10. Kapitel (Teil1) BÄUME GRUNDLAGEN. Algorithmen & Datenstrukturen Prof. Dr. Wolfgang Schramm

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1 10. Kapitel (Teil1) BÄUME GRUNDLAGEN Algrithmen & Datenstrukturen Prf. Dr. Wlfgang Schramm

2 Übersicht 1 1. Einführung 2. Algrithmen 3. EigenschaCen vn Prgrammiersprachen 4. Algrithmenparadigmen 5. Suchen & SrLeren 6. Hashing 7. Kmplexität vn Algrithmen 8. Abstrakte Datentypen (ADT) 9. Listen 10. Bäume 11. Graphen

3 Lernziele des Kapitels 2 2 Verstehen, was ein Baum (in der InfrmaLk) ist? Kennenlernen vn verschiedenen Baumarten. ADT Baum (Tree) kennenlernen. Den ADT Tree mit seinen verschiedenen OperaLnen in Java implemenleren können. Spezielle Ausprägung vn Bäumen kennenlernen.

4 Inhalt 3 1. Einführung 2. Bäume Begriffe, DefiniLn 3. Binäre Bäume, binäre Suchbäume 4. Balancierte Bäume n AVL- Bäume n B- Bäume 5. Weitere Bäume 6. SrLeren mit Bäumen: Heapsrt

5 Anwendungen vn Bäumen 5 Familienstammbuch Ergebnisse eines Sprkurniers ( KO- System ) Organigramm Gliederung eines Buches Datei- Struktur im Rechner Maximum- BesLmmung rekursiv ArithmeLscher Ausdruck

6 Baum Begriffe 1/7 6 Dynamische Datenstruktur Anzahl der Elemente beliebig: 0.. FunkLnen Erzeugen à leerer Baum Einfügen à Baum mit einem Element mehr Rausnehmen à Baum mit einem Element weniger Nachschauen, b der Baum leer ist à Baum unverändert Linken (rechten) Teilbaum bilden à (neuer) Baum Visualisierung

7 Baum Begriffe 2/7 7 Hierarchisches Strukturierungs- und OrganisaLnsprinzip. Verallgemeinerte Liste Mehr als ein Nachflger erlaubt Spezieller Graph Zusammenhängender, zyklenfreier Graph

8 Baum Begriffe 3/7 8 Baum = Menge vn Knten und Kanten, die besndere EigenschaCen aufweisen. Jeder Baum besitzt einen ausgezeichneten Knten, die Wurzel (rt); Ausnahme: leerer Baum. Jeder Knten, außer der Wurzel ist durch genau eine Kante mit seinem Vaterknten (parent, Synnyme: Muker, Elternknten, Vrgänger) verbunden. Er wird Kind (child, Synnyme: Tchter, Shn, Nachflger) dieses Kntens genannt. Ein Knten hne Kinder heißt Bla/ (leaf), alle anderen Knten nennt man innere Knten.

9 Baum Begriffe 4/7 9 Vater Kind

10 Baum Begriffe 5/7 10 Ein Pfad (path) in einem Baum ist eine Flge vn unterschiedlichen Knten, in der die aufeinander flgenden Knten durch Kanten miteinander verbunden sind. Zwischen jedem Knten und der Wurzel gibt es genau einen Pfad. Das bedeutet dass ein Baum zusammenhängend ist und es keine Zyklen gibt. Das Niveau (level) eines Kntens ist die Länge des Pfades vn der Wurzel zu diesem Knten. Die Höhe (height) eines Baumes entspricht dem größten level eines Blakes + 1. Es gibt verschiedene Arten vn Bäumen. Sie können dadurch charakterisiert sein, dass jeder Knten eine beslmmte Anzahl vn direkten Kindern haben muss und wie die Kinder angerdnet sind.

