Übungsaufgaben zur Linearen Algebra II. 1.) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel.

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1 Blatt ) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel. 3x 1 x 2 + 5x 3 = 1 x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 2.) Zeigen Sie: det = n! (n 1) ) Sei R ein Ring und F ein freier R-Modul. Zeigen Sie: Für jeden surjektiven R- Homomorphismus g : B C von R-Moduln B, C ist die induzierte Abbildung g : Hom R (F, B) Hom R (F, C), α g α, ebenfalls surjektiv. 4.) Finden Sie einen größten gemeinsamen Teiler h für die Polynome f, g Q[t] mit f(t) = t 4 + t 3 + 2t 2 2t 8, g(t) = t 4 + 2t 3 + 5t 2 + 4t und bestimmen Sie Polynome u, v Q[t] mit u f + v g = h. ( ) 5.) Zeigen Sie: Sind (n + 1) Stützstellen (x i, y i ) R 2 (i = 0, 1,..., n) gegeben und sind die x i paarweise verschieden, so gibt es genau ein Polynom p(x) = a 0 +a 1 x+ +a n x n mit p(x k ) = y k für k = 0, 1,..., n. Abgabetermin: Montag, in den Übungsgruppen.

2 Blatt ) Es seien A = und B = a) Berechnen Sie die charakteristischen Polynome χ A und χ B und die Eigenwerte von A und B. b) Berechnen Sie die Dimension der zu den Eigenwerten gehörenden Eigenräume und geben Sie jeweils eine Basis an. c) Welche der beiden Matrizen ist diagonalisierbar?. 2.) Berechnen Sie für die folgenden Matrizen die Eigenwerte und Eigenräume (K = C). ( ) ( ) ( ) i 1 + i 3,, 2 2 i 2i 2i 3 3.) Es sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und F : V V linear. Bestimmen Sie die Eigenwerte von F, falls a) es eine positive ganze Zahl m gibt mit F m = 0; b) F 0 und F 2 = F ist; c) F 2 = Id ist. 4.) Sei P 2 der R-Vektorraum der Polynome vom Grad 2 und F : P 2 P 2 definiert durch F (p) := p(0) + p(1)x + p(2)x 2 für p P 2. Geben Sie eine Basis von P 2 an, die nur aus Eigenvektoren von F besteht. ( ) 5.) Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und F : V V eine lineare Abbildung mit F 2 = Id. a) Sei K = C. Zeigen Sie, daß das charakteristische Polynom von F die Gestalt χ F (t) = (1 t) r ( 1 t) n r mit 0 r n hat und daß F diagonalisierbar ist. b) Geben Sie im Fall K = F 2 ein Beispiel, daß F nicht diagonalisierbar ist. Abgabetermin: Montag, 5.5. in den Übungsgruppen.

3 Blatt ) Diagonalisieren, oder wenn dies nicht möglich ist, trigonalisieren Sie folgende Matrizen (über C): a) A = c) C = b) B = ) Zeigen Sie: Die Abbildung Mat(n n; K) Mat(n n; K) K mit (A, B) Spur(AB) ist eine symmetrische Bilinearform auf dem Raum der (n n)-matrizen. 3.) Sei F : V V eine lineare Abbildung und U V ein F -invarianter Unterraum von V. Bezeichne G : U U die Einschränkung von F auf U und H : V/U V/U den durch F induzierten Endomorphismus des Quotientenraumes V/U. Zeigen Sie: χ F (t) = χ G (t) χ H (t) Abgabetermin: Montag, in den Übungsgruppen.

4 Blatt ) Seien F und G zwei Endomorphismen eines n-dimensionalen Vektorraums V. Es gelte F G = G F, und das charakteristische Polynom χ F (t) habe n paarweise verschiedene Nullstellen. Zeigen Sie: a) F und G sind simultan diagonalisierbar. b) Es gibt ein Polynom p(t) mit p(f ) = G. 2.) Bestimmen Sie die verallgemeinerten Eigenräume der Matrix ) Zeigen Sie: Für jede (2 2)-Matrix A gilt χ A (A) = 0. 4.) Seien A eine (n n)-matrix und S eine reguläre (n n)-matrix. Zeigen Sie, daß für jedes Polynom p(t) gilt: p(sas 1 ) = Sp(A)S 1. Abgabetermin: Montag, in den Übungsgruppen.

5 Blatt ) Seien F und G zwei Endomorphismen eines n-dimensionalen Vektorraums V. Es gelte F G = G F, und das charakteristische Polynom χ F (t) habe n paarweise verschiedene Nullstellen. Zeigen Sie: a) F und G sind simultan diagonalisierbar. b) Es gibt ein Polynom p(t) mit p(f ) = G. 2.) Bestimmen Sie die verallgemeinerten Eigenräume der Matrix ) Zeigen Sie: Für jede (2 2)-Matrix A gilt χ A (A) = 0. 4.) Seien A eine (n n)-matrix und S eine reguläre (n n)-matrix. Zeigen Sie, daß für jedes Polynom p(t) gilt: p(sas 1 ) = Sp(A)S 1. Abgabetermin: Montag, in den Übungsgruppen.

