Dr:Nürnberg FH Mannheim Naturwissenschaftliche Grundlagen Übung Lineare Algebra

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1 Aufgabe : Prüfen Sie folgende Aussagen auf Richtigkeit für die Operation Addiere : a.) Z ist eine abelsche Gruppe b.) N ist keine Gruppe c.) Z ist keine Gruppe d.) Z \ {0} ist eine abelsche Gruppe Prüfen Sie folgende Aussagen auf Richtigkeit für die Operation Multipliziere und Addiere : e.) R ist ein Körper f.) C ist ein Körper g.) Q ist ein Körper h.) Z ist kein Körper LAL_S00 Loesung :4

2 Aufgabe : Skizzieren Sie in einem Koordinatensstem die jeweiligen Elemente der folgenden Mengen: a.) M = {, x < x + < 8 x, Z} b.) M = {, x x + = x, Z} LAL_S00 Loesung :4

3 Aufgabe 3: Bestimmen Sie alle Teilmengen der Menge {,,a,b} LAL_S00 Loesung :4 3

4 Aufgabe 4: Gegeben sind die Mengen A und B. Bestimmen Sie die jeweiligen Ergebnismengen für folgende Relationen: A B, A B, A\ B, B\ A a.) A = N, B = {x x N} b.) A = Z, B = N c.) A = Q, B = R Aufgabe 5: 6 Gegeben sind die Vektoren: a = 4,b = 3,c = 0 Berechnen Sie folgende Größen: 0 4 a.) a,b, c b.) a b c.) a b d.) b a a b c a ( ) e.) ( ) LAL_S00 Loesung :4 4

5 Aufgabe 6: Man bestimme die Winkel a.) zwischen der Flächen-Diagonalen und der Kante eines Würfels. b.) zwischen der Raum-Diagonalen und der Kante eines Würfels. Aufgabe 7: Welche der folgenden Terme sind sinnvoll? a.) ( a b ) 4 b.) b a d.) a b a c.) a ( b 4 a ) a b a b f.) 3bc e.) ( + c ) LAL_S00 Loesung :4 5

6 LAL_S00 Loesung :4 6 Aufgabe 8: Berechnen Sie den Vektor x a.) b.) x a x b x b x + = + + ( ) ( ) x x x + + = + Aufgabe 9: Wie lauten die Richtungscosinusse des Vektors? a = (,,) Aufgabe 0: Welche Vektorpaare bestehen aus zueinander senkrechten Vektoren? a.).).) 3, b, c x x x 3 4 cos cos sin sin sin, cos sin sin cos cos x x x x ;, x R

7 n (für n-dimensionale Vektoren gilt: a b = ab = ab δ ) i= i i i j ij Aufgabe : Wie groß ist der Flächeninhalt eines Dreiecks ABC mit den Punkten A=(,,3), B=(-,0,4) und C=(-,-,)? LAL_S00 Loesung :4 7

8 Aufgabe : S nd folgende Terme sinnvoll? a.) ( i a b) ( c d) b.) ( a b) ( c d ) c.) a ( b c ) d d.) a b c c d a e.) a b c a b c a ( ( )) (( ) ) ( ) ( ) Aufgabe 3: Wie groß ist das von den drei Vektoren: a =,b = 0,c = aufgespannte 3 Parallelepiped? LAL_S00 Loesung :4 8

9 Aufgabe 4: Liegen die Punkte P (,-,) ; P (,,) ; P 3 (,,4) und P 4 (4,4,) in einer Ebene? LAL_S00 Loesung :4 9

10 Aufgabe 5: Bei der Berechnung des Drehimpulses taucht in der Phsik die sog. BAC-CAB - Formel auf. Beweisen Sie die folgende Identität für eine Vektorkomponente: a ( b c) = b( a c) c( a b) Aufgabe 6: Beweisen Sie die folgende Identität durch Ausnutzung der geometrischen Bedeutung von Vektor- und skalarprodukt. a b = a b (a b) (Lagrange ) LAL_S00 Loesung :4 0

11 Aufgabe 7: Beweisen Sie die folgende Identität: a b c d = (a c)(b d) (b c)(a d ( ) ( ) ) Augbabe 8: Prüfen Sie folgende Aussage nach: Liegen die Vektoren in derselben Ebene, so ist ( a b) ( c d) = 0 a,b,c und d LAL_S00 Loesung :4

12 Aufgabe 9: Beweisen Sie, daß der Vektor a senkrecht auf c = b ( b ea) ea steht. Aufgabe 0: Zeigen Sie, daß für beliebige Vektoren abcdie Vektoren ( a b ), ( b c ) und c a linear abhängig (komplanar) sind.,, ( ) LAL_S00 Loesung :4

13 Aufgabe : Beweisen Sie folgende Sätze mit Hilfe des Skalarproduktes: a.) Lehrsatz des Pthagoras c =a +b b.) Kathetensatz des Euklid a =cp, b =cq c.) Der Umfangwinkel im Halbkreis beträgt 90 0 (Satz des Thales) LAL_S00 Loesung :4 3

14 LAL_S00 Loesung :4 4