TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathemati PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathemati für Informatier II (Sommersemester 00) Lösungen zu Aufgabenblatt (5. Juli 00) Präsenzaufgaben Aufgabe 63. Ableitungen, die fünfte. Bestimmen Sie den maimalen Definitionsbereich D und die erste Ableitung folgender Funtionen:.) f : D R mit f() log(5 + ).) f : D R mit f() log 3.) f : D R mit f() log +.) f : D R mit f() 3 (sin ).) Gegeben ist die Funtion f : D R mit f() log(5 + ). D ] 5, [. Es ist ((log f () log(5 + ) (5 + ) ) und Kettenregel).) Gegeben ist die Funtion f : D R mit f() log. D ]0, [. Es ist f () ( log ) ( ) log + ((log ) (Produtregel) log + ( log ) (( ) und (log ) ) 3.) Gegeben ist die Funtion f : D R mit f() log +. D [ e, [.Es ist f () ( log + ) (log + ) (log + ) (log + ) (log + ) für > log + e..) Gegeben ist die Funtion f : D R mit f() 3 (sin ).D R. Es ist f () ( 3 (sin ) ) ( ((sin ) ) 3 ) 3 ((sin ) ) 3 sin cos sin cos 3 für / πz. ((sin ) ) 3

2 Aufgabe 6. Gaussgloce. Die Gaussurve ist gegeben durch die Funtion f() ep( ). Berechnen die -ten Ableitungen der Funtion f an der Stelle 0, also f () (0) für alle N. Hinweis: Benutzen Sie die Taylorreihe von ep() um den Entwiclungspunt p 0. Für alle R gilt Somit gilt für alle R ep(). ep( ( ) ) ( ) a m m mit a m { ( ) m/ ( m )! für m gerade 0 für m ungerade. Die Funtion f() ep( ) ist somit als Potenzreihe darstellbar. Damit stimmt sie mit der Taylorreihe von f() um den Entwiclungspunt p 0 überein, und es gilt Koeffizientenvergleich ergibt T f () f () (0) f () (0) Anders formuliert gilt für die geraden Ableitungen: f () (0) ( ) ()! ( 0) { ( ) / ( )! f () (0) für gerade 0 für ungerade. ( ) 3 5 ( ) a. ( ) 3 5 ( ). } {{ } Fatoren Aufgabe 65. Potenzreihen..) Zeigen Sie: Die Reihe onvergiert absolut für alle R mit < und divergiert für alle R mit..) Nach Aufgabenteil.) onvergiert die Reihe für alle R mit < absolut. Wir önnen also auf D ], +[ folgende Funtion f betrachten: f : D R mit f(). Bestimmen Sie für alle D den Funtionswert f() dieser Funtion f (also die Grenzwerte der zugehörigen Reihen für alle R mit < ). Betrachten Sie dazu die durch die geometrische Reihe gegebene Funtion g :], +[ R mit g() und bestimmen Sie deren Ableitung. Verwenden Sie dabei: Konvergiert eine Potenzreihe a für ein R absolut, so ist die zugehörige Funtion an dieser Stelle differenzierbar, und es gilt: ( ) a ( a ). 3.) Bestimmen Sie die -ten Ableitungen der in Aufgabeteil.) definierten Funtion f an der Stelle 0, also f (0) für alle N. Hinweis: Taylorreihe.

