1. Statistische Grundlagen: Überblick

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1 1. Statistische Grundlagen: Überblick Stichwörter: Messprozess, Bias, Präzision, Grundgesamtheit, Stichprobe, Stichprobenrahmen, systematische Stichprobe, einfache Stichprobe, geschichtete Stichprobe, Zufallszahlen, Stichprobenfehler, Konfidenzintervall, Test, Stichprobenumfang. Literatur: Hackl & Katzenbeisser, Statistik für Sozial- und Wirtschaftswissenschaften: Kap. 9: Konzepte der statistischen Inferenz; Kap. 10.1: Das Lageproblem. Ledolter & Burrill, Statistical Quality Control: Kap. 6: Measurements and Their Importance for Sampling; Kap. 9: Sample Surveys; Kap. 10: Statistical Inference under Simple Random Sampling. Basis jeder Entscheidung in den Bereichen von Produktion und Dienstleistung sind Daten und die entsprechenden statistischen Verfahren zur Entscheidungsfindung. Dieses Kapitel behandelt, aufbauend auf dem Stoff der Lehrveranstaltungen aus Statistik in der Studieneingangsphase, im ersten Teil die Verfahren der Datenerhebung und anschließend einige Konzepte aus dem Bereich der schließenden Statistik, die für die weiteren Kapitel bedeutsam sind. Eine Übersicht über statistische Verfahren gibt der Anhang. 1 Das Gewinnen von Daten 1.1 Messen Messungen sind das Ergebnis eines Messprozesses mit (a) Messinstrumenten (b) Messverfahren (c) messenden Personen Beispiele: Gemessen werden (A) die Länge eines Tisches, (B) die Länge eines Eies, (C) die Härte von Stahl, (D) die Zufriedenheit des Käufers eines PKW. Kriterien für die Qualität von Messungen

2 systematischer Fehler (bias, Bias) Präzision Reproduzierbarkeit Stabilität Problembereiche für hohe Datenqualität Deming (Out of the Crisis, 1986): Clear operational definitions soziale Faktoren, welche die Messung beeinflussen Relevanz der Daten für die Fragestellung Prozessorientierung (Produktions-)prozess Prozessvariabilität Messvariabilität 1.2 Die Datenerhebung (survey) Vollerhebung (census) ist das Erheben der interessierenden Information für jedes Element der Grundgesamtheit. Gebräuchlicher sind Erhebungen auf Basis einer Stichprobe. Die wesentlichen Begriffe im Zusammenhang mit Stichproben sind: Grundgesamtheit oder Population (Umfang N; N ist meist sehr groß) Stichprobenrahmen (Liste aller Elemente der Grundgesamtheit) Stichprobe (Umfang n; n ist meist klein) Auswahl der Stichprobe (Wahl der n Stichprobenelemente) Auswahl ohne Zufallsmechanismus (non-probability sample survey) Auswahl nach dem Zufallsprinzip (probability sample survey) Methoden der Auswahl ohne Zufallsmechanismus

3 Bequemlichkeits-Stichprobe (convenience sampling) Systematische Stichprobe Methoden der Auswahl nach dem Zufallsprinzip Einfache Zufallsstichprobe (simple random sample) Geschichtete Zufallsstichprobe (stratified random sample) Systematische Zufallsstichprobe Clusterstichprobe Einfache Zufallsstichprobe Eine einfache Zufallsstichprobe liegt vor, wenn jede mögliche Stichprobe (vom gegebenen Umfang n) die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, gezogen zu werden. Beispiel 1: Einfache Zufallsstichprobe. Die Grundgesamtheit mit den Elementen {a, b, c, d, e} hat den Umfang N = 5. Folgende 10 Stichproben vom Umfang n = 2 sind möglich: {a, b}, {a, c},..., {a, e},..., {d, e}. Methoden, eine einfache Zufallsstichprobe zu ziehen sind: (a) Eine Urne enthält zehn Zettel; auf jedem steht eines der zehn Paare. wählen zufällig einen Zettel aus. Wir (b) Eine Urne enthält fünf Zettel mit den fünf Buchstaben; wir wählen zufällig zwei Zettel (ohne Zurücklegen) aus. (c) Wir verwenden Zufallszahlen. Zufallszahlen In vielen Büchern zu statistischen Verfahren sind Tabellen von Zufallszahlen enthalten; z.b. in Ledolter & Burrill, S.233; in Hackl & Katzenbeisser, S Statistik-Software enthält oft Programme zum Erzeugen von Pseudozufallszahlen. Auch in EXCEL stehen Routinen zum Erzeugen von diskreten Pseudozufallszahlen und von Zufallszahlen verschiedener Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Verfügung. Sie können aufgerufen werden unter Extras Analyse-Funktionen Zufallszahlengenerierung Diskrete Verteilung.

