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Transkript

1 2 Deskriptive Statistik 1 Kapitel 2: Deskriptive Statistik A: Beispiele Beispiel 1: Im Rahmen einer Totalerhebung der Familien eines Dorfes (N = 100) wurde u.a. das diskrete Merkmal Kinderanzahl (X) registriert. Es ergab sich dabei mit der Notation aus dem Skript folgende Häufigkeitstabelle: N i K i i x i N i K i N N Dabei bezeichnet x i die i - te Ausprägung des Merkmals X und 4 + bedeutet: 4 oder mehr Kinder in der Familie. Zeichnen Sie das zu dieser Häufigkeitstabelle gehörende Säulendiagramm und stellen Sie die kumulierten relativen Häufigkeiten in Form einer Treppenfunktion graphisch dar. Lösung: a) Säulendiagramm Tragen Sie zunächst auf der x Achse die möglichen Ausprägungen x i ab. Auf der y Achse werden die relativen Häufigkeiten abgebildet. Zeichnen Sie danach über jede Ausprägung ( ) eine Säule; die Ni Höhe der Säulen können Sie aus der 4. Spalte der Arbeitstabelle entnehmen. N b) Treppenfunktion Zur Konstruktion der Treppenfunktion werden auf der x Achse (wie beim Säulendiagramm) ( ) die Ki Ausprägungen abgetragen. Für die y Achse benötigen Sie die Werte der letzten Spalte der N obigen Arbeitstabelle. Die erste Treppenstufe befindet sich somit auf Höhe der x Achse und reicht marginal an die 0 heran. Die 0 wurde 50 mal beobachtet, so dass sich eine relative kumulierte Häufigkeit von 0.5 ergibt und die nächste Treppenstufe in eben dieser Höhe einzuzeichnen ist. Die Länge einer Treppenstufe ergibt sich aus dem Abstand zur nächsten Ausprägung und ist in diesem Beispiel somit jedesmal gleich 1. Die nächste Stufe beginnt an der Stelle x = 1 und hat die Höhe 0.7. Nach diesem Muster ist die Treppenkurve zu Ende zu zeichnen bis die Höhe 1 erreicht ist. Graphische Darstellung der relativen Häufigkeiten (Säulendiagramm) und der kumulierten relativen Häufigkeiten (Treppenfunktion):

2 2 Deskriptive Statistik 2 N i N K i N Kinderzahl(X i) Kinderzahl(X i ) Beispiel 2: Folgende Werte einer Grundgesamtheit seien gegeben: Berechnen Sie das arithmetische Mittel µ, die Varianz σ 2 und die Standardabweichung σ, den Median und den Modalwert. Lösung: Das arithmetische Mittel wird wie folgt berechnet: µ = 1 N N x i i=1 = 1 ( ) 20 = = Zur Ermittlung der Varianz ist es sinnvoll, eine Arbeitstabelle anzulegen:

3 2 Deskriptive Statistik 3 x i N i x i Ni (x i µ) (x i µ) 2 (x i µ) 2 N i σ 2 = 1 N i µ) N i=1(z 2 = 1 k (x i µ) 2 N i N i=1 = = σ = Einfacher kann das arithmetische Mittel aus der Tabelle nach folgender Formel berechnet werden: µ = 1 N k x i N i i=1 Der Median ist das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte, der der Größe nach geordneten Beobachtungen. Nachdem die Beobachtungen der Größe nach geordnet sind, ist zunächst zu prüfen, ob die Anzahl der Elemente N im Datensatz gerade oder ungerade ist. Danach kann man mit folgenden Formeln den Median bestimmen: 1) N ist ungerade: x N+1 2 2) N ist gerade: 1 2 (x N 2 + x N 2 +1 ) In diesem Fall ist N = 20, also gerade. Man muss somit die 2. Formel verwenden. Die Beobachtungen sind in der obigen Arbeitstabelle bereits der Größe nach geordnet. Der 10. Wert x 20 = x 10 ist 8.00 und 2 der 11. Wert x = x 11 ist Es ergibt sich somit: Modalwert: 7 1 (x 20 + x ) = 1 ( ) =

