Umfangsgleiche und inhaltsgleiche Rechtecke
|
|
- Tobias Andreas Hochberg
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Umfangsgleiche und inhaltsgleiche Rechtecke Geometrieunterricht an Realschulen Allgemein: Durch den Geometrieunterricht sollen die Schüler dazu befähigt werden Lagebeziehungen, Größenverhältnisse und figürliche Anordnungen in der Ebene und im Raum zu begreifen, bestimmte Figuren in komplexen Zusammenhängen wieder zu erkennen und entsprechende Untersuchungen durchzuführen. Dabei soll auch das ästhetische Empfinden der Schüler weiterentwickelt werden. Aufbau und Betrachtungsweise der ebenen Geometrie orientieren sich vorwiegend an abbildungsgeometrischen Grundsätzen und Vorgehensweisen. Algebraische Probleme lassen sich häufig geometrisch veranschaulichen, interpretieren und damit leichter lösen. Umgekehrt können viele geometrische Zusammenhänge mit den aus der Algebra bekannten Methoden untersucht werden, was eine vielschichtige und vertiefende Betrachtung im Sinne eines vernetzten und kumulativen Lernens ermöglicht. Die für den Mathematikunterricht an der Realschule charakteristische Verflechtung von Algebra und Geometrie erfährt je nach Wahlpflichtfächergruppe in den verschiednen Themenbereichen ihre besondere Ausprägung. 5. Klasse: Geometrische Grundformen und geometrische Grundbegriffe Die Schüler wiederholen, erweitern und vertiefen die in der Grundschule erworbenen Kenntnisse und Fähigkeiten aus dem Bereich der ebenen und räumlichen Figuren. Bei der zeichnerischen Darstellung geometrischer Grundfiguren und beim Entwerfen von Mustern üben sie die Zeichengerät sicher und sorgfältig zu handhaben. Die Schüler bauen und zeichnen einfache räumliche Modelle und entwickeln dabei ihr räumliches Vorstellungsvermögen weiter. Hier bietet sich auch der Computereinsatz an. - Strecke, Halbgerade, Gerade, Kreislinie, Punkt - Quadrat, Rechteck, Dreieck, Vieleck, Kreisfläche - Würfel, Quader, Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel, Kugel - Netze von Würfeln und Quadern - Länge einer Strecke; Umfang von Rechteck und Quadrat - Symmetrische Figuren - Senkrechte und parallele Geraden - Figuren im Gitternetz zeichnen Flächenmessung: Die Schüler vergleichen, schätzen und messen Flächen mithilfe konkret-anschaulicher Verfahren. Die gewonnenen Erkenntnisse wenden sie bei der Lösung von Sachproblemen an. - Vergleich von Flächen mit ungenormten und genormten Einheiten - Messen von Flächen; Umrechnen von Flächeneinheiten - Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat - Oberfläche von Quader und Würfel - Sachaufgaben
2 Raummessung: Aufbauend auf den Überlegungen zur Flächenmessung befassen sich die Schüler mit Fragen der Raummessung und bestimmen die Rauminhalte einfacher geometrischer Körper. - Vergleich von Rauminhalten mit ungenormten und genormten Einheiten. - Messen von Rauminhalten; Umrechnung von Raumeinheiten (mm 3 bis m 3, ml, cl, l, hl) - Volumen von Würfel und Quader - Sachaufgaben 6. Klasse Grundbegriffe der ebenen Geometrie Durch die Bildung der Schnittmenge bzw. der Vereinigungsmenge von Ebenen, Halbebenen, Geraden und Kreisen erzeugen die Schüler neue geometrische Punktmengen. Die kreative Arbeit mit dem Computer bietet hier breite Variationsmöglichkeiten. - Lagebeziehungen zwischen Punkt und Gerade, zwischen Geraden sowie zwischen Kreis und Geraden; Abstand - Halbebene; Schnittmengen und Vereinigungsmengen zweier Halbebenen - Winkel und Winkelmessung; Nebenwinkel und Scheitelwinkel - Punktmengen am Kreis; Sehne, Bogen, Sektor, Segment Achsenspiegelung: Die Schüler untersuchen die Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren aus de Umwelt und gelangen über eigene Übung zu grundlegenden Einsichten in die Gesetze der Achsenspiegelung. Sie erschließen die Abbildungsvorschrift, Eigenschaften und Anwendungsmöglichkeiten einer geometrischen Abbildung. - Fundamentalsätze (umkehrbar eindeutige Zuordnung, Geradentreue, Längentreue, Winkeltreue, Kreistreue). Abbildungsvorschrift - Eigenschaften von Ur- und Bildfigur (Kongruenz, Umlaufsinn, Lage von Ur- und Bildgeraden, Fixelemente, Entfernungsgleichheit jedes Achsenpunktes von einem Urpunkt und dessen Bildpunkt) - Fundamentalkonstruktionen (Halbieren einer Strecke, Mittelsenkrechte; Halbieren eines Winkels, Winkelhalbierende) - Achsensymmetrische Figuren; Eigenschaften von achsensymmetrischen Dreiecken und Vierecken - Einfache geometrische Figuren zeichnen 7.Klasse Parallelverschiebung Die Schüler entdecken die Parallelverschiebung als neue Kongruenzabbildung und ermitteln und begründen jeweils die Abbildungsvorschrift und die Eigenschaften mithilfe ihrer Kenntnisse über die Achsenspiegelung. Bei der rechnerischen Behandlung der
3 Parallelverschiebung finden die Schüler einen Zugang zu einer algebraischen Sichweise geometrischer Probleme und damit zu einer engen Verflechtung von Algebra und Geometrie. Die Schüler begründen die Innenwinkelsumme im Dreieck und darauf aufbauend die Winkelsumme in Vielecken. Bei allen Betrachtungen empfiehlt sich der Einsatz eines dynamischen Geometrieprogramms. - Parallelverschiebung als Doppelachsenspiegelung - Parallelverschiebung (Abbildungsvorschrift, Abbildungseigenschaften) und Vektor (Pfeil- und Koordinatendarstellung, Spaltenmatrix), Gegenvektor und Umkehrabbildung - Verknüpfen von Parallelverschiebungen; Vektoraddition - Zeichnerisches Durchführen von Parallelverschiebungen und Berechnen von Punktund Vektorkoordinaten (u.a. Koordinaten des Mittelpunktes einer Strecke) - Parallelaxiom und Eigenschaften paralleler Geraden; Beziehungen zwischen den Maßen von Stufen- und Wechselwinkeln - Summe der Innenwinkel im Dreieck, Viereck und Vieleck - Außenwinkelsatz beim Dreieck Drehung Die Schüler entdecken die Drehung als neu Kongruenzabbildung. Sie ermitteln und begründen die Abbildungsvorschrift und die Eigenschaften mithilfe ihrer Kentnisse über die Achsenspiegelung. Den Schülern wird bewusst, dass mit der Drehung geometrische Eigenschaften begründet und Figuren geordnet werden können. Der Einsatz eines geeigneten Geometrieprogramms ermöglicht ein tiefes Durchdringen von Zusammenhängen. - Drehung als Doppelachsenspiegelung - Drehung(Abbildungsvorschrift, Abbildungseigenschaften) - Sonderfälle der Drehung: γ = +/- 90 und γ = +/ Drehung von Vektoren um γ = +/- 