Mathematik-Vorkus WS 2015/ Dilay Sonel

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1 Mathematik-Vorkus WS 2015/ Dilay Sonel

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3 Themenüberblick I Grundrechenarten & -regeln Bruchrechnen Binomische Formeln Rechnen mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmus Summen- und Produktzeichen Folgen und Reihen Geometrische Folge / Reihe Lineare Gleichungen lösen Funktionsbegriff Darstellung von Funktionen

4 Themenüberblick II Definitions- und Bildmenge Lineare Funktionen Quadratische Funktionen lösen Quadratische Ergänzung Mitternachtsformel Umkehrfunktion Stück-/ Abschnittsweise definierte Funktionen Grenzwert Betrag / Betragsfunktion

5 Grundrechenarten 1) Addition Summand + Summand = Summe Beispiel: = 8 2) Subtraktion Minuend Subtrahend = Differenz 6 2 = 4 3) Multiplikation Multiplikand Multiplikator = Produkt 6 2 = 12 4) Division (Bruchrechnen) = Quotient = 3

6 Rechenregeln 1) Punkt- vor Strichrechnung : 2 = = 30 2) Klammern zuerst berechnen 5 (4 2) = 5 2 = 10 Bei geschachtelten Klammern von innen nach außen rechnen: (4 (2 3) 5) = (4 6 5) = 4 30 = -26 3) Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. (x 4)(x + 2) = 0 x = 4; x = -2 4) Die Division durch 0 ist in keinem Fall erlaubt! ist erlaubt, aber ist strengstens verboten!!!

7 Grundregeln der Multiplikation 1) Kommutativgesetz a b = b a Beispiel: 2 4 = 4 2 = 8 2) Assoziativgesetz (a b) c = a (b c) Beispiel: (2 4) 3 = 8 3 = 24 ; 2 (4 3) = 2 12 = 24 3) Distributivgesetz (ausmultiplizieren/ausklammern) a (b + c) = a b + a c Beispiel: 2 (3+4) = 2 7 = 14 ; = = 14 Folgerung: (a + b)(c + d) = a(c + d) + b (c + d) = ac + ad + bc + bd Beispiel: (2 + 5)(3 + 1) = 7 4 = = = 28

8 Bruchrechnen I äh 1) Kehrbruch: Zu jedem Bruch gibt es einen Kehrbruch. Dabei gilt: = 1 2) Erweitern: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl c 0 multipliziert. = Beispiel: = = 3) Kürzen: Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl c 0 dividiert. = Beispiel: = =

9 Bruchrechnen II 4) Strichrechnungen: Brüche mit gleichem Nenner ± = ± Beispiel: + = + Brüche mit unterschiedlichen Nennern = ± = ± = ± Beispiel: + = + = + = 5) Punktrechnungen: Multiplikation: Nenner mal Nenner, Zähler mal Zähler = a = Division: Mit dem Kehrbruch multiplizieren. : = =

10 Bruchrechnen III 6) Doppelbrüche: Können mit einem Kehrbruch aufgelöst werden. = : = = Beispiel: 9 = : = = = 7) Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen = =, und nicht!!! 8) Gemischte Brüche Problem : Kann als Produkt missverstanden werden! Beispiel: 3 = + =

11 Binomische Formeln 1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b² (a + b)² = (a+b)(a+b) = a(a+b) + b(a+b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b² 2. Binomische Formel: (a b) ² = a² - 2ab + b² (a b) ² = (a b)(a b) = a(a-b) b(a-b) = a² - ab ba + b² = a² - 2ab + b² 3. Binomische Formel: (a + b)(a b) = a² - b² (a + b)(a b) = a(a b) + b(a b) = a² - ab + ba b² = a² - b²

12 Potenzgesetze I 1) Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert/dividiert, indem man die Exponenten addiert/subtrahiert und die Basis beibehält: = + = 2) Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert/dividiert, indem man das Produkt/den Quotient der Basen mit dem gemein-samen Exponenten potenziert: = =

13 Potenzgesetze II 3) Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält: = 4) Sinnvolle Festlegungen bei a 0: = = = 5) Die n-te Potenz einer negativen Zahl ist bei geradem Exponenten n positiv, bei ungeradem Exponenten n negativ: = 1, gerades n -1, ungeraes n

14 Zusammenfassung Potenzgesetze Gibt es bei einem Term keine Übereinstimmung von Basis oder Exponent, lässt sich der Term nicht vereinfachen! Potenzen können nur addiert werden, wenn Basis und Exponent übereinstimmen!

15 Wurzeln I Suche nach der Basis einer Potenz: = a x = Die Wurzel ist die nicht-negative Lösung der Gleichung x n = a. Beispiel: = 16 x =± = ± 4 zweideutiger Rechenausdruck Acht Möglichkeiten!

16 Wurzeln II Für das Rechnen mit Wurzeln gilt:

17 Logarithmus Suche nach dem Exponenten einer Potenz: = x n = log Der Logarithmus einer Zahl x zur Basis a ist die Zahl n, mit der man a potenzieren muss, um x zu erhalten. Dabei gilt: Das Argument des Logarithmus muss immer positiv sein! Für jedes a gilt log = 0, da = 1.