4 2 Deskriptive Statistik 4 Beispiel 3: In einer Grundgesamtheit der Größe 100 sind folgende Realisationen eines Merkmals X gegeben: a) Gruppieren Sie die Daten in Intervalle gleicher Länge (Klassenbreite = 2.00) und stellen Sie eine Häufigkeitstabelle mit absoluten und kumulierten Häufigkeiten auf. b) Zeichnen Sie das zugehörige Histogramm (Häufigkeit / Klassenbreite) und die Summenkurve (kumulierte Häufigkeit). c) Fassen Sie die drei ersten und die drei letzten Intervalle des Histogramms zu jeweils einem Intervall zusammen und zeichnen Sie das daraus resultierende Histogramm und die Summenkurve in das Bild in b). d) Bestimmen Sie die ungefähre Anzahl der Realisationen für 7 < X 9, indem Sie sie aus dem Histogramm und der Summenkurve ablesen. Lösung: a) Tabelle Klassen Strichliste N i K i N i / Klassenbreite N = 100

5 2 Deskriptive Statistik 5 b) Histogramm Benutzen Sie zum Zeichnen des Histogramms die Tabelle aus a). Tragen Sie zunächst die Klassen auf der x Achse ab. Zeichnen Sie im Anschluss Rechtecke der Höhe N i / Klassenbreite (letzte Spalte der Tabelle) über die entsprechenden Intervalle. (Beispiel: über der Klasse muss also ein Rechteck mit der Höhe 0.5 eingezeichnet werden.) 14 Häufigkeit / Klassenbreite b) c) X Erklärung: Die gestrichelten Linien stellen die beiden Histogrammsäulen dar, die durch Zusammenfassen der ersten und letzten drei Intervalle entstehen. Ebenso verhält es sich in der folgenden Grafik. Die gestrichelten Linien beschreiben den neuen Verlauf der Summenkurve nach Zusammenfassen der oben genannten Intervalle. Summenkurve 100 kumulierte Häufigkeit b) c) X

6 2 Deskriptive Statistik 6 c) Intervall N i K i N i / Klassen - breite d) Ablesen aus dem Histogramm Beispiel : Intervall 7 < X 9 Die Häufigkeit in einer Klasse ermittelt man durch die Formel: Häufigkeit = Höhe Intervalllänge. Man unterteilt zunächst das Intervall (7;9] in die Intervalle (7;8] und (8;9]. Die Höhen dieser Intervalle sind nun aus der Grafik abzulesen. Für das erste Intervall (7;8] beträgt die Höhe 6.5 Einheiten und für das Intervall (8; 9] 9 Einheiten. Die Intervalllänge ist in beiden Fällen 1. Somit ergibt sich die Häufigkeit für das Intervall (7;9] aus der Summe der Häufigkeiten der beiden Teilintervalle: Häufigkeit für (7;8] = = 6.5 Häufigkeit für (8;9] = 9 1 = 9 ungefähre Häufigkeit für (7; 9] = = 15.5 Ablesen aus der Summenkurve Beispiel : Intervall 7 < X 9 Die gesuchte Häufigkeit ergibt aus der Differenz der beiden kumulierten Häufigkeiten an den Grenzen des betrachteten Intervalls. Diese kumulierten Häufigkeiten sind nun auf der Y Achse abzulesen. So ergibt sich an der Stelle x = 9 ein Funktionswert von 30. An der Stelle x = 7 kann man eine kumulierte Häufigkeit von 15 ablesen. Häufigkeit für (7;9] = kum. Häufigkeit (9) kum. Häufigkeit (7) = = kumulierte Häufigkeit X

