #2 Phillip Keldenich, Arne Schmidt 10.11.2016 Organisatorisches Fragen? Checkliste: Anmeldung kleine Übungen Anmeldung Mailingliste Dies ersetzt nicht die Prüfungsanmeldung!

Mehr

3 Mengen und Abbildungen

3 Mengen und Abbildungen $Id: mengen.tex,v 1.2 2008/11/07 08:11:14 hk Exp hk $ 3 Mengen und Abbildungen 3.1 Mengen Eine Menge fasst eine Gesamtheit mathematischer Objekte zu einem neuen Objekt zusammen. Die klassische informelle

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume

Mehr

$Id: reell.tex,v /11/03 15:37:01 hk Exp $

$Id: reell.tex,v /11/03 15:37:01 hk Exp $ $Id: reell.tex,v 1.30 2014/11/03 15:37:01 hk Exp $ 1 Die reellen Zahlen 1.2 Aussagen und Mengen Am Ende der letzten Sitzung haben wir den Teilmengenbegriff eingeführt, eine Menge M ist eine Teilmenge einer

Mehr

Grundlegendes der Mathematik

Grundlegendes der Mathematik Kapitel 2 Grundlegendes der Mathematik (Prof. Udo Hebisch) 2.1 Logik Unter einer Aussage versteht man in der Mathematik einen in einer natürlichen oder formalen Sprache formulierten Satz, für den eindeutig

Mehr

Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag

Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag Brückenkurs Mathematik Dienstag 29.09. - Freitag 9.10.2015 Vorlesung 2 Mengen, Zahlen, Logik Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Mittwoch 30.09.2015 Mengen.................................

Mehr

Elementare Beweismethoden

Elementare Beweismethoden Elementare Beweismethoden Christian Hensel 404015 Inhaltsverzeichnis Vortrag zum Thema Elementare Beweismethoden im Rahmen des Proseminars Mathematisches Problemlösen 1 Einführung und wichtige Begriffe

Mehr

Vorkurs Beweisführung

Vorkurs Beweisführung Vorkurs Beweisführung Fachschaft Mathematik und Informatik 30.08.2013 Agenda 1 Einleitung 2 Direkter Beweis 3 Widerspruchsbeweis 4 Vollständige Induktion 5 Aussagen widerlegen 6 Gleichheit von Mengen 7

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Angenommen, wir wollen zeigen, dass eine Aussage P(n) für alle n N wahr ist. Anders ausgedrückt: Es gilt n N : P(n) Hierzu können wir die Technik der vollständigen Induktion verwenden. Wir zeigen, dass

Mehr

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 3 Wintersemester 018/19 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de c 018 Steven Köhler Wintersemester 018/19 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil Teil

Mehr

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den Fachbereich Mathematik Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den 8.9.011 Vorkurs Mathematik WS 011/1 Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwerer. Dort braucht

Mehr

Induktive Definitionen

Induktive Definitionen Priv.-Doz. Dr.rer.nat.habil. Karl-Heinz Niggl Technische Universität Ilmenau Fakultät IA, Institut für Theoretische Informatik Fachgebiet Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen J Induktive Definitionen

Mehr

IV Beweise in der Mathematik

IV Beweise in der Mathematik Propädeutikum 018 0. September 018 Mathematische Texte enthalten verschiedene Bezeichnungen der Sinneinheiten. Bezeichnungen in mathematischen Texten Axiome elementare Grundaussagen; werden nicht bewiesen

Mehr

$Id: reell.tex,v /10/28 14:16:56 hk Exp hk $ Axiome genannt, bei den reellen Zahlen haben wir dann die

$Id: reell.tex,v /10/28 14:16:56 hk Exp hk $ Axiome genannt, bei den reellen Zahlen haben wir dann die $Id: reell.tex,v 1.14 2013/10/28 14:16:56 hk Exp hk $ 1 Die reellen Zahlen Wir wollen diese Vorlesung mit den reellen Zahlen beginnen, diese sind die normalen Zahlen und man kann sie sich etwa als alle

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Beweistechniken 1.1 Prädikatenlogik..................................... 1. Direkter Beweis.................................... 3 1.3 Indirekter Beweis....................................

Mehr

Zusammenfassung: Beweisverfahren

Zusammenfassung: Beweisverfahren LGÖ Ks VMa 11 Schuljahr 217/218 Zusammenfassung: Beweisverfahren Inhaltsverzeichnis Teilbarkeitslehre... 1 Mathematische Sätze... 1 Bedingungen für Extremstellen und Wendestellen... 2 Beweisverfahren...