90 und γ = +/- 180 ; Berechnen von Punktkoordinaten mithilfe von Vektoren - Dreh- und punktsymmetrische Figuren, insbesondere punktsymmetrische Vierecke Lösung geometrischer Probleme mithilfe von Abbildungen: Aufgaben mit speziellen geometrischen Problemen regen die Schüler in besonderem Maß zu kreativer Eigentätigkeit an. Über Probierkonstruktionen, auch unter Verwendung eines Geometrieprogramms, entwickeln sei eine Lösungsstrategie, die sie dann mit ihrem Wissen über Abbildungen begründen. Solche geometrischen Probleme werden in den folgenden Jahrgangsstufen wieder aufgegriffen und zunehmend auch algebraisch gelöst. - spezielle geometrische Probleme mithilfe von Abbildungen lösen (z.b. Einschreibungsaufgaben und Extremwertaufgaben) Geometrische Ortslinien und Ortsbereiche: Ausgehend von den Kenntnissen über Kreis, Mittelsenkrechte und Wikelhalbierende entdecken die Schüler, auch mithilfe eines Geometrieprogramms, neue geometrische Ortslinien und Ortsbereiche. Dabei verbalisieren sie auch deren kennzeichnende geometrische Eigenschaften. Die Schüler erweitern ihr Wissen über die Beziehung zwischen Kreis und Gerade und finden die Zusammenhänge bei Winkeln am Kreis. Bei der Verknüpfung geometrischer Orstlinien
4 und Ortsbereiche vertiefen sie ihre Kenntnisse und wenden sie in praxisorientierten Aufgaben an. - Kreislinie; Kreisinneres, Kreisäußeres; Mengenschreibweise - Mittelsenkrechte, Halbebene; Mengenschreibweise - Winkelhalbierende, Mittelparallele - Parallelenpaar, zugehörige Ortsbereiche - Umkreis und Inkreis beim Dreieck - Winkel am Kreis: Rankwinkel, Mittelpunktswinkel, Zusammenhänge; Thaleskreis als Spezialfall - Lösung praxisorientierter Aufgaben - Kreis und Gerade: Orthogonalität von Tangente und Zentrale durch den Berührpunkt; Tangentenkonstruktion und Tangentenabschnitte - Berechnen von Punktkoordinaten mit Hilfe von Vektoren en geeigneten Beispielen 8.Klasse Dreiecke und Vierecke Durch di eingehende Beschäftigung mit Dreiecken und Vierecken, vor allem in Konstruktionsaufgaben, erwerben die Schüler grundlegende Kenntnisse und Fähigkeiten für den gesamten weiteren Unterricht. Sie lernen den Aufbau geometrischer Beweise kennen. Anhand exemplarischer, anschaulicher geometrischer Sachverhalte lernen sie kongruenz- und abbildungsgeometrisch folgerichtig zu begründen. Die Schüler spüren Figureneigenschaften auf und erarbeiten grundlegende geometrische Sätze. Mithilfe der Symmetrieeigenschaften nehmen die Schüler in einem gut überschaubaren Teilgebiet der Geometrie einen systematische Einteilung der Vierecke vor. - Beziehungen zwischen den Seitenlängen sowie zwischen Seitenlängen und Winkelmaßen im Dreieck - Konstruierbarkeit von Dreiecken; Kongruenzsätze - Aufbau von kongruenz- und abbildungsgeometrischen Beweisen - Symmetrische und nicht symmetrische Vierecke; Eigenschaften achsensymmetrischer (diagonal- und lotsymmetrischer) und punktsymmetrischer Vierecke - Umkreis und Inkreis bei Vierecken - Begründung mithilfe von Kongruenzsätzen, Abbildungen und Vektoren Grundlagen der Raumgeometrie Mithilfe von Modellen und geeigneten Computerprogrammen erkennen die Schüler wesentliche Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen und besondere Winkel im Raum und schulen dabei ihr räumliches Vorstellungsvermögen. Sie begreifen, dass Schrägbilder ein erprobtes Mittel sind, um anschauliche Bilder von Körpern in der Zeichenebene zu erhalten und stellen dabei fest, dass die Maßtreue um Allgemeinen verloren geht. Sie lernen die wahre Größe von Strecken und Winkeln an Köropern zu bestimmen. - Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen im Raum; Winkel zwischen Ebene und Gerade; Winkel zwischen zwei Ebenen - Exemplarisches Darstellen von Körpern im Schrägbild (Verzerrungswinkel und Verzerrungsfaktor)
5 - Konstruktives Ermitteln von Strecken und Winkeln in wahrer Größe bei Prismen und Pyramiden; Netze 9.Klasse Flächeninhalt ebener Vielecke Die Schüler vergleichen die Flächeninhalte von Figuren durch Zerlegung in paarweise kongruente Teilfiguren und entdecken, dass zerlegungsgleiche Figuren flächengleich sin. Sie erarbeiten grundlegende Flächeninhaltsformeln, mit denen sie die Flächeninhalte beliebiger Vielecke bestimmen. Sie lernen, die Flächeninhalte von Prallelogrammen und Dreiecken in der Koordinatenebene zu berechnen. Sie erweitern damit ihre Fähigkeit, geometrische Probleme algebraisch zu bearbeiten und funktionale Abhängigkeiten zu untersuchen. - Zerlegungsgleichheit von Figuren; Höhe im Dreieck, im Parallelogramm und im Trapez - Formeln für den Flächeninhalt von Parallelogramm, Trapez, Dreieck und Drachenviereck - Flächeninhalte ebener Figuren auch mithilfe zweireihiger Determinanten berechnen; Aufgaben unter Berücksichtigung funktionaler Abhängigkeiten lösen unt Extremwerte berechnen Abbildung durch zentrische Streckung Die Schüler führen maßstäbliche Vergrößerungen bzw. Verkleinerungen von Figuren durch und gelangen so zur Abbildung durch zentrische Streckung, die sie sowohl geometrischkonstruktiv wie auch algebraisch mithilfe von Vektoren erfassen und in vielfältigen Übungsaufgaben anwenden. - Abbildungen durch zentrische Streckung: Abbildungsvorschrift, Abbildungseigenschaften - Zeichnerische Ermittlung von Bildpunkten, Urpunkten und Streckungszentrum; Einschreibungsaufgaben - Vierstreckensatz; Ermitteln von Strecken bzw. Streckenlängen; Schwerpunkt des Dreiecks - Zentrische Streckung mithilfe von Vektoren; Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl; Darstellung der Abbildungsvorschrift mithilfe von Vektoren - Berechnungen: Koordinaten von Bildpunkten, Urpunkten und Zentrum; Streckungsfaktor; Gleichungen von Bildgeraden und Bildparabeln (Parameterverfahren); Koordinaten des Schwerpunktes eines Dreiecks - Ähnliche Figuren; Ähnlichkeitssätze für Dreiecke (Herleitung eines Satzes); Nachweis der Ähnlichkeit von Dreiecken - Praxisorientierte Aufgaben Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck Die Schüler finden und begründen Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck und erschließen damit die Möglichkeit, Streckenlängen in ebenen Figuren, in Körpern um im Koordinatensystem zu berechnen. Auch hier entwickeln die Schüler ihre Fertigkeit weiter, geometrische Probleme algebraisch zu bearbeiten und funktionale Abhängigkeiten zu untersuchen.