4 Beispiel 2: Erzeugen von Zufallszahlen. Aus einer Grundgesamtheit von N = 81 Personen sollen n = 3 zufällig ausgewählt werden. Welche der in Beispiel 1 genannten Möglichkeiten bietet sich an? Beispiel 3: Erzeugen von Zufallszahlen. Wie Beispiel 2 mit N = 5276 und n = 100. Vor-/Nachteile der einfachen Zufallsstichprobe A Vorteile: Ergebnisse haben keinen systematischen Fehler (Bias); sie sind unverzerrt kontrollierter Stichprobenfehler B Nachteil: in Praxis nicht leicht realisierbar, oft aufwendig Erhebungsfehler: Statistische Ergebnisse können als Folge von Fehlern im Erhebungsprozess, im Rahmen der Datenaufbereitung und bei der Auswertung fehlerhaft sein. Bei den Fehlern im Erhebungsprozess unterscheiden wir Reine Stichprobenfehler (pure sampling error): Variation des Ergebnisses dadurch, dass bestimmte Elemente ausgewählt werden; der Fehler ist durch ein Streuungsmaß quantifizierbar. Nicht-Stichprobenfehler (non-sampling error): Effekte von schlechter Repräsentation der Grundgesamtheit, von Problemen der Erhebungstechnik, der beteiligten Personen, von schlechter Fehlerkontrolle, etc.; kaum quantifizierbar, meist schlecht kontrollierbar Geschichtete Zufallsstichprobe Die Grundgesamtheit wird in Schichten zerlegt; innerhalb jeder Schicht wird eine Zufallsstichprobe gezogen. Der Vorteil gegenüber der einfachen Zufallsstichprobe ist der reduzierte Stichprobenfehler: Voraussetzung ist, dass innerhalb der Schichten geringere Variabilität besteht als in der Grundgesamtheit.

5 Beispiel 4: Einkommen von Arbeitern und Managern. Die Einkommen (in 1000 EUR) von zwei Arbeitern seien a = 2 und b = 3; die von zwei Managern: c = 6, d = 7. aus der Grundgesamtheit (N = 4) wird eine Stichprobe vom Umfang n = 2 gezogen. Als zwei Schichten bieten sich an: Arbeiter, Manager. Wir ziehen Stichproben und schätzen daraus das mittlere Einkommen in der Population als Durchschnittseinkommen MW der Stichprobe. Die folgende Tabelle enthält in den Spalten MW alle möglichen Ergebnisse, unterteilt nach Art der Stichprobe; ZSP steht für Zufallsstichprobe. ZSP Einf. Gesch. MW MW a, b 2.5 a, c a, d b, c b, d c, d 6.5 Beachte! Das mittlere Einkommen in der Population beträgt EUR; die durchschnittliche Abweichung des Durchschnittseinkommens vom mittleren Einkommen ist bei den geschichteten Stichproben deutlich geringer als bei den einfachen Stichproben Weiteres zu Zufallsstichproben Klumpenstichprobe auch Clusterstichprobe: Darunter versteht man die Vollerhebung in zufällig ausgewählten Klumpen oder Clustern (Teilmengen, von denen jede die Grundgesamtheit repräsentiert). Die Erhebung erfolgt also zweistufig. Zwei- (mehr-)stufige Stichprobenverfahren: Man hofft, durch höhere Komplexität des Designs eine höhere Genauigkeit der statistischen Ergebnisse und/oder geringeren Aufwand zu erreichen. Beispiele sind die geschichtete Stichprobe (1.: Vollerhebung der Schichten, 2.: Teilerhebung in den Schichten) und die Klumpenstichprobe ( 1.: Teilerhebung der Klumpen, 2.: Vollerhebung in den Klumpen). 2 Inferenz bei einfachen Zufalls-Stichproben 2.1 Zwei Beispiele Die hier behandelten Fragestellungen haben zentrale Bedeutung für alle anderen Fragestellungen, die mit Verfahren der schließenden Statistik behandelt werden