Mehr

Normalformen boolescher Funktionen

Normalformen boolescher Funktionen Normalformen boolescher Funktionen Jeder boolesche Ausdruck kann durch (äquivalente) Umformungen in gewisse Normalformen gebracht werden! Disjunktive Normalform (DNF) und Vollkonjunktion: Eine Vollkonjunktion

Mehr

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den x > 1 3x > 3 3x + 3 > 6 6x + 3 > 3x + 6.

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den x > 1 3x > 3 3x + 3 > 6 6x + 3 > 3x + 6. Fachbereich Mathematik Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den 7.9.01 Vorkurs Mathematik WS 01/13 Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwerer. Dort braucht

Mehr

Indexmengen. Definition. n n n. i=1 A i := A 1... A n

Indexmengen. Definition. n n n. i=1 A i := A 1... A n Indexmengen Definition Es sei n N. Für Zahlen a 1,..., a n, Mengen M 1,..., M n und Aussagen A 1,..., A n definieren wir: n i=1 a i := a 1 +... + a n n i=1 a i := a 1... a n n i=1 M i := M 1... M n n i=1

Mehr

Mathematischer Vorkurs

Mathematischer Vorkurs Mathematischer Vorkurs Dr. Agnes Lamacz Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 170 Kapitel 11 Aussageformen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 103 / 170 11.1 Denition: Aussageformen Eine Aussageform

Mehr

Der mathematische Beweis

Der mathematische Beweis Der mathematische Beweis Im Studium wird man wesentlich häufiger als in der Schule Beweise führen müssen. Deshalb empfiehlt es sich, verschiedene Beweisverfahren intensiv zu trainieren. Beweisstruktur

Mehr

$Id: reell.tex,v /10/27 12:59:28 hk Exp $ Axiome genannt, bei den reellen Zahlen haben wir dann die

$Id: reell.tex,v /10/27 12:59:28 hk Exp $ Axiome genannt, bei den reellen Zahlen haben wir dann die $Id: reell.tex,v 1.44 2017/10/27 12:59:28 hk Exp $ 1 Die reellen Zahlen Wir wollen diese Vorlesung mit den reellen Zahlen beginnen, diese sind die normalen Zahlen und man kann sie sich etwa als alle abbrechenden

Mehr

definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) (also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1.

definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) (also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1. 22 Kapitel 1 Aussagen und Mengen 1.1 Aussagen Wir definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr w) oder falsch f) also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1. 2 ist eine

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Vorlesung. Vollständige Induktion 1

Vorlesung. Vollständige Induktion 1 WS 015/16 Vorlesung Vollständige Induktion 1 1 Einführung Bei der vollständigen Induktion handelt es sich um ein wichtiges mathematisches Beweisverfahren, mit dem man Aussagen, die für alle natürlichen

Mehr

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Lennéstraße 43, 1. OG pinger@uni-bonn.de September/Oktober 2017 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober

Mehr

Zusammenfassung: Beweisverfahren

Zusammenfassung: Beweisverfahren LGÖ Ks VMa 11 Schuljahr 216/217 Zusammenfassung: Beweisverfahren Inhaltsverzeichnis Teilbarkeitslehre... 1 Mathematische Sätze... 1 Bedingungen für innere Extremstellen... 3 Beweisverfahren... 3 Für Experten...

Mehr

Logik für Informatiker. 1. Grundlegende Beweisstrategien. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau

Logik für Informatiker. 1. Grundlegende Beweisstrategien. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau Logik für Informatiker 1. Grundlegende Beweisstrategien Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Mathematisches Beweisen Mathematische ussagen - haben oft

Mehr

2 Rationale und reelle Zahlen

2 Rationale und reelle Zahlen 2 reelle Es gibt Mathematik mit Grenzwert (Analysis) und Mathematik ohne Grenzwert (z.b Algebra). Grenzwerte existieren sicher nur dann, wenn der Zahlbereich vollständig ist, also keine Lücken aufweist

Mehr

Induktion und Rekursion

Induktion und Rekursion Induktion und Rekursion Induktion und Rekursion Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 013/14. Oktober 013 Vorkurs Informatik WS 013/14 1/1 Vollständige Induktion Vorkurs Informatik WS 013/14 /1 Ziel

