Grundwissenskatalog der 6. Jahrgangsstufe G8 - Mathematik Friedrich-Koenig-Gymnasium Würzburg

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1 Grundwissenskatalog der. Jahrgangsstufe G8 - Mathematik Friedrich-Koenig-Gymnasium Würzburg. Brüche und Dezimalzahlen Bruchteile Berechnung von Bruchteilen Bruchzahlen als Quotient Gemischte Zahlen Erweitern und Kürzen relative Häufigkeit Dezimalbrüche Addition und Subtraktion von Brüchen Den Bruchteil n z von etwas berechnet man, indem man durch n teilt und mit z multipliziert. Jeden Quotienten zweier natürlicher Zahlen kann man als Bruchzahl z schreiben: z : n n Brüche, die größer als sind, lassen sich übersichtlicher als gemischte Zahl schreiben. Erweitern heißt: Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl ( 0) multiplizieren. Kürzen heißt: Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl ( 0) dividieren. Der Wert eines Bruches ändert sich beim Erweitern oder Kürzen nicht. Relative Häufigkeit absolute Häufigkeit Gesamtzahl Stellenwerte nach dem Komma: Zehntel, Hundertstel, Tausendstel, Zehntausendstel Umwandlung von Brüchen in Dezimalbrüche: auf Zehnerpotenz im Nenner erweitern, oder Division durchführen (siehe weiter unten). Zum Addieren und Subtrahieren müssen Brüche den gleichen Nenner haben ( gleichnamig sein). Ist dies nicht der Fall, müssen sie zunächst durch Erweitern oder Kürzen gleichnamig gemacht werden. Dann addiert bzw. subtrahiert man die Zähler und behält den - - von 8 (8 : ). : ; : 89 ; 9 0 : 8 : 8 Umfrageergebnis: mal Ja, mal Nein und Enthaltungen. Relative Häufigkeit von Ja : 0 0, : 000 0,,

2 Addition und Subtraktion von gemischten Zahlen Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen Multiplikation von Brüchen Division von Brüchen Multiplikation von Dezimalbrüchen gemeinsamen Nenner bei: a b a + b a b a b + bzw. c c c c c c Nach dem Gleichnamigmachen addiert man die Ganzen und die Brüche. Möglicherweise lässt sich aus dem Bruch noch ein Ganzes herausnehmen. Das Subtrahieren erfolgt genauso. Möglicherweise muss zuvor ein Ganzes des Minuenden in einen Bruch verwandelt werden. Wie bei den natürlichen Zahlen wird auch bei Dezimalbrüchen stellenweise addiert bzw. subtrahiert. Beim Untereinanderschreiben muss man deshalb Komma unter Komma schreiben. Multipliziere Nenner mit Nenner und Zähler mit Zähler: a c a c b d b d Vor dem Multiplizieren in Zähler und Nenner ist soweit möglich zu kürzen. b Sonderfall: a c a b c Faktoren in gemischter Schreibweise sind vor dem Multiplizieren in Brüche umzuwandeln. Multipliziere den Dividenden mit dem Kehrbuch des Divisors. Gemischte Zahlen müssen erst in Brüche umgewandelt werden. a a Sonderfall: : c (c 0) b b c Multipliziere zunächst ohne Berücksichtigung der Kommas und setze das Komma im Ergebnis so, dass es ebenso viele Nachkommastellen wie die beiden Faktoren zusammen besitzt , 09, +, 8 -, 8 0, 9, : : : :,, 8, 0, 0, 9 0,09 - -

3 Division von Dezimalbrüchen Verschiebe das Komma bei beiden Zahlen um gleich viele Stellen so weit nach rechts, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist, und führe dann die Division aus. Setze beim Überschreiten des Kommas auch im Ergebnis ein Komma. Das Ergebnis einer Division kann auch ein periodischer Dezimalbruch sein. Das erkennst du, wenn sich beim Divisionsverfahren ein Rest wiederholt.. Flächeninhalte Parallelogramm Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit je zwei parallelen Gegenseiten. Die Höhe h steht senkrecht zur Grundlinie g und für den Flächeninhalt A gilt: A g h Dreieck Ein Dreieck ist ein halbes Parallelogramm. Für seinen Flächeninhalt A gilt: A g h h g,8:,,8:, ,:0, :, cm cm ( ) cm cm cm A cm cm cm h g A cm cm ( ) cm cm - -