6 Blatt ) Berechnen Sie das Minimalpolynom der Matrix A = ) Sei χ A (t) = (t 2) 2 (t 5) 2 (t + 1) 3 und m A (t) = (t 2) 2 (t 5) 2 (t + 1) 2. Bestimmen Sie alle möglichen Jordanformen der (10 10)-Matrix A. 3.) Zeigen Sie, daß die Matrix B = ähnlich ist zur Matrix A aus Aufgabe 1. 4.) Sei A eine komplexe (n n)-matrix mit Eigenwerten λ 1,..., λ k. Zeigen Sie: a) Die Jordanform von A ist eindeutig bestimmt durch die Zahlen Rang((A λ i I) j ), 1 i k, j 1. b) A ist ähnlich zu A. 5.) Schreiben Sie die Matrix C = in der Form C = H + N, wobei H diagonalisierbar, N nilpotent und NH = HN ist. Abgabetermin: Montag, 2.6. in den Übungsgruppen.

7 Blatt ) Bestimmen Sie die reelle Normalform der Matrix A = ) Zeigen Sie: Ein Endomorphismus F ist genau dann diagonalisierbar, wenn m F (t) = r (t λ i ) i=1 ist mit paarweise verschiedenen λ 1,..., λ r. 3.) Sei F ein Endomorphismus des m-dimensionalen Vektorraums V und B eine Basis von V, so daß Mat B B(F ) = J m (λ) ist mit λ 0. a) Beschreiben Sie Mat B B(F 1 ). b) Wie sieht die Jordanzerlegung von F 1 aus? 4.) Sei A eine invertierbare komplexe (n n)-matrix mit charakteristischem Polynom χ A (t). Zeigen Sie: Das charakteristische Polynom von A 1 hat die Gestalt χ A 1(t) = ( 1)n t n det(a) χ A(t 1 ). Abgabetermin: Montag, 9.6. in den Übungsgruppen.

8 Blatt ) Sei ( 3 1 i A = 3i + 1 2i ). a) Bestimmen Sie die Matrix der R-linearen Abbildung L A : C 2 C 2 bezüglich der Basis e 1, e 2, ie 1, ie 2. b) Formulieren Sie ein allgemeines Ergebnis für komplexe (n n)-matrizen. 2.) Finden Sie eine Liste aller a) quadratischen Formen auf F 2 2; b) symmetrischen Bilinearformen auf F ) Beschreiben Sie alle Konjugationsklassen reeller (3 3)-Matrizen. 4.) Es sei V der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad 3 und b : V V V gegeben durch b(p, q) := 1 a) Zeigen Sie, daß b eine Bilinearform auf V ist. 1 p(t)q(t)dt. b) Bestimmen Sie die Matrizen von b bezüglich der Basen B 1 = (1, x, x 2, x 3 ) und B 2 = (1, x, x 2 1, x 3 x). c) Bestimmen Sie b(x 2 + x 3, (x 1) 3 ) mittels Matrizenrechnung. Abgabetermin: Montag, in den Übungsgruppen.

9 Blatt ) Es sei M die Menge der symmetrischen positiv definiten reellen (n n)-matrizen. a) Zeigen Sie: Für A, B M, λ [0, 1] und µ R, µ > 0 sind auch λa + (1 λ)b und µa in M. b) Beschreiben Sie die Menge M für n = 3. 2.) Sei K = C oder K = R und V ein K-Vektorraum. Eine Abbildung N : V R heißt Norm auf V, falls für alle v, w V und λ K gilt: N1 N(λv) = λ N(v). N2 N(v + w) N(v) + N(w) ( Dreiecksungleichung ). N3 N(v) = 0 v = 0. Zeigen Sie, daß die folgenden Abbildungen Normen sind. a) f : R n R, f(x 1,..., x n ) := x x 2 n. b) g : R n R, g(x 1,..., x n ) := n i=1 x i. c) h : R n R, h(x 1,..., x n ) := max{ x i, i = 1,..., n}. 3.) Welche der Normen in Aufgabe 2 kommen von einer euklidischen Metrik? 4.) Zeigen Sie, daß in einer Raute die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. 5.) Es sei q die durch q(x, y, z) = x 2 + y 2 z 2 definierte quadratische Form auf R 3. Bestimmen Sie alle total isotropen Teilräume von R 3 bezüglich q. Abgabetermin: Montag, in den Übungsgruppen.

10 Blatt ) Sei S eine quadratische Matrix. Zeigen Sie: a) S S ist symmetrisch. b) S S ist positiv definit S ist regulär. 2.) Finden Sie die Gram-Schmidt-Zerlegung der folgenden Matrizen i i a) ; b) 2i 1 i 4 2i 1 i i i 3.) Zeigen Sie, daß die Menge {( cos φ sin φ sin φ cos φ ), ( cos ψ sin ψ sin ψ cos ψ ) }, 0 φ, ψ < 2π eine Liste aller orthogonalen (2 2)-Matrizen darstellt. 4.) Sei V ein hermitescher Vektorraum der Dimension n, und sei ϕ : V V gegeben durch ϕ(v) : x x, v. Zeigen Sie: a) ϕ ist ein Isomorphismus von R-Vektorräumen. b) ϕ ist C-antilinear. ( ) 5.) Was wird aus Aufgabe 1, wenn S nicht quadratisch ist? Abgabetermin: Montag, in den Übungsgruppen.