Einführung in die Differentialrechnung I (MD)

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1 Betrachte den Graphen von f(x) als Profilkurve eines Berges und laufe ihn von "- nach +" ab. An jedem Punkt des Graphen kannst du die Steigung beschreiben und mit dem Anstieg in der Umgebung vergleichen. steigend - positiv; wird größer/kleiner bzw. steiler/flacher; ist an einer Stelle maximal;... fallend - negativ; wird betragsmäßig größer/kleiner bzw. steiler/flacher; ist an einer Stelle maximal;... Steigung ist null an einer Stelle 1) Beschreibe die Steigung der folgenden Graphen. a) b) Einf Diff.odt 1/10

2 2/10 Def.: Unter Steigung des Graphen einer Funktion f(x) versteht man die Steigung der Tangente an den Graphen in diesem Punkt. 2) Bestimme näherungsweise die Steigung an den ausgewählten Punkten: a) x Steigung f'(x) b) x 3 Steigung f'(x) Def.: Ordnet man jedem x-wert die Steigung des Graphen in ( x f(x)) zu, so entsteht eine Funktion, die Ableitungsfunktion von f(x), sie wird mit f'(x) bezeichnet. Mit f'(2)=0 wird die Steigung von f(x) an der Stelle x=2 bezeichnet, dies entspricht der Steigung der Tangenten im Punkt ( 2 f(2) ). 3) Begründe, welche Funktionen die Ableitungsfunktionen zu 1a), b) sind. I II

3 III IV 4) Auf den folgenden Seiten betrachte G1 und G2 zum Graphenpuzzle. Schneide die Graphen der Ableitungsfunktionen f'(x) von G2 aus und ordne sie den zugehörigen Graphen zu f(x) auf G1 zu. 5) Bearbeite im Buch die folgenden Aufgaben: Seite 194, 1); Seite 195, 5) a)-d); Seite 201, 2) und 3) Einf Diff.odt 3/10

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6 6/10 Definition: Rechts- und Linkskurve Neben der Steigung des Graphen kann man noch das Kurvenverhalten des Graphen betrachten, hierzu betrachte den Graphen von oben als Straße und fahre ihn ab wobei du notierst, ob du eine Links- oder Rechtskurve fährst. Die Punkte, wo eine Links- in eine Rechtskurve oder umgekehrt übergeht, nennt man die Wendepunkte des Graphen. In diesen Punkten ist lokal auch die Steigung maximal. 6) Bestimme in 1) a) und b) die Wendepunkte und gebe die Bereiche an, wo man auf einer Links- bzw. Rechtskurve fährt. Ausgezeichnete Punkte und deren Charakterisierung: Schnittpunkte mit der y- Achse: x=0 in f(x) einsetzen; y = f(0). Nullstellen = Schnittpunkte mit der x-achse: f(x)=0 nach x auflösen, falls möglich. Hochpunkte: Steigung null (f'(x)=0) und Rechtskurve. Tiefpunkte: Steigung null (f'(x)=0) und Linkskurve. Wendepunkte: Übergang von R-L oder L-R; Lokales Maximum/ Minimum der Steigung/Ableitung. 7) Zeichne die Graphen von f(x) in TPlot und bestimme die ausgezeichneten Punkte und bestimme jeweils die Steigung/Ableitung = Steigung der Tangenten in diesen Punkten. (Ohne Computer bestimme die Tangentensteigungen näherungsweise mit dem Geodreieck.) Funktionsbeispiele: Zu 1 a) f x =1 /24 x 5 15 x 3 10 x 2 60 x 48 Zu 1 b) f x =1 /20 x 4 x3 12 x2 4 x 16 Zu 3) I: f x = x4 8 x 3 21 x2 184 x 412 /108 Zu 3) II: f x =1 / 20 3 x 4 8 x 3 21 x 2 18 x 8

7 7/10 Definitionen zur Ableitung Ist f(x) eine Funktion, so geht an einer Stelle x die Steigung der Sekanten durch ( x f(x) ) und ( x+h f(x+h) ) für h gegen null über in die Tangentensteigung. Aus Seite 196: Veranschaulichung z. Bsp. in AniGra. ( f x =0,5 x 2 2 und x0 =2 ) Existiert die Ableitung für alle x des Definitionsbereiches, so heißt die Funktion f'(x) die Ableitungsfunktion von f(x). 8) Berechne die Ableitungsfunktion von f x =0,5 x 2 2 : f x h f x 0,5 x2 2 x h h2 2 0,5 x2 2 x h 0,5 h 2 = = =x 0,5 h h h h für h gegen null erhalten wir somit f'(x) = x. Einf Diff.odt

8 9) 8/10 Die Steigung der Tangente von f x =0,5 x 2 2 für x = beträgt jeweils f'(x)=x. Vergleiche mit Tplot (zeichne f(x) und lies die Tangentensteigung für -3, -2,... 3 ab). 10) Bearbeite Aufg. 5 a) - d) von Seite 201, vergl. 8) und Bsp1 von Seite 200. Herleitung der Ableitungsregeln mit CAS-Maxima: Beispiel und Hinweis zur Grenzwertberechnung in Maxima

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10 10/10 Versuche aus den Beispielen Ableitungsregeln zu formulieren. Lösungen: 4) Graphenpuzzle: 1N 2E 3S 4T 5O 6R 5) Bearbeite im Buch die folgenden Aufgaben: Seite 194, 1); Ungefähr: C: f'(0,3)=-1 B: f'(-1)=0 A: f'(-1,75)=0,5 D: f'(1,8) = 2 Seite 195, 5) a)-d); a) f'(0,5)=1 b) f'(0)=-1 c) f'(2)=-0,5 Seite 201, 2) B1 und 3) A3 C4 D2 d) f'(1,5)=2