4 Trapez c a' cm h cm Vielecke a Ein Trapez ist ein Viereck mit parallelen Gegenseiten. Es lässt sich zu einem Parallelogramm mit Grundlinie a+c und Höhe h ergänzen. Für seinen Flächeninhalt A gilt deshalb: A A ( a + c) h Parallelog ramm Den Flächeninhalt von Vielecken kann man berechnen, indem man sie in die oben genannten Grundformen zerlegt, die einzelnen Flächeninhalte berechnet und addiert.. c' cm A (cm + cm) cm ( 0 ) cm cm Dreieck Trapez Dreieck. Volumen und Volumenmessung Bedeutung Das Volumen gibt an, welchen Raum ein Körper einnimmt. Einheiten 000mm cm 000cm 000dm dm m Ein Würfel mit der Kantenlänge cm hat das Volumen cm. 0,00dm 0cm 0ml 0h l 000l 000dm m Volumen von Quader und Würfel l dm ml cm 000 ml l hl 00l V l b h ( Länge Breite Höhe ) Q G h ( Grundfläche Höhe ) V W a a a a ( Kantenlänge hoch ) Ein Würfel ist ein besonderer Quader. Ein Quader ist, m lang, 8 cm breit und, dm hoch. Für sein Volumen gilt: V Q dm,8 dm, dm (,8, ) dm dm - -

5 . Prozentrechnung Festlegung Prozent ist eine andere Schreib- und Sprechweise für Hundertstel. % 00 ; 0 0 % 00 Grundgleichung Prozentwert Prozentsatz Grundwert PW PS GW 0% von 00 sind 90. PS GW PW Berechnung des Prozentsatzes Berechnung des Prozentwertes Berechnung des Grundwertes. mit Formel. mit Dreisatz PS PW GW. mit Formel PW PS GW. mit Dreisatz. mit Formel GW. mit Dreisatz PW PS Von Schülern sind 8 weiblich. Das sind. 8 % 00. Schüler a 00% 00 Schüler a % 00 8Schüler a 8 % % Von Tomaten waren % faul. Das sind. % Tomaten Tomaten Tomaten % a Tomaten % a Tomaten 00 % a Tomaten 00 Tomaten Der Eintritt verteuerte sich um %, so dass jetzt,0eur zu bezahlen sind. Früher kostete der Eintritt.,0,0 EUR EUR % 00 EUR,00EUR. % a,0eur % a,0 00% a 00,00EUR EUR,0 EUR - -

6 . Rationale Zahlen Zahl und Gegenzahl Rationale Zahlen Betrag Addition Subtraktion Multiplikation Division Zahl und Gegenzahl sind auf der Zahlengeraden gleich weit von der 0 entfernt. Gegenzahlen sind oder auch 0, und 8 und 0,. Bruchzahlen und ihre Gegenzahlen bilden ; ; ; sind zusammen die rationalen Zahlen. rationale Zahlen Der Betrag a einer Zahl a ist ihr Abstand zur 0 auf der Zahlengeraden. -,8 +,8, Gleiche Vorzeichen: Addiere die Beträge. Gib der Summe das gemeinsame Vorzeichen. Verschiedene Vorzeichen: Subtrahiere den kleineren Betrag vom größeren Betrag. Gib der Differenz das Vorzeichen des Summanden mit dem größeren Betrag. Subtrahieren einer Zahl bedeutet dasselbe wie Addieren ihrer Gegenzahl. Multipliziere die Beträge. Gib dem Ergebnis bei gleichen Vorzeichen der Faktoren das Vorzeichen +, bei verschiedenen Vorzeichen der Vorzeichen das Vorzeichen -. Für alle rationalen Zahlen a gilt: a 0 0 a 0 a a a Dividieren durch eine Zahl bedeutet dasselbe wie Multiplizieren mit ihrer Kehrzahl. Für alle rationalen Zahlen a 0 gilt: 0: a 0. Durch Null kann man nicht dividieren. Gleiche Vorzeichen: ( +, ) + ( + 0,) +, (, ) + ( 0,), Verschiedene Vorzeichen: (, ) + ( + 0,) 0,8 ( +, ) + ( 0,) + 0, 8 (, ) ( 0,) (, ) + ( 0,8 ( + 0,) ( + 0,) + 0, ( 0,) ( 0,) + 0, ( + 0,) ( 0,) 0, ( 0,) ( + 0,) 0, 8 + 0,) 0, 0, : (,) 0 0 : - -

7 Verbindung der Grundrechenarten. Klammern haben absoluten Vorrang.. Es gilt "Potenz vor Punkt vor Strich".. Ansonsten wird von links nach rechts gerechnet. Die letzte auszuführende Rechnung legt die Termart fest. + : +, 0,, 0,, Der Term + : ist ein Quotient. - -