6 - Flächensätze am rechwinkligen Dreieck - Berechnen von Streckenlängen (auch im Koordinatensystem und in Körpern): u.a. Länge der Diagonalen des Rechtecks und des Quadrats, Höhe des gleichseitigen Dreiecks, Betrag des Vektors Berechnungen am Kreis Die Schüler begründen den bereits bekannten proportionalen Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Kreisdurchmesser bzw. zwischen dem Inhalt der Kreisfläche und dem Quadrat des Kreisradius, und zwar mithilfe anschaulichdurchgeführter Grenzwertüberlegungen. Eine näherungsweise Bestimmung der Kreiszahl führen die Schüler mithilfe des Taschenrechners oder der Computers durch. - Kreiszahl π und ihre näherungsweise Bestimmung; Umfang und Flächeninhalt des Kreises - Kreisbogen und Kreissektor - Berechnungen am Kreis und bei Kreisteilen Raumgeometrie Die Schüler verwenden den Satz über die Zerlegungsgleichheit von Körpern, um aus dem bereits bekannten Volumen des Quaders das Volumen eines geraden Prismas herzuleiten. Sie lernen das Prinzip des Cavalieri kennen und erfahren, wie man mit ihm das Volumen weiterer Körper ermitteln kann. Sie erarbeiten Volumenformeln mithilfe von Grenzwertüberlegungen und setzen dabei den Computer ein. Mithilfe geeigneter Modelle erzeugen die Schüler Rotationskörper und gewinnen Formeln zur Berechnung des Volumens bzw. der Oberfläche dieser Körper. - Prisma und Pyramide: Netz, Mantel- und Oberfläche; Prinzip des Cavalieri; Volumen von Prisma und Pyramide - Gerader Kreiszylinder und gerader Kreiskegel als Rotationskörper: Axialschnitt, Mantellinie; Abwicklung, Mantelfläche, Oberfläche und Volumen - Kugel: Oberfläche und Volumen - Anwendungsaufgaben unter besonderer Berücksichtigung funktionaler Abhängigkeiten und auch unter Einbeziehung zusammengesetzter Körper
7 Einführung des Themas von umfangs- und inhaltsgleichen Rechtecken Im Allgemeinen wird das Thema umfangsgleiche und inhaltsgleiche Rechecke, laut Lehrplan, in den einzelnen Klassenstufen nicht explizit behandelt. Es ist aber generell möglich den Stoff so aufzubereiten, dass er in jeder Stufe unterrichtet werden kann, nachdem man den Inhalt des Gebietes auf das entsprechende Niveau angepasst hat. Klassenstufe 5 Durch den Einsatz eines Geometrieprogramms, also durch interaktive Arbeitsblätter, versucht man neben der Unterrichtung der Geometrie außerdem den Umgang mit dem Computer zu schulen. Die Schüler der 5. Jahrgangsstufe versucht man anfangs spielerisch an das Thema heranzuführen. Ein, vom Lehrer vorbereitetes, interaktives Arbeitsblatt dient der ersten Berührung mit dem Thema. Die Schüler sollen durch einfache Aufgaben, wie hier das Verschieben der Punkte A und B, zuallererst die Distanz zum Medium Computer verlieren. Man kann durch weitere leichte Aufgaben das Interesse des Schülers wecken und den Schülern durch diese spielerische Art nebenbei die wichtigsten Hauptaspekte des Themas umfangs- und inhaltsgleiche Rechtecke lehren. Mögliche Arbeitsaufträge: Stelle durch verschieben der Punkte A und B zwei Rechtecke her, mit: a) verschiednem Umfang und verschiedenem Inhalt, b) gleichem Umfang und verschiedenem Inhalt, c) verschiedenem Umfang und gleichem Inhalt. d) Kannst du auch zwei verschiednen Rechecke gleichen Umfangs und gleichen Inhalts herstellen? Zeichne deine Rechtecke auch auf kariertes Papier! In einem zweiten interaktiven Arbeitsblatt stellt der Lehrer den Schülern ein präpariertes Rechteck vor. Bei diesem Arbeitsblatt kann, wie beim vorhergehenden auch, eine Seite des Rechtecks bewegt werden, mit der Ausnahme, dass das Rechteck hier keinen variablen Umfang besitzt. Mögliche Arbeitsaufträge (umfangsgleiche Rechecke): Verändere die Form des Rechtecks durch Verziehen von Z. Beobachte dabei den Umfang und seinen Inhalt! Was fällt auf? Zeichne die Rechtecke auch in dein Heft! Dieses interaktive Arbeitsblatt dient dazu die Erkenntnis zu erlangen, dass das quadratische Recheck größten Flächeninhalt besitzt, im Vergleich zu umfangsgleichen nicht quadratischen Rechtecken. Mögliche Arbeitsaufträge(flächengleiche Rechecke): Setze aus den 16 Zentimeterquadraten Rechecke zusammen, die jeweils den Inhalt 16cm 2 besitzen. Wie groß ist der Umfang solcher Rechecke. Zeichen deine Rechecke in dein Heft!
8 Diese Aufgabe dient der Erkenntnisfindung, dass sich die Einheitsquadrate zu flächengleichen Rechecken verschiedener Form zusammensetzen lassen, die verschieden großen Umfang besitzen. Klassenstufe 6 In der sechsten Klasse kann prinzipiell der gleiche Stoff behandelt werden. Zusätzlich können hier einfache Dezimalzahlen als Maßzahlen verwendet werden. Außerdem ist es möglich auch etwas abstraktere Arbeitsaufträge zu verteilen. Mögliche Arbeitsaufträge: Gegeben ist eine Strecke mit der Länge 16,00 cm. Falte diese Strecke (Umfang) zu einem Recheck auf (Verziehe dazu A,B, C). Verändere die Form des Rechtecks ABCD durch Verziehen von D und beobachte dabei den Flächeninhalt des Rechecks.
9 Klassenstufe 7/8 Während in den Klassen 5 und 6 im wesentlichen nur die experimentelle Erkenntnisfindung im Vordergrund steht, könnte man in den Klassenstufen 7 und 8 mit den zur Verfügung stehenden schulalgebraischen Werkzeugen arbeiten. Dabei geht man von konkreten Größen zu Variablen für Größen über. Außerdem treten Methoden für die systematische Konstruktion umfangs- bzw. flächengleicher Rechtecke hinzu. Im Allgemeinen werden nun in dieser Klassenstufe folgende Fragen behandelt: 1. Wie gewinnt man aus einem gegebenen Rechteck ein umfangsgleiches, das einen größeren bzw. kleineren Inhalt hat, und wie lässt sich diese Verwandlung mit einer geometrischen Konstruktion bewerkstelligen? 2. Wie gewinnt man aus einem Recheck ein flächengleiches Recheck mit unterschiedlichem Umfang? Zu 1. In der 7. bzw. 8. Klasse bietet es sich an von der bildhaften Darstellung zur formalsprachlichen Beschreibung überzugehen. Als Aufgabe würde sich nun anbieten, die neu erlangte Fläche, den maximalen Flächengewinn, und die neu erlangte Fläche in Abhängigkeit der bereits bekannten Größen a (Rechtecklänge) und b (Rechteckbreite) berechnen zu lassen. Aufgabe: Seien a, die Rechtecklänge, und b, die Rechteckbreit, eines Rechtecks gegeben. Zusätzlich ist vorgegeben, dass der Umfang des Rechtecks konstant ist. Nun wird die Rechtecklänge a um die Länge c verkürzt. Berechne allgemein, um wie viel die Rechteckbreite b zunehmen muss, damit der Umfang konstant bleibt! Berechne allgemein die Fläche F`, die sich aus den neuen Größen a` und b` ergibt! Sei nun a = 10cm, b = 3 cm und c = 2cm. Berechne nun mit den angegebenen Größen die reellen Werte für den Umfang, die ursprüngliche Fläche F und die neue Fläche F`! Vergleiche F und F`! Was fällt dir auf? Berechen den Flächengewinn zuerst allgemein und dann für die angegebenen Werte! Wie muss c gewählt werden, dass der Flächengewinn maximal wird? Berechnung von b`: U = 2 (a + b) U = 2 (a c + b`) Somit gilt: b`= b + c Berechnung von F`: a`= a-c F = ab F`= a`b` F`= (a - c) * (b + c) F`= ab + ac bc c 2 F = ab
