Box-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8

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1 . Aufgabe: Für zwei verschiedene Aktien wurde der relative Kurszuwachs (in % beobachtet. Aus den jeweils 20 Quartaldaten ergaben sich die folgenden Box-Plots. Box-and-Whisker Plot Aktie Aktie 2-0,2 0,8,8 2,8,8 4,8 Vergleichen Sie die Box-Plots der relativen Kurszuwächse der beiden Aktien bezüglich der Lage und der Streuung. Welche Gründe sprechen, aufgrund der Box-Plots dafür, sich für die Aktie zu entscheiden, und welche dagegen? Bei der Aktie sind meistens geringere relative Kurszuwächse beobachtet worden als bei der Aktie 2. So liegt der maximale Wert bei Aktie unter dem Median von Aktie 2. Die Streuung (der relativen Kurszuwächse ist bei der Aktie deutlich geringer als bei der Aktie 2. Für die Aktie spricht die geringere Streuung, sie ist aus dieser Sicht also sicherer. Jedoch sind bei der Aktie geringere relative Kurszuwächse zu erwarten. 2. Aufgabe: Die zufällige wöchentliche Rendite einer Aktie sei mit X bezeichnet. Man kann annehmen, dass diese Rendite normalverteilt ist mit Erwartungswert 0,5% und Standardabweichung 2,5%. (a Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die wöchentliche Rendite über % liegt? (b In welchem Intervall symmetrisch zum Erwartungswert liegt die wöchentliche Rendite mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9? X N (0, 5; 2, 5 2, d.h. EX = µ = 0, 5 und VarX = σ = 2, 5. (a P (X > = ( X µ P > 0, 5 σ 2, 5 = P (Z > 0, 2 = P (Z 0, 2 Z N (0, = Φ(0, 2 = 0, 579 = 0, 42

2 (b P (µ k < X < µ + k = 0, 9 ( ( k k Φ Φ = 0, 9 2, 5 2, 5 ( k 2 Φ = 0, 9 2, 5 ( k Φ = 0, 95 2, 5 k 2, 5 = z 0,95 =, 64 = k = 4, Intervall: [µ k; µ + k] = [, 6 ; 4, 6]. Aufgabe: Die folgende Tabelle zeigt die 5 größten Länder in der Produktion von Naturdiamanten in den Jahren 2000 und (Angaben in 000 Karat Land Russland Kongo 7,5,5. Botswana 24,5 2,5 4. Australien 26,5 5,5 5. Kanada 2,5 5 Der Ginikoeffizient im Jahr 2008 ist 0,86. Bestimmen Sie den Ginikoeffizienten für das Jahr Interpretieren Sie kurz die Veränderung des Gini-Koeffizienten vom Jahr 2000 auf das Jahr G = n ( i x i i x k k= v i 2,5 2,5 0, ,5 20 0,200 24,5 44,5 0, ,5 7 0, ,000 vi = 2, v i i= = (2 2, 8 = 0, Der Ginikoeffizient war im Jahr ,248 und hat sich im Jahr 2008 auf 0,86 verringert. Die Konzentration hat also abgenommen. Die Verteilung der Anteile der 5 Länder kommt einer Gleichverteilung (G=0 näher.

3 4. Aufgabe: Eine Versicherung teilt die Kunden in Risikoklassen ein. In der ersten Risikoklasse sind 50% der Kunden, in der zweiten 0%, und die restlichen 20% befinden sich in der. Risikoklasse. Innerhalb eines Jahres tritt ein Schaden bei Kunden in der ersten Risikoklasse mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,00, in der zweiten mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,05 und in der dritten mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, ein. (a Unter allen Kunden wird einer ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei diesem Kunden ein Schaden eintritt? (b Bei einem der Kunden ist ein Schaden eingetreten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde zur 2. Risikoklasse gehört? A i - Risikoklasse i, i =,.., : P (A = 0, 5, P (A 2 = 0, und P (A = 0, 2. S - Schaden: P (S A = 0, 00; P (S A 2 = 0, 05 und P (S A = 0,. (a (b P (S = P (S A i P (A i i= = 0, 5 0, , 0, , 2 0, = 0, 055 d.h., 55%. P (A 2 S = P (S A 2 P (A 2 P (S 0, 05 0, = = 0, 4225 d.h. 42, 25%. 0, Aufgabe: Auf einem Markt von 27 Unternehmen befinden sich 7 innovative Unternehmen. Drei der 27 Unternehmen sollen mit einem Innovationspreis ausgezeichnet werden. Dem Gutachter sind die Unterlagen abhanden gekommen. Um die Preisverleihung nicht ausfallen zu lassen, wählt er zufällig der 27 Unternehmen für den Preis aus. (a Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den Preisträgern mindestens ein innovatives Unternehmen ist? (b Wie groß ist die erwartete Anzahl der innovativen Unternehmen unter den Preisträgern? (c Mit X sei die zufällige Anzahl der innovativen Unternehmen (unter den Preisträgern bezeichnet. Wie groß ist die Verteilungsfunktion von X an der Stelle 2,7? X - die zufällige Anzahl der innovativen Unternehmen (unter den Preisträgern ist hypergeometrischverteilt mit N = 27, M = 7 und n =. (a P (X = P (X = 0 = ( 7 ( 0 20 ( 27 = 40 = 0, 897 = 0,