7 2 Deskriptive Statistik 7 Beispiel 4: Ihnen seien folgende Daten gegeben: Klasse i x i absolute Häufigkeit 1 6 < x < x < x < x Bestimmen Sie das approximative arithmetische Mittel µ, die approximative Varianz σ 2, die approximative Standardabweichung σ, den Median und die Modalklasse. Lösung: Die obige Häufigkeitstabelle lässt sich zu nachfolgender Tabelle erweitern: xi M N i K i 6 < X < X < X < X Dabei ist x M i der Klassenmittelwert der Klasse, in der sich die i te Beobachtung befindet. Das arithmetische Mittel kann aus der Häufigkeitstabelle berechnet werden (weiteres Berechnungsbeispiel: siehe Skript Seite 77) : µ = 1 k xi M N i N i=1 1 = ( ) = 1755 = Zur Ermittlung der Varianz wird wieder eine Arbeitstabelle angelegt: σ 2 = 1 N k (xi M ) 2 N i µ 2 i=1 = (8.775)2 = σ = xi M ( ) x M 2 i N i ( ) x M 2 i Ni 6 < X < X < X < X

8 2 Deskriptive Statistik 8 Die Modalklasse ist die Klasse, mit den meisten Beobachtungen je x Einheit. Wenn die x Achse so skaliert ist, dass durch die Klassenbreite dividiert wurde, besitzt die Modalklasse das höchste Rechteck des Histogramms. Das ist in diesem Fall die Klasse (8;9]. B: Übungsaufgaben [ 1 ] Für einen Datensatz vom Umfang N = 200 wurde die folgende Summenkurve für relative Häufigkeiten gezeichnet. 1.0 kumulierte relative Häufigkeit X Wieviele Elemente gibt es, deren Merkmalsausprägungen 20 sind? Wieviele Elemente gibt es, deren Merkmalsausprägungen > 20 und 50 sind? Geben Sie die Klassengrenzen der Modalklasse an:

9 2 Deskriptive Statistik 9 [ 2 ] Eine Intervalllänge in einem Histogramm betrage 2 Einheiten. 10 Elemente einer Grundgesamtheit gehören zu diesem Intervall. Dem benachbarten Intervall der Länge 5 Einheiten sind 4 Elemente zuzuordnen. a) Stellen Sie das Histogramm zunächst grafisch dar (Ordinatenbezeichnung im Histogramm: Häufigkeit/Klassenbreite). b) Fassen Sie nun beide Intervalle zusammen und zeichnen Sie die entsprechende gemeinsame Säule in die bestehende Grafik ein. c) Geben Sie die Höhe der gemeinsamen Säule an. Die Höhe der Histogrammsäule ist :

10 2 Deskriptive Statistik 10 [ 3 ] Aus einem Datensatz wurde folgendes Histogramm konstruiert: Häufigkeit / Klassenbreite Ausschank [l] Geben Sie die Häufigkeiten für alle Intervalle an: Intervall (0;1000] (1000;2500] (2500;3500] (3500;4500] Häufigkeit Wie viele Beobachtungen sind kleiner oder gleich 2500? Wie viele Beobachtungen sind größer oder gleich 3500? Wie viele Beobachtungen sind größer als 1000 und kleiner oder gleich als 3500?

11 2 Deskriptive Statistik 11 [ 4 ] Bei der Ermittlung der Betriebsgrößen in einem Industriezweig (gemessen an der Anzahl der Arbeitnehmer x in diesen Betrieben) erhielt man folgende Daten: Anzahl der Arbeitnehmer N i 0 < x < x < x < x a) Zeichnen Sie ein Histogramm (Häufigkeit / Klassenbreite) und eine Summenkurve (kumulierte Häufigkeit). b) Berechnen Sie den approximativen Mittelwert und die approximative Varianz. µ = σ 2 = [ 5 ] Zu den Daten gehört das folgende unvollständige Histogramm: Häufigkeit / Klassenbreite X Wie hoch müssen die Rechtecke über dem Intervall (10, 20] und dem Intervall (60,70] gezeichnet werden? Höhe über (10,20] = Höhe über (60,70] =