10 Berechnung des Flächengewinns: F = F`- F = ab + ac bc c 2 ab = ac bc c 2 = (a b) c c 2 (Berechnung für welches c der Flächengewinn maximal wird: Quadratische Ergänzung : F = (a b) c c 2 = - [c 2 2c (a b)/2 + ((a b)/2) 2 ] + ((a b)/2) 2 = - (c ((a b)/2)) 2 + ((a b)/2) 2 c = (a b) / 2 ) Zusammenfassung: Bei der umfangsgleichen und flächenvergrößernden Rechtecksverwandlung muss ein Ausgleich der Seitenlängen stattfinden, damit der Umfang konstant bleibt. Das variierbare, umfangsgleiche Rechteck hat maximalen Flächeninhalt, wenn es zu einem Quadrat wird! Zu 2. Ein Rechteck, in flächengleiches Rechteck mit unterschiedlichen Umfang umzuwandeln stellt im Großen und Ganzen keine Schwierigkeit dar. Die Umwandlung erfolgt mittels ergänzungsgleicher Rechtecke und ist mit einer Lineal Zirkel Konstruktion leicht zu bewerkstelligen. Das variierbare, inhaltsgleiche Rechteck hat minimalen Umfang, wenn es zu einem Quadrat wird! Aufgabe: Seien a, die Rechtecklänge, und b, die Rechteckbreite, eines Rechtecks gegeben. Zusätzlich ist vorgegeben, dass der Flächeninhalt des Rechtecks konstant ist. Außerdem sei bekannt, dass a > b ist, und dass das neue Rechteck durch a`= a c 1 und b`= b + c 2 aufgespannt wird. Berechne, unter der Voraussetzung, dass c 1 bekannt ist, die Länge c 2 allgemein, um die man b vergrößern muss, um wieder ein flächengleiches Rechteck zu erhalten! Berechne den Umfang U` allgemein, der sich für das neue Rechteck ergibt! Berechne nun allgemein, um wie viel der Umfang kleiner wird! Sei nun a = 10cm, b = 3 cm und c 1 = 2cm. Berechne nun alle Werte genau, die du zuvor allgemein bestimmt hast. Berechnung von c 2 : Es gilt: ab = a`b` ab = (a c 1 ) (b + c 2 ) c 2 = c 1 b / (a c 1 ) Berechnung von U`: U`= 2 (a`+ b`) = 2 [(a c 1 ) + (b + c 2 )] = 2 (a c 1 + b + c 1 b / (a c 1 )) = 2a 2c 1 + 2ab/ (a - c 1 )
11 Berechnung des Umfangsverlustes: U = U`- U = 2a 2c 1 + 2ab/(a c 1 ) 2a 2b = = c 1 2 c 1 (a b) / (a c 1 ) Zusammenfassung: Bei der flächengleichen inhaltsverkleinernden Rechteckverwandlung muss ein Ausgleich der Flächegröße stattfinden, damit der Inhalt invariant bleibt. Man kann außerdem in der Klassenstufe 7/8, da die benötigte Algebra bereits bekannt ist, dass Thema auch funktional betrachten. Man untersucht die funktionale Abhängigkeit der Seitenlängen voneinander bei umfangsgleichen bzw. inhaltsgleichen Rechtecken. Umfangsgleiche Rechtecke: Der Lehrer gibt den Schülern ein interaktives Arbeitsblatt vor, indem ein umfangsgleiches Rechteck abgebildet ist. Die freie Ecke des Rechtecks erzeugt eine Spur mit der Funktionsgleichung b = (U/2)- a (Gerade). Inhaltsgleiche Rechtecke: In einem interaktiven Arbeitsblatt ist ein inhaltsgleiches Rechteck abgebildet. Durch Verschieben des Gleiters erzeugt die freie Ecke eine Spur. Diese Spur zeichnet den Ast einer rechtwinkligen Hyperbel im ersten Quadranten mit der Funktionsgleichung b = F/a.
12 Klassenstufe 9/10 In der 9. Klasse wird die, bereits in der 8. Klasse begonnene funktionale Betrachtungsweise, fortgesetzt. Auch in diesen Klassenstufen wird wieder die funktionale Abhängigkeit des Inhalts bzw. des Umfangs von den Seitenlängen umfangsgleicher bzw. inhaltsgleicher Rechtecke untersucht. Umfangsgleiche Rechtecke: Wir betrachten den Flächeninhalt umfangsgleicher Rechtecke in Abhängigkeit von ihrer Rechtecklänge. Wie lautet der Funktionsterm? U = 2 (a + b) Somit: F = a [(U/2)-a] Für welche Seitenlänge des umfangsgleichen Rechtecks erhält man den größt möglichen Flächeninhalt? Extremwertbestimmung mittels quadratischer Ergänzung: F = a [(U/2)-a] = - (a 2 2 a U/4 + (U/4) 2 ) + (U/4) 2 = = - (a U/4) 2 + (U/4) 2 Maximaler Flächeninhalt für : a = U/4 Somit ergibt sich für b = U/4. Welche Figur ergibt sich? Quadrat Inhaltsgleiche Rechtecke: Entsprechend ergibt sich bei flächengleichen Rechtecken für den Umfang eine Funktionsgleichung in Abhängigkeit von der Seitenlänge. Wie lautet die Funktionsgleichung? F = ab Somit: U = 2 (a + F/a) Für welche Seitenlänge ergibt sich der minimale Umfang bei einem inhaltsgleichen Rechteck? Extremwertbestimmung mittels quadratischer Ergänzung: U/2 = a + 2 (F) 1/2 +1 F/a - 2 (F) 1/2 = [(a) 1/2 + (F/a) 1/2 ] 2-2 (F) 1/2 U wird minimal für (a) 1/2 + (F/a) 1/2 = 0. Es ergibt sich a = (F) 1/2, für a > 0, und für den minimalen Umfang U min = a (F) 1/2. Somit ergibt sich für eine Seitenlänge des umfangsgleichen Rechtecks a = (F) 1/2. Welche Figur ergibt sich? Quadrat Specials: - Konstruktion eines flächengleichen Rechteckes mit Hilfe des 2. Strahlensatzes! - Konstruktion eines flächengleichen Rechteckes mit Hilfe des Höhensatzes!
7 Mathematik I (4-stündig)
(4-stündig) In der Wahlpflichtfächergruppe I mit Schwerpunkt im mathematisch-naturwissenschaftlich-technischen Bereich wird das Fach Mathematik vertieft unterrichtet. Die Schüler lernen in der Jahrgangsstufe,
Mehr7 Mathematik I (4-stündig)
Mathematik I (4-stündig) In der Wahlpflichtfächergruppe I mit Schwerpunkt im mathematisch-naturwissenschaftlich-technischen Bereich wird das Fach Mathematik vertieft unterrichtet. Die Schüler lernen in
MehrFlächenberechnung im Trapez
Flächenberechnung im Trapez Das Trapez im Lehrplan Jahrgangsstufe 6 M 6.8 Achsenspiegelung (ca. 15 Std) Fundamentalsätze (umkehrbar eindeutige Zuordnungen, Geradentreue, Winkeltreue, Kreistreue), Abbildungsvorschrift
MehrMathematik. Allgemeine Hinweise. Grundwissen und Kernkompetenzen. 9.1 Terme (ca. 24 Std.)