18 Natürlicher Logarithmus Besondere Basis: e (die eulersche Zahl 2, )

19 Dekadischer Logarithmus / Zehnerlogarithmus Besondere Basis: 10 10n = a n = log 10 a = lg a Formel zur Umformen des ZahlenLogarithmus in den Zehnerlogarithmus : Beachten zur Eingabe in den Taschenrechner!

20 Zusammenhang Potenzen, Wurzeln, Logarithmus

21 Das Summenzeichen Summiere alle Ausdrücke q i auf, wobei der Parameter i alle natürlichen Zahlen von 0 bis n durchläuft. Dabei gilt:

22 Rechenregeln für Summen Summen können in Summanden aufgeteilt Werden Faktoren können vor die Summe gezogen werden.

23 Das Produktzeichen Analog bietet das Produktzeichen die Möglichkeit, ein Produkt vereinfacht darzustellen: Multipliziere alle Ausdrücke a i, wobei der Parameter i alle natürlichen Zahlen von 1 bis n durchläuft.

24 Folgen Eine Folge (genauer: Zahlenfolge) ist eine Auflistung von Zahlen, deren Reihenfolge festgelegt ist. Die einzelnen Zahlen der Folge nennt man Glieder. Das erste Glied (d.h. die erste Zahl) der Folge heißt, das zweite,..., das n-te Glied heißt. Beispiel: (1, 7, 4, 21, 16, ), wobei =1; =7; =4; Für einige Folgen kann man die Vorschrift angeben, nach der die einzelnen Glieder berechnet werden. Für andere Folgen ist das nur schwer möglich oder unmöglich. Beispiel: (1, 2, 4, 8, 16, ) Das zugehörige Bildungsgesetz lautet: = für n 1

25 Übung zu Folgen 1. Schreiben Sie die Werte der nächsten drei Glieder folgender Zahlenfolgen auf. a) f(n) = 1; 4; 9; 16; b) f(n) = 0; 4; 8; 12; 16; 2. Finden & formulieren Sie das Bildungsgesetz für die jeweilige Folge.

26 Folgen & Reihen Gegeben sei eine Zahlenfolge N. Die Summe der ersten n Folgenglieder wird mit s n bezeichnet: s n = =. Die Zahlenfolge N heißt nun die (endliche) Reihe zu. Die einzelnen Folgenglieder der Zahlenfolge N bestehen also aus Summen über Folgenglieder der Zahlenfolge N. Beispiel: n a n s n

27 Geometrische Folge / Reihe Eine geometrische Folge ist durch ein Bildungsgesetz der folgenden Form charakterisiert: =. Beispiel: Für = 2 und q=3 ergibt sich: = 2 = 6 = 2 = 2 9 = 18 = 2 = 2 27 = 54 Für die Summe der ersten n Folgenglieder einer geometrischen Folge ergibt sich: = +. Die Folge der nennt man geometrische Reihe. Für = 1 ergibt sich: = = +.

28 Geometrische Reihe Herleitung der Formel für n = 3: S= = = = + S= S q = S q S = S q S = - 1 S(q-1) = - 1 S = 1 => = = + 1

29 Lineare Gleichungen lösen I Beispiel: 10x 2(5x + 7) = -2 (2-x) 1) Auf beiden Seiten Klammern & Brüche auflösen: 10x 10x 14 = x 2) Gleichartige Glieder zusammenfassen: -14 = x 3) Addiere/Subtrahiere so, dass alle Variablen auf der linken und alle absoluten Werte auf der rechten Seite stehen und weiter zusammengefasst werden können: -2x = 10

30 Lineare Gleichungen lösen II 4) Multipliziere/Dividiere so, dass die Variable isoliert wird: x = -5 Jede auf eine Gleichung angewendete Operation muss auf beide Seiten der Gleichung angewendet werden! 3 mögliche Fälle: 1. Unendlich viele Lösungen, falls sich 0 = 0 ergibt. (d.h. Gleichung gilt für alle x R) 2. Nicht lösbar bei Widerspruch rechte Seite unterscheidet sich von der linken. 3. Eindeutige Lösung mit x =a.

31 Zusammenfassung Schritte zur Lösung einer linearen Gleichung: 1) Auf beiden Seiten Klammern & Brüche auflösen. 2) Gleichartige Glieder zusammenfassen. 3) Addiere/Subtrahiere so, dass alle Variablen auf der linken und alle absoluten Werte auf der rechten Seite stehen und weiter zusammengefasst werden können. 4) Multipliziere/Dividiere so, dass die Variable isoliert wird.