12 2 Deskriptive Statistik 12 [ 6 ] Die Häufigkeitstabelle eines Merkmals X ist unvollständig gegeben: Ferner gilt: µ = 3 a) Vervollständigen Sie die Tabelle. b) Bestimmen Sie x 3. i x i N i K i K i /N x 3 = c) Berechnen Sie die Varianz des Merkmals X : σ 2 = [ 7 ] Welche der folgenden Aussagen über qualitative Merkmale sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Zu den qualitativen Merkmalen zählen nominalskalierte und ordinalskalierte Merkmale. b) Im Gegensatz zu den nominalskalierten Merkmalen lassen sich die ordinalskalierten Merkmale ordnen. c) Die Kennzahlen Mittelwert (Erwartungswert) und Varianz sind keine vernünftigen Größen zur Beschreibung der Verteilung nominalskalierter Variablen. ( ) ( ) ( ) d) Für ein ordinalskaliertes Merkmal lässt sich eine Treppenkurve zeichnen. ( ) e) Nominalskalierte Daten sind diskret. ( )

13 2 Deskriptive Statistik 13 [ 8 ] Geben Sie für die folgenden Merkmalsausprägungen die Spannweite, den Median, das arithmetische Mittel, die Standardabweichung und den Modalwert an a) Spannweite = b) Median = c) arithmetisches Mittel = d) Standardabweichung = e) Modalwert =

14 2 Deskriptive Statistik 14 [ 9 ] Es ist folgende Summenkurve gegeben: 10 kumulierte Häufigkeit X [in Mill.] Geben Sie die Häufigkeiten für alle Intervalle an: Intervall (0;1] (1;2] (2;3] (3;4] (4;5] (5;6] Häufigkeit Berechnen Sie Näherungswerte für das arithmetische Mittel und die Varianz. µ = σ 2 = Berechnen Sie die Anzahl der Elemente in der Modalklasse:

15 2 Deskriptive Statistik 15 [ 10 ] Bei der Ermittlung der Betriebsgrößen in einem Industriezweig (gemessen in der Anzahl der Beschäftigten in diesen Betrieben) erhielt man folgendes Histogramm: Häufigkeit / Klassenbreite Anzahl der Beschäftigten pro Betrieb X Geben Sie die Häufigkeiten für alle Intervalle an: Bestimmen Sie die Modalklasse und den Median. Intervall (0;10] (10;20] (20;40] (40;60] N i K i N i /N K i /N Modalklasse = Median = Berechnen Sie Näherungswerte für das arithmetische Mittel und die Varianz. µ = σ 2 =

16 2 Deskriptive Statistik 16 [ 11 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Jedes Element der Grundgesamtheit hat einen Einfluss auf das arithmetische Mittel. ( ) b) Im Falle eines diskreten Merkmals kann das arithmetische Mittel einen Wert annehmen, der als Merkmalsausprägung nicht vertreten ist. c) Bei der Bestimmung des Medians haben Ausreißer keinen verzerrenden Einfluss auf seine Lage. ( ) ( ) d) Der Modalwert ist nicht immer eindeutig. ( ) e) Im Falle eines diskreten Merkmals kann der Modalwert einen Wert annehmen, der als Merkmalsausprägung nicht vertreten ist. ( )

17 2 Deskriptive Statistik 17 [ 12 ] Die Rückrundenspiele der Fußball-Bundesliga in der Saison 2006/2007 wurden auf die Anzahl der gefallenen Tore hin untersucht. Dabei ergab sich folgende Tabelle: Anzahl der Tore Häufigkeit a) Zeichnen Sie das entsprechende Säulendiagramm. b) Zeichnen Sie die entsprechende Treppenkurve. c) Berechnen Sie den Median, den Mittelwert und den Modalwert. a) Median = b) Mittelwert = c) Modalwert = d) In wie vielen Spielen fielen maximal 3 Tore? e) Bestimmen Sie den Anteilswert der Spiele, in denen mehr als 4 Tore erzielt wurden.