Mathematik Mathematik Vorbereitungsklasse 1 Allgemeine Hinweise Die Beziehungen zwischen Geometrie und Algebra werden in der Jahrgangsstufe 9 weiter ausgebaut. Die Schüler erweitern ihre Fähigkeiten, geometrische
Mehr8 Mathematik I (4-stündig)
(4-stündig) Die Schüler verfügen bereits über viele mathematische Grundkenntnisse, die auch in der Jahrgangsstufe weiter gesichert, vertieft und ausgebaut werden. Sie sind in der Lage, einfache Gleichungen
MehrGeometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1
Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere
Mehr9 Mathematik I (5-stündig)
Mathematik I (5-stündig) Die Abfolge der Themenbereiche trägt dem immer enger werdenden Beziehungsgefüge von Geometrie und Algebra Rechnung. Grafische bzw. geometrische Darstellungsformen gewinnen zunehmend
Mehr10 Mathematik I (5-stündig)
10 Mathematik I (5-stündig) Das mathematische Wissen wird zu einem tragfähigen Fundament für den weiteren schulischen oder beruflichen Weg der Realschulabsolventen ausgebaut. Die Verflechtung von Geometrie
Mehr8 Mathematik I (4-stündig)
Mathematik I (4-stündig) Die Schüler verfügen bereits über viele mathematische Grundkenntnisse, die auch in der Jahrgangsstufe weiter gesichert, vertieft und ausgebaut werden. Sie sind in der Lage, einfache
MehrGeometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1
Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere
MehrGeometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1
Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere
MehrSchulinterne Lehrpläne der Städtischen Realschule Waltrop. im Fach: MATHEMATIK Klasse 6
1 Teilbarkeit und Brüche Verbalisieren mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regeln und Verfahren mit eigenen Worten und geeigneten Fachbegriffen erläutern Kommunizieren über eigene und vorgegebenen Lösungswege,
MehrGeometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1
Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere
MehrSRB- Schulinterner Lehrplan Mathematik Klasse 5
Problemlösen Lösen Näherungswerte für erwartete Ergebnisse durch Schätzen und Überschlagen ermitteln Funktionen Beziehungen zwischen Zahlen und zwischen Größen in Tabellen und Diagrammen darstellen Interpretieren
MehrGeometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1
Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere
MehrWerkzeuge/ Medien Lineal, Geodreieck. Problemlösen - finden Beispiele, überprüfen durch Probieren
Kernlehrplan Jahrgangsstufe 5 Kapitel Inhaltsbezogene Kompetenzen I Arithmetik/ Algebra (Stochastik) Natürliche Zahlen Prozessbezogene Kompetenzen Kompetenzerwartungen bzgl. der Kenntnisse, Fähigkeiten
MehrCube Du setzt dich mit Volumen und Oberfläche von Würfeln und Quadern auseinander und trainierst gleichzeitig dein Vorstellungsvermögen.
Cube Du setzt dich mit Volumen und Oberfläche von Würfeln und Quadern auseinander und trainierst gleichzeitig dein Vorstellungsvermögen. bereich verstehen und verwenden die Begriffe Koordinaten, Ansicht,
MehrSchullehrplan in der Geometrie der Vorlehre
Schullehrplan in der Geometrie der Vorlehre 3 Lektionen pro Woche; total 117 Lektionen pro Jahr, geteilt auf zwei Semester Literatur: - Stufenlehrplan Mathematik Kanton Zürich (?) - Grundkompetenzen für
MehrAchsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1
M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke
MehrLeistungsbeurteilung mit der 4.0 Skala Mathematik 6. Schulstufe
Leistungsbeurteilung mit der 4.0 Skala Mathematik 6. Schulstufe Nach Jahresplanung: 1.) Mein Wissen aus der 1. Klasse (Zahlen und Maße, Variable und funktionale Abhängigkeiten, Geometrische Figuren und
MehrMINT Lernumgebung MINT Lernumgebung
MINT Lernumgebung MINT Lernumgebung Eine durch Unterricht hergestellte Lernumgebung besteht aus einem Arrangement von Unterrichtsmethoden, Unterrichtstechniken, Lernmaterialien und Medien. Dieses Arrangement
MehrMathematik heute 5 (ISBN 978-3-507-81140-9) Lernbereiche Stunden Inhalt Seite Inhalt Seite Kapitel 1 Zahlen und Größen. 6 Zahlen und Größen
Zahlen und Operationen 30 Kapitel 1: Kapitel 1 Zahlen und Größen 6 Zahlen und Größen 1 Vielfache von großen Zahlen darstellen, lesen und inhaltlich interpretieren Zahlen über 1 Million Stellentafel Große
MehrKompetenzbereich. Kompetenz
Faltkunst Du vertiefst dein Verständnis für Achsenspiegelungen und achsensymmetrische Figuren, indem du vom einfachen Scherenschnitt bis zur anspruchsvollen Origamifigur vieles mit Papier umsetzt. Die
MehrC/(D) Anspruchsniveau
Niveaustufe C/(D) des BOA Förderbedarf Lernen (B 5) Unterscheiden von Strecken, Strahlen und Geraden Erkennen und Beschreiben der Eigenschaften von Winkeln und Dreiecken Erkennen, Benennen und Beschreiben
MehrParallelogramm. Simone Alvarenga, Klaus Baderschneider, Mathias Volz Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I: Geometrie
Einführung in das Thema Parallelogramm Simone Alvarenga, Klaus Baderschneider, Mathias Volz Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I: Geometrie Lehrplanaussagen MS, RS Lehrplanaussage MS: Jahrgangsstufe
MehrWERRATALSCHULE Gesamtschule mit gymnasialer Oberstufe Heringen (Werra)
WERRATALSCHULE Gesamtschule mit gymnasialer Oberstufe Heringen (Werra) SCHULCURRICULUM IM FACH MATHEMATIK BILDUNGSGANG FÖRDERSTUFE Fachcurriculum Klasse 5F Schwerpunkte Kompetenzen Inhalte Mathematische
MehrKompetenzübersicht A Klasse 5
Kompetenzübersicht A Klasse 5 Natürliche Zahlen und Größen A1 Ich kann eine Umfrage durchführen und die Ergebnisse in einer Strichliste und einem Säulendiagramm darstellen. A2 Ich kann große Zahlen vorlesen
MehrKlasse Mathematische Inhalte Kompetenzen Zeitvorgaben 5 1. Zahlen und Größen
auf der Basis des Kernlehrplans für das Fach an Lehrwerk: Lambacher Schweizer, für Gymnasien 5 1. Zahlen und Größen Darstellen - Strichlisten- Säulendiagramme - Große Zahlen - Größen messen und schätzen
Mehr1. Winkel (Kapitel 3)
1. Winkel (Kapitel 3) 1.1 Winkel Einführung 1.2 Winkel an Geraden bjak 1 1.3 Winkel am Dreieck bjak 2 1.4 Winkel am Kreis bjak 3 bjak 4 2. Dreiecke (Kapitel 3) 2.1 Linien am Dreieck bjak 5 2.2 Flächeninhalt
MehrStoffverteilungsplan Mathematik 5 / 6 Lehrwerk: Lambacher Schweizer 5/6
Klasse 5 Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Zeitraum Natürliche Zahlen Stochastik Erheben: Daten erheben, in Ur- und Strichlisten zusammenfassen Darstellen: Häufigkeitstabellen, Säulendiagramme
MehrLehrer: Inhaltsbezogene Kompetenzen. Funktionaler Zusammenhang: Terme und Gleichungen
Stoffverteilungsplan Schnittpunkt Mathematik Differenzierende Ausgabe Band 8 Schule: 978-3-12-744281-6 Lehrer: Zeitraum K1: Lösungswege beschreiben und begründen K2: Geeignete heuristische Hilfsmittel
MehrKürzen und Erweitern Die drei Gesichter einer Vergröbern bzw. Verfeinern der Einteilung nutzen
Schulcurriculum Mathematik Städtisches Gymnasium Eschweiler Klasse 6 (G8) - rationale Zahlen - mit Zahlen und Symbolen umgehen Grundregeln für Rechenaus- einfache Brüche und Größen, Rechnen mit rationalen
MehrGeometrie. in 15 Minuten. Geometrie. Klasse
Klasse Geometrie Geometrie 7. Klasse in 5 Minuten Grundbegriffe Wie viele äußere Begrenzungsflächen und ußenkanten haben die Körper? a) Würfel b) risma c) Zylinder d) uader e) yramide f) Kugel 4 M 5 Welche
Mehr1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 8 / I I 1.0 Gib in Mengenschreibweise an: 1.1 Zur Menge M gehören alle Punkte, deren Abstand von parallelen Geraden g und h gleich ist, oder die von einem Punkt A mehr als 4 cm entfernt sind. 1.