Mehr

1 Mengen und Aussagen

1 Mengen und Aussagen $Id: mengen.tex,v.3 200/0/3 2:37:54 hk Exp hk $ Mengen und Aussagen In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff einer Menge eingeführt und einige Rechenoperationen für Mengen eingeführt Vereinigung M

Mehr

typische Beweismuster Allgemeine Hilfe Beweistechniken WS2014/ Januar 2015 R. Düffel Beweistechniken

typische Beweismuster Allgemeine Hilfe Beweistechniken WS2014/ Januar 2015 R. Düffel Beweistechniken Beweistechniken Ronja Düffel WS2014/15 13. Januar 2015 Warum ist Beweisen so schwierig? unsere natürliche Sprache ist oft mehrdeutig wir sind in unserem Alltag von logischen Fehlschlüssen umgeben Logik

Mehr

2. Grundlagen. A) Mengen

2. Grundlagen. A) Mengen Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2019) 5 A) Mengen 2. Grundlagen Eine Menge ist durch Angabe ihrer Elemente bestimmt. Man kann eine Menge aufzählend oder beschreibend definieren. Im ersten Falle werden

Mehr

Fachwissenschaftliche Grundlagen

Fachwissenschaftliche Grundlagen Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 8. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 8. Vorlesung 1 / 25 Themen

Mehr

3 Vom Zählen zur Induktion

3 Vom Zählen zur Induktion 7 3 Vom Zählen zur Induktion 3.1 Natürliche Zahlen und Induktions-Prinzip Seit unserer Kindheit kennen wir die Zahlen 1,, 3, 4, usw. Diese Zahlen gebrauchen wir zum Zählen, und sie sind uns so vertraut,

Mehr

Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag

Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag Brückenkurs Mathematik Dienstag 2.10. - Freitag 12.10. Vorlesung 1 Logik, Mengen, Zahlen Kai Rothe Technische Universität Hamburg Dienstag 2.10. Tagesablauf 9:00-10:30 Vorlesung Audimax I 10:30-11:00 Pause

Mehr

Mathematik für Informatiker/Informatikerinnen 2

Mathematik für Informatiker/Informatikerinnen 2 Mathematik für Informatiker/Informatikerinnen 2 Koordinaten: Peter Buchholz Informatik IV Praktische Informatik Modellierung und Simulation Tel: 755 4746 Email: peter.buchholz@udo.edu OH 16, R 216 Sprechstunde

Mehr

Christian Rieck, Arne Schmidt

Christian Rieck, Arne Schmidt Institute of Operating Systems and Computer Networks Algorithms Group Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 207/208 Übung#2, 09..207 Christian Rieck, Arne Schmidt Organisatorisches Anmeldung Mailingliste

Mehr

$Id: mengen.tex,v /11/16 20:09:23 hk Exp $ $Id: komplex.tex,v /11/16 20:12:23 hk Exp hk $

$Id: mengen.tex,v /11/16 20:09:23 hk Exp $ $Id: komplex.tex,v /11/16 20:12:23 hk Exp hk $ $Id: mengen.tex,v.7 2008//6 20:09:23 hk Exp $ $Id: komplex.tex,v.2 2008//6 20:2:23 hk Exp hk $ I. Grundlagen 3 Mengen und Abbildungen 3.4 Vollständige Induktion und endliche Mengen Wir wollen noch ein

Mehr

Elementare Mengenlehre

Elementare Mengenlehre Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok WWU Münster Fachbereich Mathematik und Informatik 5.9.2013 Ÿ2 Elementare Mengenlehre Der grundlegendste Begri, mit dem Objekte und Strukturen der Mathematik (Zahlen,

Mehr

Donnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl.

Donnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl. Unterräume und Lineare Hülle 59 3. Unterräume und Lineare Hülle Definition.1 Eine Teilmenge U eines R-Vektorraums V heißt von V, wenn gilt: Unterraum (U 1) 0 U. (U ) U + U U, d.h. x, y U x + y U. (U )

Mehr

mathe plus Aussagenlogik Seite 1

mathe plus Aussagenlogik Seite 1 mathe plus Aussagenlogik Seite 1 1 Aussagenlogik 1.1 Grundbegriffe Def 1 Aussage Eine Aussage ist ein beschriebener Sachverhalt, dem eindeutig einer der Wahrheitswerte entweder wahr oder falsch zugeordnet

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion Mengen und Abbildungen

Mehr

1. Grundlagen. Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen

1. Grundlagen. Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen 1. Grundlagen Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen Peter Buchholz 2016 MafI 2 Grundlagen 7 1.1 Was ist Analysis? Analysis ist

Mehr

1. Grundlagen. 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen

1. Grundlagen. 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen . Grundlagen Gliederung. Was ist Analysis?.2 Aussagen und Mengen.3 Natürliche Zahlen.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen. Was ist Analysis? Analysis ist neben der linearen Algebra ein Grundpfeiler der Mathematik!