11 Baum Begriffe 6/7 11 Niveau/Level 0 Höhe 4 Pfad 1 Unterbaum 2 3

12 Baum Begriffe 7/7 12 Bei Vrgabe der Anzahl vn Kindern: n- ärer Baum (n- ary tree). Sind die Kinder jedes Kntens in einer beslmmten Reihenflge gerdnet: gerdneter Baum (rdered tree). Binärer Baum = gerdneter Baum, bei welchem jeder Knten maximal 2 Kinder hat. Beispiel: arithmelscher Ausdruck als Baum 8 + (5 3) * *

13 Visualisierung 1/2 13 Leerer Baum Nicht- leerer Baum Baum Baum Wert Wert Wert Wert Wert

14 Visualisierung 2/2 14 der einfacher s der s

15 Tree OperaLnen 15 Binärer Baum (Tree) als ADT: OperaNnen / FuncNns (Auswahl): n insert - fügt ein neues Element in den Baum ein n n n insert: Element Tree Tree remve enwernt ein Element aus dem Baum remve: Element Tree Tree empty erzeugt einen leeren neuen Baum empty: Tree isempty - liefert true genau dann, wenn der Baum leer ist isempty: Tree blean

16 16 Baumknten etwas allgemeiner Typische verwendete Datentypen für die ImplemenLerung Wert Ein Mehrere Werte und Kinder Wert Wert Wert und unbeschränkt viele Kinder Keine Werte in inneren Knten und spezieller Blatt- Datentyp Wert

17 Tree ImplemenLerung 17 Kntenklasse class TreeNde {// Nde f a binary tree int elem; TreeNde left; TreeNde right; public TreeNde (int i) { elem = i; left = right = null; } public TreeNde getleft () { return left; } public TreeNde getright () { return right; } public int getelement () { return elem; } public vid setleft (TreeNde n) { left = n; } public vid setright (TreeNde n) { right = n; } public vid setelement (int e) { elem = e; }

18 Tree ImplemenLerung (allg.) 18 Kntenklasse class TreeNde {// Nde f a binary tree Element elem; TreeNde left; TreeNde right; public TreeNde (Element i) { elem = i; left = right = null; } public TreeNde getleft () { return left; } public TreeNde getright () { return right; } public Element getelement () { return elem; } public vid setleft (TreeNde n) { left = n; } public vid setright (TreeNde n) { right = n; } public vid setelement (Element e) { elem = e; }

19 Algrithmen zur Traversierung 1/2 20 Inrder (Zwischenrdnung) Durchlauf Zuerst wird der linke Teilbaum besucht, dann der Knten selbst und anschließend der rechte Teilbaum. Prerder (Vrrdnung) Durchlauf Zuerst wird der der Knten selbst besucht, dann linke Teilbaum und anschließend der rechte Teilbaum. Pstrder (Nachrdnung) Durchlauf Zuerst wird der linke Teilbaum besucht, dann der rechte Teilbaum und anschließend der Knten selbst. Levelrder Durchlauf (auch: breadth- first search) Zuerst werden alle Knten auf demselben Niveau besucht, dann wird auf das nächste Niveau gewechselt.

20 Algrithmen zur Traversierung 2/2 21 A B C D E F G Inrder Durchlauf D B E A F C G Prerder Durchlauf A B D E C F G Pstrder Durchlauf D E B F G C A Levelrder Durchlauf A B C D E F G

21 Traversieren vn Bäumen: Inrder Start: wurzel 7 linker Unterbaum (Wurzel 4) linker Unterbaum (Wurzel 1) linker Unterbaum (null) Wurzel 1 rechter Unterbaum (null) Wurzel 4 rechter Unterbaum (Wurzel 6) linker Unterbaum (null) Wurzel 6 rechter Unterbaum (null) Wurzel 7 rechter Unterbaum (Wurzel 9) linker Unterbaum (Wurzel 8) linker Unterbaum (null) Wurzel 8 rechter Unterbaum (null)

22 Traversieren vn Bäumen: Prerder Start: wurzel 7 Wurzel 7 linker Unterbaum (Wurzel 4) Wurzel 4 linker Unterbaum (Wurzel 1) Wurzel 1 linker Unterbaum (null) rechter Unterbaum (null) rechter Unterbaum (Wurzel 6) Wurzel 6 linker Unterbaum (null) rechter Unterbaum (null) rechter Unterbaum (Wurzel 9) Wurzel 9 linker Unterbaum (Wurzel 8) Wurzel 8 linker Unterbaum (null)