MehrSINUS Saarland Geometrie beziehungshaltig entdecken Module für den Geometrieunterricht. Kurs 1 14./15. 11. 2013
SINUS Saarland Geometrie beziehungshaltig entdecken Module für den Geometrieunterricht Kurs 1 14./15. 11. 2013 Programm Entwicklung des Geometrieunterricht bis zu Bildungsstandards und Rahmenplänen Ein
MehrAufgaben zum Basiswissen 7. Klasse
Aufgaben zum Basiswissen 7. Klasse 1. Achsen- und Punktsymmetrie 1. Aufgabe: Zeichne die Gerade g und alle weiteren Punkte ab und spiegle diese Punkte an der Geraden g und am Zentrum Z. 2. Aufgabe: Zeichne
MehrMaterial: Festes Tonpapier (2 unterschiedliche Farben) Musterklammern oder Papierösen
Mathematik Lerntheke Klasse 5d: Flächeninhalte von Vielecken Die einzelnen Stationen: Station 1: Station 2: Station 3: Station 4: Wiederholung (Quadrat und Rechteck) Material: Zollstock Das Parallelogramm
MehrMathematiklehrplan GYMNASIUM VOGELSANG SOLINGEN Städtisches Gymnasium für Jungen und Mädchen mit Sekundarstufen I und II
Klasse : 5 3 Wochen 1. Zahlen und Größen Große Zahlen, Dezimalsystem, Potenzen, Runden, Größen, (optional: Einfache Bruchteile von Größen), Messen und schätzen, Diagramme Projekt Weltraum 2. Die vier Grundrechenarten
MehrM9 Geometrielehrgang. M9 Geometrielehrgang 1
M9 Geometrielehrgang Inhalt: 1 Geometrische Grundbegriffe 2 1.1 Punkte 2 1.2 Linien und deren Lagebeziehungen: 2 1.3 Flächen und Körper. Ordne die Begriffe durch nummerieren zu! 3 2 Dreiecke 4 2.1 Dreieckfläche
MehrGrundwissen-Mathematik-7.Jahrgangsstufe (Algebra) G8
Grundwissen-Mathematik-7.Jahrgangsstufe (Algebra) G8 Terme Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl. Ein Term ist eine sinnvolle Abfolge von Rechenzeichen, Zahlen und Variablen. Beispiel zur Berechnung
MehrMinimalziele Mathematik
Jahrgang 5 o Kopfrechnen, Kleines Einmaleins o Runden und Überschlagrechnen o Schriftliche Grundrechenarten in den Natürlichen Zahlen (ganzzahliger Divisor, ganzzahliger Faktor) o Umwandeln von Größen
MehrDownload. Mathematik Üben Klasse 5 Geometrie. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Martin Gehstein
Download Martin Gehstein Mathematik Üben Klasse 5 Geometrie Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr Downloadauszug aus dem Originaltitel: Mathematik üben Klasse 5 Geometrie Differenzierte Materialien
MehrGrundlagen der Planimetrie und Stereometrie
Überblick über die wichtigsten Formeln Inhaltsverzeichnis 1. Planimetrie Dreieck, Viereck, Vieleck, Kreis. Stereometrie.1. Ebenflächig begrenzte Körper Würfel, Quader, Prisma, Pyramide, Pyramidenstumpf,
MehrTrigonometrie - Funktionale Abhängigkeiten an Dreiecken
1.0 Die Basis [AB] eines gleichschenkligen Dreiecks ABC hat die Länge 10 cm. 1.1 Berechne den Flächeninhalt A des Dreiecks in Abhängigkeit von α. (Ergebnis: A(α) = 5 tanα cm ) 1. Berechne den Umfang des
MehrBuch: Mathematik heute [Realschule Niedersachsen], Schroedel
Klasse: 5 Buch: heute [Realschule Niedersachsen], Schroedel 1. Einheit: Zahlen und Größen S. 7 - S. 45 WH.: Grundrechenarten, Kopfrechenfertigkeiten 2. Einheit: Rechnen mit natürlichen Zahlen und Größen
MehrKonvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Sehnenviereck Tangentenviereck Überraschung? Haus der Vierecke. Dr.
Haus der Vierecke Dr. Elke Warmuth Sommersemester 2018 1 / 40 Konvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Rhombus Rechteck Sehnenviereck Tangentenviereck Überraschung? 2 / 40 Wir betrachten nur
MehrGanze und rationale Zahlen Ganze und rationale im Alltag: Temperaturen sowie Höhen- und Tiefenangaben. Stoffverteilungsplan Mathematik Klasse 7
Themen verschiedener Darstellungsmöglichkeiten von Proportionaler, ihre Darstellung in Koordinatensystemen und Berechnungen mit Hilfe des Dreisatz antiproportionaler, ihre Darstellung im Koordinatensystem
MehrGrundwissen Mathematik 7II-III/1
Grundwissen athematik 7II-III/ ultiplikation und Division in QI Rechenregeln a c a c a c a d : b d b d b d b c Vorzeichenregeln + ++ + + + + : ++ : + : + + : Potenzgesetze. Potenzgesetz n m n m a a a +
MehrJahresplan Mathematik Klasse 10 auf Grundlage der Bildungsstandards 2004 Schnittpunkt 6 Klettbuch 978-3-12-740301-5
Zufall - Wahrscheinlichkeitsaussagen verstehen - Wahrscheinlichkeiten bestimmen - logisch schließen und begründen - mathematische Argumentationsketten nachvollziehen - die Fachsprache adressatengerecht
MehrTeste dein Grundwissen
Teste dein Grundwissen Was bedeutet addieren Plusrechnen Minusrechnen Malnehmen Teilen Was bedeutet Plusrechnen Minusrechnen Malnehmen Teilen subtrahieren Was bedeutet Plusrechnen Minusrechnen Malnehmen
MehrDigitaler Mathe-Adventskalender Lehrplan Mathematik. Sekundarstufe I. Geschwister-Scholl-Gymnasium Pulheim, August 2001.
