Grundwissen Mathematik 7II-III/1

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1 Grundwissen athematik 7II-III/ ultiplikation und Division in QI Rechenregeln a c a c a c a d : b d b d b d b c Vorzeichenregeln : ++ : + : + + : Potenzgesetze. Potenzgesetz n m n m a a a + 7 eispiel: + Ü: a) b) 5 0,5 0,5 0,5 c) ( ) ( ). Potenzgesetz n m n m (a ) a eispiel: ( ) Ü: a) 5 5 (,5 ) b) [(k ) ] c) 7. Potenzgesetz n n n a b (a b) eispiel: ( ) 6 Ü: a) 5 b) z c) 7 7 (,5) ( ). Potenzgesetz n a m a a n m eispiel: Ü: a) 7 7 :7 b) (,) :(,) c) 5 5. Potenzgesetz n n a a n b b eispiel: 6 6 Ü: a) : b) 5 5 ( 8) : c) 9

2 Gleichungen Grundwissen athematik 7II-III/ Lösen von (Un)gleichungen durch Äquivalenzumformungen Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man auf beiden Seiten die gleiche ahl addiert oder subtrahiert, beide Seiten mit der gleichen von Null verschiedenen ahl multipliziert oder durch sie dividiert. eispiele: GI QI :(),5 IL {, 5} IL { 8} Ungleichungen Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man auf beiden Seiten die gleiche ahl addiert oder subtrahiert, beide Seiten mit der gleichen positiven ahl multipliziert oder durch sie dividiert, beide Seiten mit der gleichen negativen ahl multipliziert oder durch sie dividiert und das Ungleichheitszeichen umkehrt (Inversionsgesetz). eispiele: GI QI. < :() > 7 Inversion! IL { > 7}. 6 > 7 :6 >,5 IL { >,5}. + 5> 5 > 8 ( ) < Inversion! IL { < } Ü: Löse durch Äquivalenzumformungen die folgenden Gleichungen und Ungleichungen mit GI QI : a) b) 67< c) + < 8 d) > e) (77 0) + 96 f) + < 6 g) >

3 Grundwissen athematik 7II-III/ Indirekte Proportionalität Entspricht bei einer uordnung von Größen das n-fache der einen Größe dem n-ten Teil der anderen Größe, so heißt diese uordnung indirekte Proportionalität. eispiel: Der Flächeninhalt eines Rechtecks beträgt cm². Wenn GI IN IN, ist dies für acht Rechtecke verschiedener Länge cm und reite cm möglich : : :8 Eigenschaften: lle ahlenpaare ( ) einer indirekten Proportionalität sind produktgleich. Das Produkt hat immer den gleichen Wert. eispiel: Sprechweise: und sind zueinander indirekt proportional Schreibweise: Der Graph einer indirekten Proportionalität ist ein + + Hperbelast. ( GI QI 0 QI 0) eispiel: O

4 Grundwissen athematik 7II-III/ insrechnung Die insrechnung ist eine nwendung der Prozentrechnung. Unter insen (kurz: ins) versteht man den Geldbetrag, den man nach einer bestimmten eit für geliehenes Geld bezahlen muss oder für verliehenes Geld bekommt. Es entsprechen sich: Prozentwert (PW) Prozentsatz (p) Grundwert (GW) Jahreszins ( J ) inssatz (p) Kapital (K) Die so berechneten insen J beziehen sich auf ein Jahr (Jahreszins). Wird ein anderer eitraum betrachtet, so muss der Jahreszins auf diesen eitraum umgerechnet werden. Ein Geschäftsjahr hat 65 Tage. ins für Jahr (Jahreszins) J K p ins für Tag t 00 K p ins für n Jahre n K p n ins für T Tage T 00 K p T eispiel: erechne die insen für 9 instage, wenn ein Kapital 5000,00 zu 8% verliehen wird. T T 960 Der ins für 9 Tage beträgt 960,00. Übungen:.0 uf einem Sparbuch, das mit,75% verzinst wird, sind 90,00.. erechne die insen nach einem Jahr.. erechne den insertrag für das zweite Jahr, wenn die insen des ersten Jahres dem Kapital zugerechnet werden. Herr aurer gibt 0000,00 zu 6,5% auf die ank und legt alljährlich die gewonnen insen wieder zu seinem Kapital. Damit erhöht sich sein Kapital Jahr für Jahr um den insertrag. erechne sein Endkapital nach 5 Jahren.

5 Grundwissen athematik 7II-III/5 Die Parallelverschiebung v Eigenschaften: P I ei allen Parallelverschiebungen sind die Verbindungsstrecken von Urpunkt P und ildpunkt parallel, gleich lang und gleich gerichtet. Sie bilden eine Pfeilklasse. Jede Pfeilklasse heißt Vektor. Durch jede Parallelverschiebung ist umkehrbar eindeutig ein Vektor bestimmt. lle Parallelverschiebungen haben keinen Fipunkt. lle Parallelverschiebungen sind längen- und winkeltreu ( Kongruenzabbildung ). lle Parallelverschiebungen sind geraden- und kreistreu. D ' ' Pfeilklasse Vektor v ' D'... v P (Fußpunkt) (Spitze) Jeder Vektor v lässt sich im Koordinatensstem durch seine Koordinaten eindeutig festlegen. Die Koordinaten des Pfeils PP ' und damit des Vektors v werden durch die Koordinaten des Fußpunktes P( ) und die Koordinaten der Spitze (' ') festgelegt. an berechnet sie nach der Regel: ' P ' Spitze minus Fuß z.. P( ) und P '( ) ( ) P 6 P eispiel: 6 v I ''' mit ( ), ( ) und ( ) ' ' O ' + +6