23 Algrithmus - Inrder 24 Inrder (k) Eingabe: Knten k eines binären Baums mit Verweis auf linken (k.lec) und rechten (k.right) Teilbaum swie dem Element k.elem. Inrder (k.lec); // besuche den linken Teilbaum Verarbeite k.elem; Inrder (k.right); // besuche den rechten Teilbaum

24 Algrithmus - Prerder 25 Prerder (k) Eingabe: Knten k eines binären Baums mit Verweis auf linken (k.lec) und rechten (k.right) Teilbaum swie dem Element k.elem. Verarbeite k.elem; Prerder (k.lec); // besuche den linken Teilbaum Prerder (k.right); // besuche den rechten Teilbaum

25 Prerder Prgramm 26 private vid printprerder (TreeNde n) { if (n!= null) {// tree nt empty println(n.getelement()); printprerder (n.getleft()); printprerder (n.getright()); } }

26 Algrithmus - Pstrder 27 Pstrder (k) Eingabe: Knten k eines binären Baums mit Verweis auf linken (k.lec) und rechten (k.right) Teilbaum swie dem Element k.elem. Pstrder (k.lec); // besuche den linken Teilbaum Pstrder (k.right); // besuche den rechten Teilbaum Verarbeite k.elem;

27 Algrithmus - Levelrder 28 Levelrder (k) Eingabe: Knten k eines binären Baums mit Verweis auf linken (k.lec) und rechten (k.right) Teilbaum swie dem Element k.elem. queue := leere Warteschlange; // vm Typ Queue enter (k, q); // (aktuelle) Wurzel in queue aufnehmen while nt isempty(q) d Knten n := leave (q); Verarbeite n.elem; enter (n.lec, q); // linken Shn in queue aufnehmen enter (n.right, q); // rechten Shn in queue aufnehmen d

28 Suchbäume 1/2 29 Bäume bisher: hierarchische RepräsentaLn und OrganisaLn vn Daten. WichLgstes Einsatzgebiet vn Bäumen: Unterstützung einer effeklven Suche. Vraussetzung für den Einsatz zum beim Suchen: Schlüsselwerte in den Knten. Dann ist es möglich Suchbäume aufzubauen. Wir werden speziell binäre Suchbäume betrachten.

29 Gerdneter Baum 30 7 x Werte < Werte > 7

30 Suchbäume 2/2 31 EigenschaVen binärer Suchbäume Für jeden inneren Knten k gilt: Der Knten k enthält einen Schlüsselwert k.key. Alle Schlüsselwerte in linken Teilbaum k.lec sind kleiner als k.key. Alle Schlüsselwerte in rechten Teilbaum k.right sind größer als k.key. Die Elemente in einem Suchbaum sind nach ihrem Schlüsselwert angerdnet. Auf den Schlüsseln der Elemente ist eine ttale Ordnung definiert. Es wird eine VergleichsperaLn (cmparet) für die Schlüssel bereit gestellt.

31 Binärbaum - Einfügen 32 insert D F C I A E G J nde D parent Finden der Einfügepsitin: Wenn der Baum leer ist, wird der einzufügende Knten die neue Wurzel. Wenn schn Knten im Baum sind, suchen des Elternkntens des neuen Elements.

32 33 public blean insert (Element i) { TreeNde parent = null; TreeNde child = rt; Binärbaum insert 1/2 Die Klasse Element stellt eine Methde cmparet zur Verfügung. Diese liefert als Ergebnis: 0, wenn beide Elemente gleich sind < 0, wenn das 1. Element < 2. Element ist > 0, wenn das 1. Element > 2. Element ist while (child!= null) { // at least 1 nde in tree } parent = child; if (i.cmparet(child.getelement()) == 0) return false; // element already in tree, i is nt inserted else if (i.cmparet(child.getelement()) < 0) child = child.getleft(); // insert in left tree else child = child.getright(); // insert in left tree

33 Binärbaum insert 2/2 34 // parent nde fund if (parent == null) // empty tree -> insert first nde rt = new TreeNde (i); else if (i.cmparet(parent.getelement()) < 0) parent.setleft(new TreeNde(i)); // insert left frm parent else parent.setright(new TreeNde(i)); // insert left frm parent } } return true; // i successfully inserted