Digitaler Mathe-Adventskalender 2006 Lehrplan Mathematik Sekundarstufe I Geschwister-Scholl-Gymnasium Pulheim, August 2001 Klasse 5 Klasse 8 Klasse 6 Klasse 9 Klasse 7 Klasse 10 Klasse 5 Natürliche Zahlen
MehrMusteraufgaben Jahrgang 10 Hauptschule
Mathematik Musteraufgaben für Jahrgang 0 (Hauptschule) 23 Musteraufgaben Jahrgang 0 Hauptschule Die Musteraufgaben Mathematik für die Jahrgangstufe 0 beziehen sich auf die Inhalte, die im Rahmenplan des
MehrSymmetrische Figuren. 1 Welche Figuren sind symmetrisch? Überprüfe. 2 Suche symmetrische Gegenstände im Klassenzimmer. AOL-Verlag
Symmetrische Figuren 1 1 Welche Figuren sind symmetrisch? Überprüfe. 2 Suche symmetrische Gegenstände im Klassenzimmer. Symmetrie 1 2 1 Zeichne die Spiegelachsen ein. Symmetrie 2 3 1 Zeichne die Spiegelachsen
MehrBildungsstandards Grundschule MATHEMATIK. Skriptum
Bildungsstandards Grundschule MATHEMATIK Skriptum erstellt auf Basis der vom Bildungsministerium zur Verfügung gestellten Fassung Bildungsstandards für Mathematik 4. Schulstufe Version 2.2. von den Mitgliedern
MehrVORSCHAU. zur Vollversion. Inhaltsverzeichnis. Grundwissen Geometrische Abbildungen
Inhaltsverzeichnis Grundwissen Geometrische Abbildungen Achsensymmetrie 1 Achsensymmetrie erkennen 2 Symmetrieachsen finden (1) 3 Symmetrieachsen finden (2) 4 Symmetrieachsen finden (3) 5 Achsensymmetrische
MehrBestandteile Ihres Vortrags: Fachlicher Hintergrund (Schulbücher, ) Aufgabenstellung
Bestandteile Ihres Vortrags: Fachlicher Hintergrund (Schulbücher, ) Aufgabenstellung Lösungsvorschlag 2006/I,2: 1. Erläutern Sie die Beziehung zwischen gewöhnlichen Brüchen und Dezimalbrüchen. 2. Beschreiben
MehrFach : Mathematik Klasse 5/6. Kerncurriculum Schulcurriculum Hinweise
Fach : Mathematik Klasse 5/6 Kompetenzen siehe Bildungsplan 1. Leitidee Zahl ganze Zahlen rationale Zahlen Zehnerpotenzen Brüche Dezimalbrüche Prozentangaben 2. Leitidee Algorithmus Addieren Subtrahieren
MehrSchulinterne Lehrpläne der Städtischen Realschule Waltrop. im Fach: MATHEMATIK Klasse 5
Funktionen 1 Natürliche Zahlen Lesen Informationen aus Text, Bild, Tabelle mit eigenen Worten wiedergeben Problemlösen Lösen Näherungswerte für erwartete Ergebnisse durch Schätzen und Überschlagen ermitteln
MehrStädtische Sekundarschule Selm Curriculum für MATHEMATIK Schuljahr 2014/15 MATHEMATIK
MATHEMATIK An der Städtischen Sekundarschule Selm lernen die Schülerinnen und Schüler im Mathematikunterricht Mathematik als Anwendung kennen, die ein Schlüssel zur Wahrnehmung, Beschreibung und schließlich
MehrGrundwissen 8II/11. Terme
Grundwissen 8II/11 Termumformungen 1. Vereinfachung von Produkten Terme Halte dich an folgende Reihenfolge: Klammern bei Potenzen auflösen Vorzeichen des Produkts bestimmen Ordnen: Zahlen zuerst, dann
MehrFachcurriculum Mathematik (G8) JKG Weil der Stadt Standards 10. Mathematik. Stoffverteilungsplan 9/10 auf Grundlage der Bildungsstandards 2004
Mathematik Stoffverteilungsplan 9/10 auf Grundlage der Bildungsstandards 2004 Fachcurriculum Standards 10 Johannes-Kepler-Gymnasium Weil der Stadt Stand vom 19.8.2008 1 Stand 19.08.2008 Stundenzahl in
Mehr3.1 Die Gruppe (K,o) aller Kongruenzabbildungen einer Ebene
Kapitel 3: Deckabbildungen von Figuren - Symmetrie 3.1 Die Gruppe (K,o) aller Kongruenzabbildungen einer Ebene K ist die Menge aller Kongruenzabbildungen E E; o ist die Hintereinanderausführung von Abbildungen
MehrMonat Inhalt und Lernziele laut Lehrplan Bemerkung September
September Oktober 1. Die Teilbarkeit natürlicher Zahlen wichtige Teilbarkeitsregeln kennen und anwenden können größten gemeinsamen Teiler berechnen können kleinstes gemeinsames Vielfaches berechnen können
MehrM 5.1. Natürliche Zahlen und Zahlenstrahl. Welche Zahlen gehören zur Menge der natürlichen Zahlen?
M 5.1 Natürliche Zahlen und Zahlenstrahl Welche Zahlen gehören zur Menge der natürlichen Zahlen? Zeichne die Zahlen, und auf einem Zahlenstrahl ein. Woran erkennt man auf dem Zahlenstrahl, welche der Zahlen
MehrMB1 LU 20, 21,23,24 Kongruenzabbildungen Ausgefüllt
MB1 LU 20, 21,23,24 Kongruenzabbildungen Ausgefüllt Definitionen: 1. Kongruenz: Zwei Figuren, die sich beim Aufeinanderlegen decken, heißen deckungsgleich oder kongruent. 2. Kongruenzabbildung: Eine Abbildung,
MehrI II III. Den Inhalt einer Fläche messen, heißt feststellen, mit wie vielen Einheitsquadraten es ausgelegt werden kann.
X. Flächenmessung ================================================================= 10.1 Einführung Welches Rechteck ist am größten? I II III Den Inhalt einer Fläche messen, heißt feststellen, mit wie
MehrSekundarschulabschluss für Erwachsene
SAE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie A 2011 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner und Geometriewerkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60
MehrGrundlegende Geometrie - Vorlesung mit integriertem Praxiskurs. 09.02. Klausur (08-10 Uhr Audimax, HS 1)
Vorlesungsübersicht Wintersemester 2015/16 Di 08-10 Audimax Grundlegende Geometrie - Vorlesung mit integriertem Praxiskurs Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier
MehrLehrplan Mittelschule Sachsen Klasse 5 Mathematik heute 5 (ISBN 978-3-507-81000-6) Arbeitsheft 5 (ISBN 978-3-507-81001-3) Projekt: Meine neue Klasse
Statistiken und Präsentationen Projekt: Meine neue Klasse 6 Lernbereich 1: Natürliche Zahlen Beherrschen des Veranschaulichens am Zahlenstrahl Beherrschen des Überschlagens, Abschätzens und Rundens sowie
MehrOrientierungsmodul Oberstufe OS 1. Zahlen auf dem Zahlenstrahl darstellen und interpretieren. natürliche Zahlen bis 2 Millionen lesen und schreiben
Inhalt/ Orientierungsmodul Oberstufe O 1 Zahlendarstellung Zahlen auf dem Zahlenstrahl darstellen und interpretieren O 1 _Mathematik_71 A1, A2, A4 natürliche Zahlen bis 2 Millionen lesen und schreiben
MehrDefinitionen des Flächeninhaltsbegriffs werden immer mehr verfeinert, durch den Messprozess festgelegt.
Flächeninhalt 1 Kapitel 7: Der Flächeninhalt Flächeninhalt einer Figur soll etwas über deren Größe aussagen Flächeninhaltsbegriff intuitiv irgendwie klar, ab der Grundschule durch Auslegen von Figuren
Mehr1 Zahlen und Funktionen
1 Zahlen und Funktionen 1.1 Variablen Variablen sind Platzhalter für Zahlen aus einer vorgegebenen Grundmenge. Bsp.: a IN, b Z oder x QI Betrag einer Variablen a falls a 0 a = Bsp.: 7 = 7; -5 = -(-5) =
MehrStunden/ Seiten 10 Stunden
Von den Rahmenvorgaben des Lehrplans zum Schulcurriculum Anregungen für Mathematik in Hauptschule und Regionaler Schule in Rheinland-Pfalz auf der Grundlage von Maßstab 8 Der Stoffverteilungsplan geht
MehrNeue Wege Klasse 5 Schulcurriculum EGW Inhalt Neue Wege 5
Neue Wege Klasse 5 Schulcurriculum EGW Inhalt Neue Wege 5 1.1 Runden und Schätzen - Große Zahlen 1.2 Zahlen in Bildern Kapitel 2 Größen 2.1 Längen - Was sind 2.2 Zeit Größen? 2.3 Gewichte Kreuz und quer
Mehrb) richtig, da und c) falsch, da d) Westermann Seite 52 Aufgabe 4
Westermann Seite 52 Aufgabe 2 b) richtig, da und c) falsch, da d) Westermann Seite 52 Aufgabe 4 Nach dem Einzeichnen des Urdreiecks und des Punktes A erkennt man: Der Vektor verschiebt den Punkt A um 3
MehrFachcurriculum Mathematik (G8) MPG Klassen 5 und 6. Bildungsplan Bildungsstandards für Mathematik. Kern- und Schulcurriculum Klassen 5 und 6
Bildungsplan 2004 Bildungsstandards für Mathematik Kern- und Klassen 5 und 6 Max-Planck-Gymnasium Böblingen 1 UE 1: Rechnen mit großen Zahlen UE 2: Messen und Auswerten natürliche Zahlen einfache Zehnerpotenzen
MehrSekundarschulabschluss für Erwachsene. Geometrie A 2012
SAE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie A 2012 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner und Geometriewerkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60
MehrKern- und Schulcurriculum Mathematik Klasse 7/8. Stand Schuljahr 2009/10
Kern- und Schulcurriculum Mathematik Klasse 7/8 Stand Schuljahr 2009/10 Klasse 7 UE 1 Prozent- und Zinsrechnung Anteile in Prozent Grundaufgaben der Prozentrechnung Promille Prozentuale Änderungen Zinsen
Mehr( ) ( ) 1 Zahlen und Funktionen ( ) ( ) ( a + b) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
1 Zahlen und Funktionen 1.1 Terme und Variable Buchstaben, die als Platzhalter für eine Zahl stehen, heißen Variable. Terme sind Rechenausdrücke, die aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammen bestehen.