Mehr

II. Wissenschaftliche Argumentation

II. Wissenschaftliche Argumentation Gliederung I. Motivation II. Wissenschaftliche Argumentation i. Direkter Beweis ii. iii. Indirekter Beweis Beweis durch vollständige Induktion Seite 35 II. Wissenschaftliche Argumentation Ein Beweis ist

Mehr

Hinweis: Aus Definition 1 und 2 folgt, dass die Zahl 0 zu den geraden Zahlen zählt.

Hinweis: Aus Definition 1 und 2 folgt, dass die Zahl 0 zu den geraden Zahlen zählt. Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten besagt, dass für jeden (wahrheitsfähigen) Satz gilt: Entweder der Satz oder seine Negation ist wahr. Wenn m. a. W. gezeigt werden

Mehr

Aussagen. Mathematik und Logik 2011W. Was ist Logik? Elementare Zahlentheorie. Logik. Aussagenlogik. Prädikatenlogik. Datentypen.

Aussagen. Mathematik und Logik 2011W. Was ist Logik? Elementare Zahlentheorie. Logik. Aussagenlogik. Prädikatenlogik. Datentypen. Aussagen Die mathematische verwendet mathematische Methoden, um das logische Denken formal zu beschreiben. Populäre Definition: Eine Aussage ist ein Satz, der entweder falsch oder wahr ist. Problem: Wie

Mehr

Mathematisches Argumentieren und Beweisen Beweisarten Besipiele. Hagen Knaf, WS 2014/15

Mathematisches Argumentieren und Beweisen Beweisarten Besipiele. Hagen Knaf, WS 2014/15 Mathematisches Argumentieren und Beweisen Beweisarten Besipiele Hagen Knaf, WS 2014/15 Im Folgenden sind einige der in der Vorlesung besprochenen Beispielbeweise für die verschiedenen Beweisarten aufgeführt

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 8 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P13) Primfaktorzerlegungen Die Primfaktorzerlegungen lauten: a) 66 =

Mehr

Elementare Beweistechniken

Elementare Beweistechniken Elementare Beweistechniken Beispiel: Satzform (Pythagoras) Voraussetzung: Gegeben sei ein beliebiges rechtwinkeliges Dreieck, die Länge der Hypothenuse sei c und die Längen der anderen Seiten seien a und

Mehr

1 Die reellen Zahlen. 1.2 Aussagen und Mengen. Mathematik für Physiker I, WS 2013/2014 Montag 4.11

1 Die reellen Zahlen. 1.2 Aussagen und Mengen. Mathematik für Physiker I, WS 2013/2014 Montag 4.11 $Id: reell.tex,v 1.18 2013/11/04 12:13:45 hk Exp hk $ 1 Die reellen Zahlen 1.2 Aussagen und Mengen Wir sind gerade damit beschäftigt den Mengenbegriff zu diskutieren und am Ende der letzten Sitzung hatten

Mehr

Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 8

Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 8 Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 8 Abgabe Donnerstag 7. Dezember, 0:5 in H 5+7+8 = 20 Punkte Mit Lösungshinweisen zu einigen Aufgaben 29. Das Bisektionsverfahren sucht eine Nullstelle

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Susanna Pohl Vorkurs Mathematik TU Dortmund 09.03.2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Aussagen und Logik Motivation

Mehr

Kapitel 11 Beweisführung. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 254

Kapitel 11 Beweisführung. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 254 Kapitel 11 Beweisführung Kapitel 11 Beweisführung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 254 Kapitel 11 Beweisführung Grundsätzlich: ein mathematischer Satz ist eine Aussage der Form wenn... gilt,