3 .) Die Reihe onvergiert absolut für alle R mit <. Über D ], +[ ist somit folgende Funtion h definiert: h : D R mit h() Weisen Sie nach, dass die Reihe tatsächlich für alle R mit < absolut onvergiert, und bestimmen Sie alle Funtionswerte h() der Funtion h (also die Grenzwerte der zugehörigen Reihen). Hinweis: Betrachten Sie die Ableitung der Funtion h..) Sei R. Das Quotientenriterium ergibt für n > 0: a n+ a n (n + ) n+ n n ( + n n ). Ist <, so gibt es wegen der Konvergenz zu ε ein N, so dass für alle n N die Ungleichung ( + n ) < + ε erfüllt ist. Das Qutientenriterium ist also für β ε < erfüllt. Für < ist die Reihe damit (sogar absolut) onvergent. Für ist die Folge ( ) N eine Nullfolge, und somit ist die Reihe für divergent..) Die geometrische Reihe ist für alle R mit < absolut onvergent, und somit gilt g(). Einerseits gilt nun für die Ableitung g () von g() g () ( ), andererseits gilt Somit gilt also ( ) g () ( ) ( + ). g () ( + ) ( ). Nun önnen wir f() berechnen: f() ( + ) ( ( + ) ) ( + ) ( ) ( ). Alternativ erennt man das f() ( + ) + ( + ) g() ( ). 3.) Die Funtion f() ist als Potenzreihe gegeben. Daher muss sie notwendigerweise mit ihrer Taylorreihe (um den Entwiclungspunt p 0) übereinstimmen. Somit gilt:

4 f() T f () Koeffizientenvergleich ergibt f () (0) für alle N..) Die Reihe f () (0) ( 0) f () (0). onvergiert absolut nach dem Quotientenriterium für alle R mit <. Für die Ableitung h () der zugehörigen Funtion h() h () ( ) gilt: ( ). Aus der Vorlesung wissen wir, dass log () für > 0. Somit ist (log( )). Da eine differenzierbare Funtion bis auf Konstanten eindeutig durch ihre Ableitung bestimmt ist, folgt: h() Setzen wir 0 ein, erhalten wir Somit gilt: log( ) + C mit C R. 0 0 log( 0) + C C, und es folgt C 0. h() log( ) Anmerung: Auf diese Weise ann man zum Beispiel den Wert der alternierenden harmonischen Reihe bestimmen: ( )+ ( ) ( ) ( ) h( ) ( ) Hausaufgaben Aufgabe 66..noitnufrhemU Der hyperbolische Sinus und der hyperbolische Kosinus sind definiert durch a.) Zeigen Sie, dass (sinh ) cosh gilt. sinh : e e, cosh : e + e. b.) Weisen Sie die Gleichung (cosh ) (sinh ) nach. ( ) ( ) ( log( ( ))) log(). c.) Der hyperbolische Sinus besitzt eine Umehrfuntion, die mit arsinh bezeichnet wird. Zeigen Sie, dass gilt (arsinh ) +. ( )+ a.) Es ist ( e (sinh ) e ) ( e ( e ) ) cosh

5 b.) Algebraisches Umformen liefert (cosh ) (sinh ) ( e + e ) ( e e ) e + e e + e (e e e + e ) e e. c.) Nach dem Satz über die Umehrfuntion gilt allgemein f () f (f ()). Nach Aufgabenteil b.) ist cosh (sinh ) +. Also ist (arsinh ) cosh(arsinh ) (sinh(arsinh )) + + Aufgabe 67. Taylorreihe. Bestimmen Sie die Taylorreihe der Funtion um den Entwiclungspunt p. f : R + R + mit f() Es gilt, eine Formel für die -te Ableitung von f an der Stelle p zu finden, also für f () (p). Dann wird p gesetzt und die Formel für die Taylorreihe T f () f (0) (p) 0! ( p) 0 + f () (p)! ( p) + f () (p) ( p) +! f () (p) ( p) verwendet. Um ein Bildungsgesetz für f () () zu erraten, berechnet man oft zunächst die ersten Ableitungen und versucht dann, daraus eine Formel für allgemeines N abzulesen. Die gefundene Formel ist dann noch per vollständiger Indution zu beweisen. Wir nehmen hier das Bildungsgesetz als Anlass für eine Definition: f (0) () f() f () () f () f () () f () ( ) f (3) () f () ( ) ( ) f () () ( ) ( ) ( ) Für α R und N definieren wir reursiv ( ) ( ) ( ) α α α α ( ) : und : 0 α (α ) (α ( )) für 0 ( ) n Man beachte, dass diese Definition für α n IN mit der bisherigen Definition der Binomialoeffizienten ( ) n übereinstimmt. Für N mit > n IN ergibt sich 0, weil die Null auch als Fator vorommt. Dies gilt für