MehrGeometrie-Dossier Vierecke
Geometrie-Dossier Vierecke Name: Inhalt: Vierecke: Bezeichnungen Parallelenvierecke: Ihre Form und Eigenschaften Konstruktion von Parallelenvierecken Winkelsumme in Vielecken, Flächenberechnung in Vielecken
MehrProzessbezogenen Kompetenzen
Klasse 5 Version 09/10 Inhaltsbezogene Arithmetik/Algebra - mit Zahlen und Symbolen umgehen Prozessbezogenen Methodische Vorgaben/ Erläuterungen/Ergänzungen Regelheft und schuleigene Software. Natürliche
MehrKapitel im Fokus. Ich kann / kenne. 5. Klasse Stand Juni **Anzahl der KA: 6 pro Schuljahr** Daten und Zufall. Größen messen
Daten und Zufall Sammeln und Auswerten von Daten Strichliste Absolute Häufigkeit Säulendiagramm Daten erfassen (Strichlisten, Tabellen). gesammelte Daten auswerten. Daten mithilfe von Diagrammen darstellen.
Mehr[Ganze] [ ] Zahlen in verschiedenen Formen deuten können, als Zustände gegenüber einem Nullpunkt, als Punkte auf einer Zahlengeraden
September Es geht weiter... 1 Ganze Zahlen 1.1 Zahlen gegensätzlich deuten 1.2 Die Zahlengerade 1.3 Ganze Zahlen ordnen 1.4 Ganze Zahlen addieren und subtrahieren 1.5 Ganze Zahlen multiplizieren und dividieren
Mehrinhaltsbezogene Kompetenzen Die SuS... Kapitel I: Rationale Zahlen
prozessbezogene Kompetenzen Die SuS... Kapitel I: Rationale Zahlen inhaltsbezogene Kompetenzen Die SuS... Kapitel I: Rationale Zahlen konkrete Umsetzung zur Zielerreichung Die SuS können... Kapitel I:
MehrKonvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Sehnenviereck Tangentenviereck. Haus der Vierecke. Dr. Elke Warmuth. Sommersemester 2018
Haus der Vierecke Dr. Elke Warmuth Sommersemester 2018 1 / 39 Konvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Rhombus Rechteck Sehnenviereck Tangentenviereck 2 / 39 Wir betrachten nur konvexe Vierecke:
MehrMathematik schulinternes Curriculum Reinoldus- und Schiller-Gymnasium
Mathematik schulinternes Curriculum Reinoldus- und Schiller-Gymnasium Klasse 6 6 Kapitel I Rationale Zahlen 1 Brüche und Anteile 2 Was man mit einem Bruch alles machen kann 3 Kürzen und Erweitern 4 Die
Mehrinhaltsbezogene Kompetenzen Die SuS... Kapitel I: Natürliche Zahlen
prozessbezogene Kompetenzen Die SuS... Kapitel I: Natürliche Zahlen inhaltsbezogene Kompetenzen Die SuS... Kapitel I: Natürliche Zahlen konkrete Umsetzung zur Zielerreichung Die SuS können... Kapitel I:
Mehr1.8 Warum Geometrie in der Schule? (Staatliches Seminar für Didaktik und Lehrerbildung (Gymnasien) Heidelberg)
1.8 Warum Geometrie in der Schule? (Staatliches Seminar für Didaktik und Lehrerbildung (Gymnasien) Heidelberg) Wichtige Gründe für die Behandlung der Geometrie Erziehung zu Sauberkeit und Übersichtlichkeit
MehrLandeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1
2006 Runde 1 Aufgabe 1 Die Ziffern von 1 bis 5 sollen so in einer Reihe angeordnet werden, dass jedes Paar benachbarter Ziffern eine Zahl ergibt, die ein Produkt zweier einstelliger Zahlen ist. Bestimme
MehrALGEBRA Der Lösungsweg muss klar ersichtlich sein Schreiben Sie Ihre Lösungswege direkt auf diese Aufgabenblätter
BMS Bern, Aufnahmeprüfung 004 Technische Richtung Mathematik Teil A Zeit: 45 Minuten Name / Vorname:... ALGEBRA Der Lösungsweg muss klar ersichtlich sein Schreiben Sie Ihre Lösungswege direkt auf diese
MehrRaumgeometrie - Würfel, Quader (Rechtecksäule)
Hauptschule (Realschule) Raumgeometrie - Würfel, Quader (Rechtecksäule) 1. Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge a = 4 cm. a) Zeichne das Netz des Würfels (Abwicklung). b) Zeichne ein Schrägbild des
MehrGundlagen Klasse 5/6 Geometrie. nach oben. Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis Grundbegriffe der Geometrie Geometrische Abbildungen Das Koordinatensystem Schnittpunkt von Geraden Symmetrien Orthogonale Geraden Abstände Parallele Geraden Vierecke Diagonalen in Vielecken
Mehr2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen
2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen Aufgabe 1 Zeichne das Dreieck AC mit A( 1 2), (5 0) und C(3 6) und konstruiere seinen Umkreis. Gib den Radius und den Mittelpunkt des Umkreises an. Aufgabe 2 Konstruiere
MehrStoffverteilungsplan Mathematik 5 für den G9-Zweig
Stoffverteilungsplan Mathematik 5 für den G9-Zweig prozessbezogene Kompetenzen inhaltsbezogene Kompetenzen Lehrbuch Argumentieren / Darstellungen (Text, Bild, Tabelle) mit eigenen Worten Begriffe, Regeln
MehrNatürliche Zahlen und. Zahlenstrahl
M 5.1 Die Zahlen Nimmt man auch die Natürliche Zahlen und Zahlenstrahl nennt man natürliche Zahlen: hinzu, schreibt man: Zahlenstrahl Je weiter rechts eine Zahl auf dem Zahlenstrahl liegt, desto größer
MehrSchulcurriculum Mathematik, Klasse 09-10 Realschule
Schulcurriculum Mathematik, Klasse 09-10 Realschule Themen/Inhalte: Kompetenzen Hinweise Zeit Die Nummerierung schreibt keine verbindliche Abfolge vor. Fakultative/schulinterne Inhalte sind grau hinterlegt.
MehrGrundwissen Mathematik 7. Klasse
Welfen-Gymnasium Schongau 1 Grundwissen Mathematik 7. Klasse Wissen Aufgaben/Beispiele Lösungen Achsenspiegelung Eigenschaften der Achsenspiegelung: - Die Verbindungsstrecke von Punkt P und Bildpunkt P
MehrMB1 LU 20, 21,23,24 Kongruenzabbildungen
MB1 LU 20, 21,23,24 Kongruenzabbildungen Definitionen: 1. Kongruenz: Zwei Figuren, die sich beim Aufeinanderlegen decken, heißen deckungsgleich oder kongruent. 2. Kongruenzabbildung: Eine Abbildung, die
MehrMusterlösung zur 3. Übung
Musterlösung zur 3. Übung a) Didaktische Aufbereitung des Themas: Flächenberechnung eines Dreiecks Einführung Flächeninhalt eines Dreiecks: 2 Grundideen: (vgl. S. 5-7) (1) Rechteck rechtwinkliges Dreieck
Mehr