Mehr

ALGEBRA UND MENGENLEHRE

ALGEBRA UND MENGENLEHRE ALGEBRA UND MENGENLEHRE EINE EINFÜHRUNG GRUNDLAGEN DER ALGEBRA 1 VARIABLE UND TERME In der Algebra werden für Grössen, mit welchen gerechnet wird, verallgemeinernd Buchstaben eingesetzt. Diese Platzhalter

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Vollständige Induktion F. Lemmermeyer. Januar 04 Aussagen, die für alle natürlichen Zahlen gelten, kann man oft mit vollständiger Induktion beweisen. Das Vorgehen ist dabei folgendes:. Man zeigt, dass

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion 30. September 008 Gliederung 1 3 4 Die Peano Axiome für die Menge der Natürlichen Zahlen N I. 0 ist eine natürliche Zahl, d.h. 0 N. II. Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger d.h. n : (n N! n

Mehr

8 Summen von Quadraten

8 Summen von Quadraten 8 Summen von Quadraten A. Summen von zwei Quadraten. Sei p eine Primzahl. Beispiele. = 1 + 1, 5 = 1 +, 13 = + 3 Aber 3 und 7 sind nicht Summen von zwei Quadraten. 8.1 Satz. Genau dann ist p Summe von zwei

Mehr

2 Eulersche Polyederformel und reguläre Polyeder

2 Eulersche Polyederformel und reguläre Polyeder 6 2 Eulersche Polyederformel und reguläre Polyeder 2.1 Eulersche Polyederformel Formal besteht ein Graph aus einer Knotenmenge X und einer Kantenmenge U. Jede Kante u U ist eine zweielementige Teilmenge

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion 30. September 008 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Die Peano Axiome für die Menge der Natürlichen Zahlen N I. 0 ist eine natürliche Zahl, d.h. 0 N. II. Jede natürliche

Mehr

Angewandte Mathematik und Programmierung

Angewandte Mathematik und Programmierung Angewandte Mathematik und Programmierung Einführung in das Konzept der objektorientierten Anwendungen zu mathematischen Rechnens WS 2013/14 Inhalt Übungserklärung* Beweis durch Vollständige Induktion 2

Mehr

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 $Id: folgen.tex,v. 200/2/06 :2:5 hk Exp $ $Id: reihen.tex,v. 200/2/0 4:4:40 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Cauchyfolgen Wir kommen nun

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14

Mehr

TU8 Beweismethoden. Daniela Andrade

TU8 Beweismethoden. Daniela Andrade TU8 Beweismethoden Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 12.12.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;) 2

Mehr

Kapitel 2. Induktion und Rekursion. 2.1 Induktion. Seien X und A Mengen und eine terminierende Relation. dass x X : x A gilt.

Kapitel 2. Induktion und Rekursion. 2.1 Induktion. Seien X und A Mengen und eine terminierende Relation. dass x X : x A gilt. Kapitel 2 Induktion und Rekursion 2.1 Induktion Induktion ist eine wichtige technik. Leider wird Induktion oft so vermittelt, dass Anfänger zu dem Schluß kommen, Induktion wäre eine geheimnisvolle Angelegenheit.

Mehr

3 Vollständige Induktion

3 Vollständige Induktion 3.1 Natürliche Zahlen In den vorherigen Kapiteln haben wir die Menge der natürlichen Zahlen schon mehrfach als Beispiel benutzt. Das Konzept der natürlichen Zahlen erscheint uns einfach, da wir es schon

Mehr

2 Logik. 2.1 Aussagen und Aussageformen

2 Logik. 2.1 Aussagen und Aussageformen Ein anderer Grundpfeiler der Mathematik neben der Mengenlehre ist die Logik, welche sich mit Aussagen, Verknüpfungen von Aussagen und deren Wahrheitsgehalt befaßt..1 Aussagen und Aussageformen In der Umgangssprache

Mehr

Folgen und Grenzwerte

Folgen und Grenzwerte Wintersemester 2015/201 Folgen und Grenzwerte von Sven Grützmacher Dieser Vortrag wurde für den (von der Fachschaft organisierten) Vorkurs für die Studienanfänger an der Fakultät für Mathematik und Informatik

Mehr

Logik/Beweistechniken

Logik/Beweistechniken Mathematikvorkurs bei Marcos Soriano Logik/Beweistechniken erstellt von: Daniel Edler -II- Inhaltsverzeichnis 1 Logik/Beweistechniken 1 1.1 Allgemeine Vorgehensweise......................... 1 2 Konjunktion/Disjunktion

