5. bis 10. Klasse. Schnell-Merk-System. Mathematik. Kompaktwissen Testfragen SMS. Mit Lernquiz fürs Handy

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1 5. bis 10. Klasse SMS Schnell-Merk-System Mathematik Kompaktwissen Testfragen Mit Lernquiz fürs Handy

2 2 Zahlen und Rechnen Rechnen mit natürlichen Zahlen Multiplikation ist die mehrfache Addition gleicher Summanden. Die Multiplikation von natürlichen Zah len ist immer ausführbar und eindeutig. Ein Produkt ist 0, wenn (mindestens) ein Faktor 0 ist. Ein Produkt natürlicher Zahlen, in dem kein Faktor 0 ist, ist nie kleiner als ein einzelner Faktor. Faktoren können vertauscht werden (Kommutativgesetz). Faktoren darf man beliebig zusammenfassen (Assoziativgesetz). Eine Summe oder Differenz wird mit einem Faktor multipli ziert, indem man jede Zahl mit diesem Faktor multipli ziert und die entstehenden Produkte addiert oder subtra hiert (Distributivgesetz) = 3 12 = Faktor 4 8 = 32 (4 mal 8 gleich 32) 2. Faktor 4 8 heißt Produkt. a 0 = 0 a = 0 a b = c 1 9 = 9 c a 9 1 c b 9 9 a b = b a 5 7 = = 35 a (b c) = (a b) c 3 (4 2) = 3 8 = 24 (3 4) 2 = 12 2 = 24 a (b ± c)= a b ± a c 5 (8 4) = = = 20 12

3 Die Umkehrung der Multiplikation ist die Division. a q = c ist gleichwertig mit q = c : a (a 0). Im Bereich der natürlichen Zahlen ist die Division nur dann uneingeschränkt ausführ bar, wenn der Dividend ein Vielfaches ( S. 15) des Divisors ist. Die Division durch 0 ist nicht definiert (n. d.). a : 1 = a und a : a = 1, weil a 1 = a Eine Summe oder Differenz kann gliedweise dividiert werden (Distributivgesetz). Dividend 32 :8=4 (32 durch 8 gleich 4) Divisor 32 : 8 heißt Quotient. 55 : 1 = : 55 = 1, weil 55 1 = 55 (a ± b) : c = a : c ± b : c 321 : 3 = ( ) : 3 = 300 : : 3 = = Quadrieren ist die Multipli kation einer Zahl mit sich selbst. a 2 = a a = c Potenzieren ist die n-fache Multiplikation einer Zahl mit sich selbst. a n = a a a a = c = n-mal Faktor a a 0 = 1 a 1 = a Exponent 7 2 = 49 (7 zum Quadrat gleich 49) Quadrat Basis Exponent 4 3 = 64 (4 hoch 3 gleich 64) Potenz Basis 2 5 = = = = = =

4 2 Zahlen und Rechnen Rechenregeln Was in Klammern steht, wird zuerst berechnet. Punktrechnung geht vor Strichrechnung. (8 4) = = = 14 Teilbarkeitsregeln Teiler Regel (n N) Beispiel n Null ist durch jede Zahl n teilbar, aber 0 : 12 = 0 nicht durch sich selbst. 0 : 0 = nicht definiert n Jede Zahl n ist durch sich selbst teilbar. 13 : 13 = 1 1 Jede Zahl n ist durch 1 teilbar. 17 : 1 = 17 2 Eine Zahl n ist durch 2 teilbar, wenn 208 : 2 = 104 die letzte Ziffer 0; 2; 4; 6 oder 8 ist. 35 : 2 = nicht teilbar 3; 9 Eine Zahl n ist durch 3 bzw. 9 teilbar, 96 : 3 = 32 wenn ihre Quersumme (Summe der Quersumme: einzelnen Ziffern) durch 3 bzw = 15 9 teilbar ist. 15 : 3 = 5 4 Eine Zahl n ist durch 4 teilbar, wenn 716 : 4 = 179 die letzten beiden Ziffern eine durch 16 : 4 = 4 4 teilbare Zahl bilden. 5 Eine Zahl n ist durch 5 teilbar, wenn 845 : 5 = 169 die letzte Ziffer 0 oder 5 ist : 5 = Eine Zahl n ist durch 6 teilbar, wenn 558 : 6 = 93 sie sowohl durch 2 als auch durch 558 : 2 = teilbar ist. 558 : 3 = Eine Zahl n ist durch 8 teilbar, wenn 1136 : 8 = 142 die letzten drei Ziffern eine durch 136 : 8 = 17 8 teilbare Zahl bilden. 14

5 Primzahlen sind nur durch 1 und sich selbst teilbar. 1 ist keine Primzahl. Die Zerlegung einer Zahl als Produkt aus Primzahlen heißt Primfaktor - zerlegung. Zahlen, die nur die 1 als gemeinsamen Teiler haben, sind teilerfremd. Teiler und Vielfaches a ist Teiler von b (a b), wenn es ein n (n N*) gibt, sodass a n = b. gt (a, b) ist gemeinsamer Teiler von a und b, wenn gt (a, b) sowohl a als auch b teilt. Zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers, ggt, multipliziert man die höchsten Potenzen aller Primfak toren, die sowohl in der Zerlegung von a als auch von b vor kommen. ggt(28, 42) = 2 7 = 14, da 28 = 2 2 7; 42 = = = = = und 10 sind teilerfremd T 9 = {1; 3; 9} T 10 = {1; 2; 5;10} b heißt Vielfaches von a, wenn a ein Teiler von b ist. gv (a, b) ist gemeinsames Vielfaches von a und b, wenn sowohl a als auch b Teiler von gv (a, b) ist. Zur Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, kgv, multipliziert man die höchs - ten Potenzen aller Primfaktoren beider Zerlegungen. kgv(12, 15) = = 60, da 12 = 2 2 3; 15 =

6 2 Zahlen und Rechnen Bruchzahlen Ein Bruch a b wird durch den Zähler a und den Nenner b gebildet (a, b N; b 0). Brüche mit dem Zähler 1 heißen Stammbrüche ,,, ,,,, Bruchstrich Zähler Nenner Jeder Bruchzahl ist genau ein Punkt auf dem Zahlen strahl zugeordnet. Bei einem echten Bruch ist der Zähler kleiner als der Nenner, bei einem unechten Bruch größer oder gleich echte Brüche:,, unechte Brüche:,, Brüche mit gleichem Nenner heißen gleich - namig, ansonsten ungleichnamig. Echte Brüche geben den Anteil an einem Ganzen an. Der Nenner gibt die Zahl der Teile an, der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile den Wert des Bruchs ausmachen. gleichnamige Brüche: ,, b a ist der Kehrwert (das Reziproke) von a b. a b = 1 b a = =