6 können. Sie sollen zunächst an Hand zweier Beispiele erläutert werden. In den folgenden Abschnitten werden die entsprechenden statistischen Verfahren zusammenfassen behandelt. Beispiel 5: Abfüllmenge einer Abfüllanlage für Getränke. Der Mittelwert µ der Füllmenge sei unbekannt und soll geschätzt werden. Wir ziehen eine Stichprobe von n = 25 abgefüllten Flaschen und erhalten x = und s = Der natürliche Punktschätzer für µ ist der Stichprobenmittelwert X. Der realisierte Wert x hängt von den zufällig realisierten Werten der Stichprobe ab; er ist also eine zufällige Größe (wir wissen auch, dass er ein erwartungstreuer Schätzer ist). 2. Wie sehr kann x von µ abweichen? Zur Beurteilung der Verlässlichkeit von X ermitteln wir das Konfidenzintervall für µ: x ± c. 3. Eine frühere Stichprobe ergab x = 126.4; hat sich µ verändert? Wir testen die Nullhypothese H 0 : µ = gegen die Alternative H 1 : µ > Beispiel 6: Ausschuss in einer Lieferung. Der Kunde und auch der Lieferant würden gerne wissen, wie hoch der Ausschussanteil in der Lieferung ist. Eine Stichprobe (n = 200) wird gezogen und gibt einen Ausschussanteil von 3.5%. 1. Punktschätzer für den tatsächlichen Anteil θ des Ausschusses ist p = Wie verlässlich ist der Schätzer? Wir ermitteln ein Konfidenzintervall p ± c. 3. Ist der Stichprobenbefund mit dem Liefervertrag vereinbar, wonach der Ausschussanteil 0.02 beträgt? Wir testen die Nullhypothese H 0 : θ = 0.02 gegen die Alternative H 1 : θ > Im Mittelpunkt steht die Frage, mit welcher Variation von X und von p wir rechnen müssen. 2.2 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenmittelwerts Die Grundgesamtheit sei beschrieben durch eine (beliebige) Verteilung des uns interessierenden Merkmals X mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ. Wir ziehen eine Zufallsstichprobe vom Umfang n.

7 Der Stichprobenmittelwert hat folgende Verteilungseigenschaften: X = 1 n (X X n ) 1. Der Mittelwert der Stichprobenverteilung von X ist µ. 2. Die Standardabweichung σ x der Stichprobenverteilung von X (der Standardfehler, standard error) ist σ x = σ n 3. Für nicht zu kleines n (Faustregel: n > 30) gilt (nach dem zentralen Grenzwertsatz) näherungsweise, dass die Stichprobenverteilung von X normalverteilt ist: ( ) X N µ, σ2. n Beispiel 5: Abfüllmenge einer Abfüllanlage für Getränke (Fortsetzung). Die Füllmenge X sei (beliebig) verteilt mit den Parametern µ = 125 und σ = 2; bei einer Stichprobe vom Umfang n = 49 beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen Stichprobenmittelwert im Intervall [124.5, 125.5] zu realisieren, P {124.5 x 125.5} = Φ(1.75) Φ( 1.75) = Dabei wurde von X N(125, 2/7) Gebrauch gemacht. 2.3 Konfidenzintervall für den Mittelwert Die Zahl c des Konfidenzintervalls µ ± c zur Konfidenzzahl γ = 0.95 erhalten wir wegen {µ 2 n σ x µ + 2 n σ } zu P c = 2 σ n = 0.95 [genau: c = 1.96σ/ n]. 95% aller nach dieser Formel berechneten Konfidenzintervalle enthalten den unbekannten Parameter µ; 5% enthalten ihn nicht. Beachte! Ob ein konkretes Konfidenzintervall den unbekannten Parameter enthält, wissen wir nicht; es ist aber sehr wahrscheinlich!