18 2 Deskriptive Statistik 18 [ 13 ] Bei der jährlichen Umsatzermittlung aller Filialen einer Kaufhauskette ergab sich die folgende kumulierte Häufigkeitstabelle: Klasse i Umsatz in Mio. Kumulierte Häufigkeit Berechnen Sie das approximative arithmetische Mittel µ. µ = Welche der folgenden Aussagen zu den jährlichen Umsatzdaten sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Der Median ist 6. ( ) b) Die relative Häufigkeit der Klasse von 6 10 beträgt ( ) c) Die absolute Häufigkeit der Klasse von ist 11. ( ) d) Die Klassenmitte der Klasse von 2 6 ist 4. ( ) e) Das arithmetische Mittel und der Modalwert beschreiben die Lage der Verteilung. ( )

19 2 Deskriptive Statistik 19 [ 14 ] Bei einer Untersuchung bezüglich des Merkmals Alter von Besuchern eines bestimmten Kinofilms in Göttingen ergab sich das folgende Säulendiagramm: Häufigkeit(N i ) Alter Bestimmen Sie den Anteil der Besucher, die... a)...älter als 18 Jahre alt waren: b)...maximal 21 Jahre alt waren. c)...älter als 21 und jünger als 23 Jahre alt waren. Berechnen Sie den Median M Z und die Spannweite des Merkmals. M z = Spannweite=

20 2 Deskriptive Statistik 20 C: Klausuraufgaben [ 15 ] II07S Gegeben sei Ihnen der Datensatz gerste, der den Ernteertrag auf 10 gleich großen Parzellen enthält. Mit R wurden die folgenden Berechnungen durchgeführt: > gerste [1] > sum(gerste) [1] 1659 > sum(gerste^2) [1] > summary(gerste) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max ? Berechnen Sie die unter summary fehlende Kennzahl für mean, sowie die Varianz in der Stichprobe und die Länge der Box eines Boxplots. a) Mean = b) Varianz = c) Länge der Box =

21 2 Deskriptive Statistik 21 [ 16 ] IV07S1 Ihnen seien folgende Informationen in Form einer Bildschirmausgabe aus R gegeben: > wuerfel<-sample(1:6,10,replace=t) > table(wuerfel) wuerfel a) Zeichnen Sie in die folgende Graphik die Treppenkurve der kumulierten relativen Häufigkeiten ein: y x b) Ermitteln Sie für die obigen Daten den Median und den Modalwert. Median = Modalwert =

22 2 Deskriptive Statistik 22 [ 17 ] II07S1 Ihnen sei die nachfolgende mit R erzeugte Bildschirmausgabe gegeben. > length(gewicht) [1] 125 > hist(gewicht, plot = F) $ breaks [1] $ counts [1] $ mids [1] Berechnen Sie die Höhe des normierten Histogramms des Datensatzes Gewicht über dem Intervall [70, 80]. Geben Sie das exakte Ergebnis an, welches eine Dezimalzahl mit vier Stellen nach dem Dezimalpunkt ist. Höhe des Intervalls=

23 2 Deskriptive Statistik 23 [ 18 ] IV07S Ein fairer Würfel wurde 10-mal geworfen. Das Ergebnis wurde in der folgenden Graphik zusammengefasst. kumulierte relative Häufigkeit Augenzahl Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Stichprobe. Arithmetisches Mittel=

24 2 Deskriptive Statistik 24 [ 19 ] IV07S Der Datensatz gerste enthält die Ernteerträge von Gerste in verschiedenen Parzellen gleicher Größe. Mit R wurde die folgende Berechnung durchgeführt: > summary(gerste) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max Benutzen Sie die vorhandenen Informationen um die Box (einschließlich der Mittellinie) eines Boxplots zu zeichnen

25 2 Deskriptive Statistik 25 D: Lösungen 1) 120; 80; (15;20] 2) 2 3) 4, 15, 8, 6; 19 ; 6; 23 4) 25; 220 5) 0.4; 0 6) 4; ) b, c, d, e 8) 16; 19; 20; 4.775; 18 9) 1, 1, 1, 2, 2, 3; 3.7; 2.76; 3 10) (10,20]; 20; 26; ) a, b, c, d 12) 3; 2.758; 2; 102; ) 4; b, d, e 14) 0.8; 0.75; 0.1; 20; 6 15) 165.9; ; 42 16) 3.5; 2 17) ) 3.9