4 (b (c EX = n M N = 7 9 = 0, 78 F X (2, 7 = P (X < 2, 7 = P (X 2 = P (X > 2 ( 7 ( = P (X = = 20 0 ( 27 = 5 = 0, 020 = 0, Aufgabe: Ein Fußballspiel wird mit 2 alten Kameras aufgezeichnet. Jede dieser Kameras fällt unabhängig von den anderen Kameras mit einer Wahrscheinlichkeit von % aus. (a Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als eine Kamera ausfällt. (b Die Lebensdauer einer neuen Kamera ist exponentialverteilt mit Erwartungswert 7 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebendauer der neuen Kamera höchstens 2 Jahre ist? (a X - die zufällige Anzahl der Kameras, die ausfallen, ist binomialverteilt mit n = 2 und p = 0, 0. P (X > = P (X = (P (X = 0 + P (X = (( ( 2 2 = 0, 0 0 0, , 0 0, 97 0 = (0, , 2575 = 0, 049 d.h. 4, 9%. (b Y - die zufällige Lebensdauer ist exponentialverteilt. Y Exp(λ, EY = 7 = λ = λ = 7. P (Y 2 = F Y (2 = e λ 2 = e 2 7 = 0, Aufgabe: (a Für eine Stichprobe wird angegeben: Die Spannweite ist 0, der Quartilsabstand 8, das untere Quartil 4 und der maximale Stichprobenwert 5. Warum können diese Angaben nicht stimmen? Die Spannweite ist 0 und der maximale Stichprobenwert 5, damit müsste der minimale Stichprobenwert 5 sein. Damit kann das untere Quartil nicht 4 sein. Die Angaben sind also widersprüchlich und können so nicht stimmen.

5 (b Für zwei Ereignisse A und B wurden folgende Wahrscheinlichkeiten bestimmt: P (A B = 0, ; P (A B = 0, 9 ; P (A B = 0, 6 und P (A B = 0,. Warum können diese Angaben nicht stimmen? Aus P (A B = 0, folgt P (A B = P (A B = 0, 7. Andererseits gilt nach der Regel von de Morgan: A B = A B und damit P (A B = P (A B = 0, 6. Das ist aber ein Widerspruch. In den Teilaufgaben (c und (d ist jeweils eine Aussage falsch. Finden Sie diese Aussage. Falsche Aussage. (c i Die Binomialverteilung ist Grenzwert der hypergeometrischen Verteilung. ii Die Poissonverteilung ist Grenzwert der Binomialverteilung. iii Die Poissonverteilung ist Grenzwert der Normalverteilung. iv Die Normalverteilung ist Grenzwert der Binomialverteilung. (d Die Zufallsgröße X sei gleichverteilt auf [0, 2], d.h. X U[0, 2]. i P (X < = 0, 5. ii P (0, 4 X, 6 = 0, 6. iii P (X = 0, 7. iv P (X, 6 = 0, 8. In den Teilaufgaben (e und (f ist jeweils eine Aussage falsch. Finden Sie diese Aussage und begründen Sie die Fehlerhaftigkeit kurz. Falsche Aussage. Begründung. (e Es sei X normalverteilt mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2, d.h. X N (µ, σ 2. (f i Je größer σ, desto flacher die Dichtefunktion. ii Je größer µ, desto steiler steigt die Dichtefunktion. Ein Vergrößerung vom Erwartungswert µ verändert die Lage der Dichtefunktion, nicht aber deren Form. iii Das Maximum der Dichtefunktion wird bei µ angenommen. iv Die Fläche unter der Dichtefunktion ist Eins. i Bei gleichen Schichtstärken werden durch eine varianzoptimal geschichtete Stichprobe weniger Elemente aus den Schichten mit großen Varianzen gewählt.wie man aus der Formel für die varianzoptimal geschichtete Stichprobe erkennen kann (gleiche Schichtenstärken bei k-schichten: p i = k n i = n p i σ i = p j σ j n k σ j k σ i = n σ i σ j ist der Stichprobenumfang n i in der i-ten Schicht proportional zur Standardabweichung σ i in der i-ten Schicht. In Schichten mit großen Varianzen werden also mehr Elemente gewählt als in Schichten mit kleinen Varianzen. ii Bei gleichen Schichtstärken werden durch eine varianzoptimal geschichtete Stichprobe weniger Elemente aus den Schichten mit kleinen Varianzen gewählt. iii Eine proportional geschichtete Stichprobe ist eine varianzoptimal geschichtete Stichprobe, wenn alle Schichtvarianzen gleich sind. iv Eine varianzoptimal geschichtete Stichprobe ist eine proportional geschichtete Stichprobe, wenn alle Schichtvarianzen gleich sind.

i x k k=1 i u i x i v i 1 0,2 24 24 0,08 2 0,4 30 54 0,18 3 0,6 54 108 0,36 4 0,8 72 180 0,60 5 1,0 120 300 1,00 2,22 G = 1 + 1 n 2 n i=1

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