6 Grundwissen athematik 7II-III/5 Gesetze zur Vektorrechnung Kommutativgesetz und ssoziativgesetz bei der ddition von Vektoren Kommutativgesetz a b b a ssoziativgesetz (a b) c a (b c) erechnung von Summenvektoren a b a b llgemein a ; b a b a b a b eispiel a ; a + b a b a + b + ( ) b a b a b a b + Ortspfeil Ortspfeile sind Pfeile, die vom Ursprung des Koordinatensstems zu einem Punkt im Koordinatensstem führen. Die Koordinaten des Ortspfeils sind dieselben wie die Koordinaten des Punktes. z..: ( ) O O O ( ) erechnung der Koordinaten von ildpunkten llg.: O ' O v ' v ' v z..: ( ) v + O ' O ' + 6 O ' '(6 ) ' + v ' + v ( ) '(+ v + v ) '(6 ) + + O 5 erechnung der Koordinaten des ittelpunktes der Strecke [] llg.: ( ), ( ), ( ) + + ( ) z..: ( ), ( ) + + (0,5,5) O

7 Grundwissen athematik 7II-III/6 Die Drehung ; ϕ Eigenschaften: P I Jede Drehung besitzt einen Punkt als Drehzentrum und einen Winkel ϕ als Drehwinkel. Die Verbindungsstrecken [P] von Urpunkt P und Drehzentrum und [] vom zugehörigen ildpunkt und Drehzentrum sind gleich lang und schließen den Winkel P mit dem aß ϕ ein. lle Drehungen haben nur das entrum als Fipunkt. lle Drehungen sind längen- und winkeltreu ( Kongruenzabbildung ). lle Drehungen sind geraden- und kreistreu. positive Drehrichtung negative Drehrichtung ' P P ' ' ϕ 5 ϕ -5 ϕ P ; ϕ 5 I P ; ϕ 5 I ; ϕ I '' ' Eine Drehung um 80 nennt man auch eine Punktspiegelung am entrum. ' ; ϕ 80 I ''' ' ' ϕ erke: Eine Figur heißt punktsmmetrisch, wenn sie durch Drehung an einem Punkt um 80 auf sich selbst abgebildet werden kann. D D D D Parallelogramm Rechteck Quadrat Raute

8 Grundwissen athematik 7II-III/7 Regeln für Winkel Neben- und Scheitelwinkel β Scheitelwinkel sind gleich groß: * * und β β β g Nebenwinkel ergänzen sich zu 80 : +β 80 Winkel an Parallelen ( g ). Stufenwinkel (F-Winkel) g β g β g β g β β β β β. Wechselwinkel (-Winkel) g β g β g β g β β β β β Innenwinkelsummen. im Dreieck. im Viereck In jedem Dreieck beträgt die Summe der Winkelmaße der drei Innenwinkel 80 : +β+γ 80 Ü: Gib die fehlenden Winkelmaße an und begründe. In jedem Viereck beträgt die Summe der Winkelmaße der vier Innenwinkel 60 : +β+γ+δ 60 δ g δ γ δ g 70

9 Grundwissen athematik 7II-III/8 Der Kreis Kreis k Die Verbindungsstrecke zweier Kreispunkte E und F heißt Sehne s. Die Sehne s teilt die Kreislinie in zwei Kreisbögen EF und FE. Das von Kreissehne und Kreisbogen begrenzte Flächenstück ist ein Kreissegment. Ein von zwei Radien und einem Kreisbogen begrenztes Flächenstück ist ein Kreissektor. Die beiden Radien schließen den ittelpunktswinkel mit dem aß ε ein. E Radius r Durchmesser d Sehne s Segment Sektor ε F Lagebeziehung von Kreis k und Gerade Passante p: p k Tangente t: t k {} Tangente t Passante p entrale z: z k {; } mit z Sekante s: s k {E;F} entrale z erührradius Sekante s E F erechnungen am Kreis Für den Kreisumfang u gilt: Für den Inhalt der Kreisfläche gilt: u r π r π r r Für die Kreiszahl π wird vorläufig der Wert π, oder π benutzt. 7

10 7/ : a) : a) : a) : a) 5: a) 7 5 b) 5,5 b) Grundwissen athematik 7II-III/L Lösungen 8 0,5 c) 6 k c) 5 b) ( z) c) 7 b) (,) 6 c) 9 b) 5 ( ) c) 0 ( ) 7 5 7/ a) IL {, 6} b) IL { > 0} c) IL { < 5, 5} d) IL { <, 5} e) IL {, 6} f) g) IL { < 0} IL { < } 7/.: Jahr 5,5.: Jahr 6,57 : Jahr5 K 700,87 7/7 δ 80 δ 68 (Nebenwinkel) δ 68 (Stufenwinkel) δ δ δ 68 (Scheitelwinkel) δ 70 (Wechselwinkel) γ γ (Innenwinkelsumme im Dreieck)