32 Funktionsbegriff Eine Funktion f(x) ist eine eindeutige Zuordnung der Elemente zweier Mengen. Dabei wird jedem Element x aus einer Definitionsmenge D genau ein Element y aus der Wertemenge W zugeordnet. Mögliche Darstellungen von Funktionen: 1) Funktionsgleichung f(x) 2) Graph im Koordinatensystem 3) Wertetabelle 4) Pfeildiagramm

33 Darstellung von Funktionen Besitzt der Definitionsbereich einer Funktion nur endlich viele Elemente, kann die Funktion durch eine Wertetabelle festgelegt werden. Beispiel: D = {1,2,3,4} Weitere Darstellungen für endliche Definitionsbereiche:

34 Definitions- und Bildmenge Die Definitionsmenge D enthält alle Zahlen, die für x eingesetzt werden dürfen. Überlegungen zur Definitionsmenge: Die Bildmenge B beinhaltet alle Zahlen, die beim Einsetzen von Zahlen in x herauskommen.

35 Lineare Funktionen I Dies ist eine Zuordnung, bei der jedem x das dazugehörige y zugeordnet wird. Das heißt: Zu jedem beliebigen x-wert lässt sich der y-wert ermitteln und man bekommt einen Punkt(x y) des Graphen der Funktion.

36 Lineare Funktionen II Lineare Funktionen sind eindeutig festgelegt durch: 1) Gleichung: y = ax + b oder 2) 2 Punkte: ax1+ b = y1 ax2+ b = y2 oder P(x 1 y 1) Q(x 2 y 2) 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten => damit liegen a & b fest 3) Steigung a und einen Punkt P(x 1 y 1): ax1+ b = y1 Gleichung nach b umstellen Schnittpunkte mit den Achsen: Schnittpunkte mit der y-achse: x = 0 Schnittpunkte mit der x-achse ( Nullstellen ): y = 0 Schnittpunkte zweier Geraden: Geraden gleichsetzen und nach x auflösen. Für Schnittpunkt: x-wert in eine Geradengleichung einsetzen und y-wert berechnen

37 Reinquadratische Gleichungen (a 0) Die reinquadratische Gleichung geht durch äquivalente Umformungen über in: Beispiel: - 81 = 0 = 81 x 1 = 9; x 2 = ist also null, wenn x entweder 9 oder -9 ist. Die Lösungsmenge ist also L = 9; 9

38 Spezielle Quadratische Gleichungen (a 0) Die spezielle quadratische Gleichung geht durch Ausklammern von x über in: x(ax + b) = 0 Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist! x 1 = 0; x 2 = - Beispiel: + 3x = 0 x(5x+3) = 0 x 1 = 0; x 2 = -

39 Allgemein Quadratische Gleichungen Die allgemein quadratische Gleichung wird durch quadratische Ergänzung gelöst: Binomische Formel!

40 Die Mitternachtsformel Hieraus ergibt sich die Mitternachtsformel/Abc-Formel, mit der allgemein quadratische Gleichungen gelöst werden können:

41 Übersicht: Quadratische Gleichungen lösen Lösung durch:

42 Die pq-formel Zur Lösung von + px + q = 0 (a=1) kann auch (alternativ zur abc-formel) die pq-formel angewendet werden: Diese Formel kann immer angewendet werden. Unter Umständen muss zunächst durch a geteilt werden: a + bx + c = 0

43 Quadratische Funktionen I

44 Quadratische Funktionen II

45 Quadratische Funktionen III Scheitelform mit Hilfe der quadratischen Ergänzung:

46 Umkehrfunktion Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jedem y-wert nur ein x-wert zugeordnet ist. Die Umkehrfunktion wird mit f -1 bezeichnet. Die Gleichung der Umkehrfunktion von f gewinnt man, indem man die Gleichung y = f(x) nach x auflöst und die Bezeichnungen y und x vertauscht. Die Graphen der Funktion y = f(x) und ihrer Umkehrfunktion y = f -1 (x) liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x.

47 Stück-/ Abschnittsweise definierte Funktionen Bisher waren die behandelten Funktionen (abgesehen von Definitionslücken) auf ganz R definiert. Funktionen können auch nur für ein bestimmtes Intervall definiert sein oder stück- bzw. abschnittsweise aus verschiedenen Teilfunktionen zusammengesetzt sein: f(x) = x + 2 für x<-1 2 für -1 x < 3 3x 7 für x 3

48 Übungsaufgaben Zeichnen Sie folgende abschnittsweise definierte Funktion in ein Koordinatensystem ein: f(x) = -2x - 1 für x<-1 1 für x -1

49 Übungsaufgaben Zeichnen Sie folgende abschnittsweise definierte Funktion in ein Koordinatensystem ein: f(x) = 4 für x<-2-2x für -2 x< 0 x für 0 x< 3 3 für x 3

50 Grenzwert Der Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle bezeichnet denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Interessante Stellen sind: Verhalten Richtung Verhalten Richtung Verhalten an Definitionslücken Wertetabelle spiegelt Kurvenverlauf wider. Betrachtung durch Einsetzen naheliegender Werte für x.

51 Betrag(-sfunktion) Der absolute Betrag einer reellen Zahl x ist definiert durch: Den absoluten Betrag einer reellen Zahl erhält man also durch Weglassen des Vorzeichens. Auf der Zahlengerade bedeutet der Betrag den Abstand der gegebenen Zahl von Null. Verlauf der Betragsfunktion y = auf R:

52 Fragerunde

53 Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit und viel Erfolg im Studium!!!