Mehr

Beweistechniken. Vorkurs Informatik - SoSe April 2013

Beweistechniken. Vorkurs Informatik - SoSe April 2013 Vorkurs Informatik SoSe13 09. April 2013 Wozu Beweise in der Informatik?... um Aussagen wie 1 Das Programm erfüllt die gewünschte Aufgabe. 2 Das Programm führt zu keiner Endlosschleife. 3 Zur Lösung dieser

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Kantonsschule Olten Hardwald 4600 Olten Vollständige Induktion Andreas Stoll Andreas Pulfer Erfänzungsfach Anwendungen der Mathematik (2017/18) 1 Beweisen 1.1 Axiome und Prämissen Bei einem Beweis wird

Mehr

Vorkurs Mathematik für Informatiker 6 Logik, Teil 2

Vorkurs Mathematik für Informatiker 6 Logik, Teil 2 6 Logik, Teil 2 Michael Bader, Thomas Huckle, Stefan Zimmer 1. 9. Oktober 2008 Kap. 6: Logik, Teil 2 1 Aussagenformen Aussage mit Parameter (zum Beispiel x) Aussage wahr oder falsch abhängig vom Parameter

Mehr

WS 2013/14. Diskrete Strukturen

WS 2013/14. Diskrete Strukturen WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314

Mehr

Analysis I: Übungsblatt 1 Lösungen

Analysis I: Übungsblatt 1 Lösungen Analysis I: Übungsblatt 1 Lösungen Verständnisfragen 1. Was ist Mathematik? Mathematik ist eine Wissenschaft, die selbstgeschaffene, abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster hin untersucht.

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Beweise und Beweisstrategien andreas.kucher@uni-graz.at Institute for Mathematics and Scientific Computing Karl-Franzens-Universität Graz Graz, September 5, 2015 Hinweis zu den Folien Diese Folien sind

Mehr

Hinweise zur Logik. Ergänzung zu den Übungen Mathematische Grundlagen der Ökonomie am 22. Oktober 2009

Hinweise zur Logik. Ergänzung zu den Übungen Mathematische Grundlagen der Ökonomie am 22. Oktober 2009 Hinweise zur Logik Ergänzung zu den Übungen Mathematische Grundlagen der Ökonomie am 22. Oktober 2009 Im folgenden soll an einige Grundsätze logisch korrekter Argumentation erinnert werden. Ihre Bedeutung

Mehr

Vorkurs Mathematik Logik und Beweise II

Vorkurs Mathematik Logik und Beweise II Vorkurs Mathematik Logik und Beweise II Mireille Soergel 5. Oktober 017 Diese Arbeit basiert in Teilen auf dem Beweis-Vortrag von Bärbel Jansen und Winnifred Wollner, in bearbeiteter Fassung von Casper

Mehr

Beweistechniken. Vorkurs Informatik - SoSe April 2014

Beweistechniken. Vorkurs Informatik - SoSe April 2014 Vorkurs Informatik SoSe14 07. April 2014 Wozu Beweise in der Informatik? Quelle:http://www.capcomespace.net Motivation Wozu Beweise in der Informatik? Quelle: http://www.nileguide.com Wozu Beweise in der

Mehr

Induktion und Rekursion

Induktion und Rekursion Mathematische Beweistechniken Vorkurs Informatik SoSe13 10. April 013 Mathematische Beweistechniken Ziel Mathematische Beweistechniken Ziel beweise, dass eine Aussage A(n) für alle n N gilt. Beispiel Für

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastian Schwarz WS 2018/2019 18.10.2018 Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum

Mehr

Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele

Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele Ist (a n ) eine Folge von Zahlen, so heißt der formale Ausdruck a ν = a 0 + a 1 + a 2 +... eine Reihe; die einzelnen a ν sind die Glieder dieser Reihe. Um

Mehr

Vorkurs Mathematik Logik und Beweise II

Vorkurs Mathematik Logik und Beweise II Vorkurs Mathematik Logik und Beweise II Philipp Dahlinger 3.Oktober 018 Diese Arbeit basiert in Teilen auf dem Beweis-Vortrag von Bärbel Jansen und Winnifred Wollner, in bearbeiteter Fassung von Casper

Mehr

1 Logik und Mengenlehre

1 Logik und Mengenlehre 1 LOGIK UND MENGENLEHRE 1 1 Logik und Mengenlehre Definition. (Cantor, 1895) Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres

Mehr