6 reelle α R nicht mehr! Mit dieser Definition ergibt sich der -te Tayloroeffizient als und die Taylorreihe T f () f () () ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) 8 ( ) + 6 ( )3 5 8 ( ) ± Ergänzung (geht über den Vorlesungsstoff hinaus): Hat man die Taylorreihe zu einer Funtion gefunden stellen sich noch zwei Fragen:. Für welche Werte von onvergiert die Taylorreihe?. Konvergiert dort die Taylorreihe auch gegen die Funtion f? zu. Quotientenriterium: ) ( ) + ( ) ( ) ( + +. Die Reihe onvergiert also zumindest, falls ]0, [, denn dann ist <. zu. Um das zu zeigen muss das Restglied des n-ten Taylorpolynoms, r n (), definiert durch gegen 0 onvergieren. Dann gilt nämlich T f () lim f() T n f () + r n (), n T n f () f(). Wir zeigen dies hier nur für < : Das n-te Restglied ann laut Vorlesung zu festem geschrieben werden als r n () f (n+) ( (β) ) (n + )! ( )n+ β n ( ) n+, n + wobei für jedes n das β aus dem Interval [, ] gewählt werden ann. Es gilt ( ) 0 < und ( ) n n+ n ( ) ( ) n < n. Da ausserdem β, gilt für [, [. r n () ( ) n+ 0 ( n ) < für alle n N, da Aufgabe 68. Abi 00. Gegeben ist die Funtion f :]0, [ R mit f() log ( ). a.) Berechnen die Nullstellen von f, und untersuchen Sie das Verhalten von f für 0 und für. b.) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f. c.) Zeigen Sie, dass der Graph von f puntsymmetrisch zum Punt (, 0) ist. d.) Berechnen Sie f( ), und zeichnen Sie den Graph von f unter Berücsichtung der bisherigen Ergebnisse. e.) Die Funtion f besitzt die Umehrfuntion g. Bestimmen Sie diese. Zeichnen Sie g in das Koordinatensystem der Teilaufgabe d.) ein, und berechnen Sie g. Diese Aufgabe war tatsächlich (mit einigen leineren Änderungen) eine Aufgabe des Zentralabiturs 00 im Freistaat Bayern. a.) f() 0. Also ist die einzige Nullstelle. Da lim 0 + ist und lim log + ist, ergibt sich lim f() Da lim 0 ist und lim log ist, ergibt sich lim f(). 0

7 b.) Das Monotonieverhalten von f lässt sich an dem Vorzeichen der Ableitung f () ( ) ( ) ablesen. Im Intervall ]0, [ ist f () < 0. Also ist die Funtion f im gesamten Definitionsbereich streng monoton fallend. c.) Eine Funtion g ist puntsymmetrisch zu (0, 0), wenn g() g( ) gilt. Um Puntsymmetrie zu (, 0) zu zeigen, muss die Gleichung f( + ) f( + ) nachgewiesen werden: Einerseits gilt ( ) f( + ) log + ( ) log. + Andererseits gilt ( ) f( + ) log + ( ) + log ( ) log. + d.) Es ist f( ) log 7.96 und der Graph von f sieht wie folgt aus: e.) Die Umehrfuntion g von f bestimmen wir, indem wir die Gleichung f(g()) nach g() auflösen: ( f(g()) ) log g() g() e g() +e.

8 Die Ableitung der Umehrfuntion ist g () g()( g()) f (g()) Natürlich ann man das hier auch diret ausrechnen: ( ) g () + e e ( + e ). Der Graph von g sieht wie folgt aus: +e ( +e ) e ( + e ).