34 Binärbaum Löschen 1/2 35 Löschen des Kntens k Fallunterscheidung Zuerst wird der der Elternknten vn k beslmmt (sfern es ihn gibt). a) Der Knten k ist ein Blak Es muss nur der Elternknten (parent) beslmmt werden und drt die Referenz auf k enwernt werden. b) Der Knten k besitzt nur ein Kind (child) Im Elternknten wird die Referenz auf das Kind ersetzt durch die Referenz auf das Kind vn k. c) Der Knten ist ein innerer Knten, d.h. er hat zwei Kinder. Dann gibt es 2 Möglichkeiten: i. Der Knten k wird ersetzt durch den am weitesten rechts stehenden Knten des linken Teilbaums, denn dieser ist in der SrLerreihenflge der nächste Knten. ii. Der Knten k wird ersetzt durch den am weitesten links stehenden Knten des rechten Teilbaums, denn dieser ist in der SrLerreihenflge der nächste Knten.

35 Binärbaum Löschen 2/2 36 Ersetzen des Kntens: Austausch der Daten der Knten n einfach, aber u.u. viel zu kpieren. Aktualisieren der Referenzen der Knten n Vermeidung aufwändigen Kpierens, das fehlerträchlg sein kann (bei flachen Kpien). n Bei balancierten Bäumen müssen auch immer wieder Referenzen aktualisiert werden. Dazu ist dies eine gute Vrbereitung.

36 Binärbaum Löschalgrithmus 1/2 37 RemveNde (T, x) Eingabe: Baum T, Schlüssel x, des zu löschenden Elements. k := search (T, x); // liefert Knten k mit Schlüssel x im Baum T if k == null then return fi; // x nicht im Baum if k == T.rt // Snderfall: Wurzel sll gelöscht werden if k.lec == null then T.rt := k.right; else if k.right == null then T.rt := k.lec; else child := größtes Element im linken Teilbaum vn k (d.h. vn k.lec); ersetze k durch child; fi

37 38 Binärbaum Löschalgrithmus 2/2 else // Nrmaler Knten sll gelöscht werden if k.lec == null then p := parent(k); // merke den Elternknten if k ist linkes Kind vn p then p.lec := k.right; else p.right := k.right; fi else if k.right == null then if k ist linkes Kind vn p then p.lec := k.lec; else p.right := k.lec; fi else child := größtes Element im linken Teilbaum vn k (d.h. vn k.lec); ersetze k durch child; fi fi

38 Binärbaum Löschen/Fälle 1/2 39 remve F F nde tmp C I A E G J D H child E C I Löschen des Wurzelkntens A D G J H

39 Binärbaum Löschen/Fälle 2/2 40 remve D F parent nde D I A E G J C H tmp F child C I Löschen eines inneren Kntens A E G J H

40 Kmplexität der OperaLnen 1/2 41 Suchen, Einfügen, Löschen Feststellung: es wird jeweils nur ein Pfad vn der Wurzel bis zum entsprechenden Knten bearbeitet. Der Aufwand wird beslmmt durch die Höhe des Baums die maximale Höhe h, die der Baum erreichen kann, beslmmt die Kmplexität der OperaLnen, d.h. ist gleich O(h). Die Einfügereihenflge der Elemente beslmmt das Aussehen des Baums, d.h. dieselbe Menge vn Elementen führt bei unterschiedlicher Eingabereihenflge zu unterschiedlichen Bäumen. Beispiel: A, C, E, F, G, H, I und F, C, H, A, E, G, I

41 Kmplexität der OperaLnen 2/2 42 Welche Höhe kann ein Baum mit n Knten erreichen? Im schlechtesten Fall: Baum entartet zu einer Liste h = n. Im besten Fall: Jeder innere Knten hat immer 2 Nachflger auf Level 0 gibt es einen Knten, auf Level 1 gibt es 2 Knten, auf Level 2 gibt es 4 Knten etc. auf Level k gibt es 2 k Knten. D.h. ein Baum der Höhe k+1 (wenn Level = k) kann k k Knten fassen. Sind n Knten in einem slchen Baum, dann ist die Höhe h = lg 2 n. Suchbäume mit lgarithmischer Höhe nennt man ausgeglichene der balancierte Bäume. Ein Baum heißt ausgeglichen, wenn bei einer gegebenen Zahl n vn Elementen die Höhe möglichst klein ist.