8 Beispiel 5: Abfüllmenge einer Abfüllanlage für Getränke (Fortsetzung). Die Standardabweichung σ der Abfüllmenge ist aus langjährigen Aufzeichnungen bekannt: σ = 0.5; der Mittelwert µ der Abfüllmenge soll bestimmt werden. Eine Stichprobe (n = 25) ergibt x = 126.7; das 95%-ige Konfidenzintervall lautet daher , oder [126.5, 126.9]. Bei unbekanntem σ 2 müssen wir die t-verteilung anstelle der Normalverteilung verwenden. Je nach Fragestellung können wir die Konfidenzzahl γ näher oder weniger nahe zu 100% wählen. 95% ist eine häufig geählte Konfidenzzahl. Die folgende Tabelle gibt das Konfidenzintervall zu einigen Konfidenzzahlen an. Konfidenzzahl γ 100γ%-iges Konfidenzintervall 0.90 X ± 1.645σ x 0.95 X ± 2σ x X ± 3σ x 2.4 Test für den Mittelwert Beispiel 5: Abfüllmenge einer Abfüllanlage für Getränke (Fortsetzung). Die Standardabweichung σ der Abfüllmenge ist aus langjährigen Aufzeichnungen bekannt: σ = 0.5. Eine Stichprobe (n = 25) zum Bestimmen des Mittelwertes µ gibt x = Eine frühere Stichprobe ergab den Schätzwert für µ. Wenn wir davon ausgehen, dass früher µ tatsächlich den Wert hatte: hat sich µ verändert? Beachte! Das Konfidenzintervall [126.5, 126.9] enthält den Wert nicht. Der Wert der Teststatistik T zum Test von H 0 : µ = beträgt T = = 3.0 ; 0.5 T ist sehr groß! Im Test von H 0 gegen die Alternative H 1 : µ > werden wir H 0 verwerfen, wenn der p-wert, d.i. die Wahrscheinlichkeit P {Z > T H 0 }, sehr klein ist. Der p-wert P {Z > T H 0 } = zeigt an, dass der Mittelwert µ = nicht sehr plausibel ist!

9 Zum Test der Nullhypothese H 0 : µ = µ 0 gegen die Alternative H 1 µ > µ 0 verwenden wir (siehe auch Anhang A) die Teststatistik T = x µ 0 n ; σ unter H 0 folgt T näherungsweise der Standardnormalverteilung N(0, 1). Die maximal tolerierte Wahrscheinlichkeit, den Fehler 1. Art zu begehen (H 0 irrtümlich zu verwerfen), wird meist mit 0.05 festgelegt. Das Test-Verfahren umfasst folgende Schritte: 1. Lege H 0 (µ = µ 0 ) und H 1 fest. 2. Wähle den maximal tolerierten p-wert (probability value), d.i. die Wahrscheinlichkeit, den Fehler 1. Art zu begehen (auch Signifikanzniveau genannt, mit α bezeichnet); ein typischer Wert ist α = Ziehe die Stichprobe, berechne x. 4. Berechne den p-wert. 5. Verwerfe H 0, wenn der p-wert kleiner als α ist. Zweiseitiger Test vs. einseitiger Test 2.5 Konfidenzintervall und Test für den Anteil Die relative Häufigkeit p folgt (nach dem Zentralen Grenzwertsatz) für nicht zu kleines n (Faustregel: n > 30) näherungsweise der Normalverteilung p N Das 95%-ige Konfidenzintervall für θ ist [ θ, ] θ(1 θ). n p(1 p) p(1 p) p 2, p + 2 n n Achtung! In der Formel für die Standardabweichung wurde p für θ gesetzt! Ein Test kann analog zum Verfahren für einen Mittelwert µ ausgeführt werden.

10 2.6 Bestimmung des Stichprobenumfanges Ein 95%-iges Konfidenzintervall sei X ± c; daraus können wir n bestimmen: Aus c = 2 σ n ergibt sich ( 2σ n = c ) 2. Beispiel 5: Abfüllmenge einer Abfüllanlage für Getränke (Fortsetzung). Die Standardabweichung σ der Abfüllmenge ist aus langjährigen Aufzeichnungen bekannt: σ = 0.5. Welchen Umfang muß eine Stichprobe zum Bestimmen des Mittelwertes µ haben, damit ein 95%-iges Konfidenzintervall die halbe Länge c von höchstens 0.1 hat? Wir finden n = ( ) 2 2(0.5) = Aufgaben 1. Der Geschäftsführer eines Restaurants möchte durch eine Kundenbefragung die Zufriedenheit mit Produkten und Service messen. Welche Daten soll er erheben, wie soll er vorgehen? Welche Aspekte sind relevant für die Qualität der erhobenen Daten und Ergebnisse? 2. Lesen Sie Kap.9.1, insb von Ledolter & Burrill; schreiben Sie eine Liste aller Punkte, die in einem Protokoll (Verfahrensanleitung) zu einer Erhebung zu regeln sind. 3. Generieren Sie in EXCEL 200 Paare X und Y von Würfelwürfen; berechnen Sie für jedes Paar X + Y und X Y. Was erwarten Sie für die Standardabweichungen von X, Y, X + Y und X Y? Vergleichen Sie damit die numerischen Ergebnisse. 4. Die Abfüllmenge einer Tube beträgt im Durchschnitt 33g mit einer Standardabweichung von 4g. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält eine Stichprobe von 25 Tuben im Durchschnitt höchstens 32.5g? 5. Berechnen Sie ein 95%-iges Konfidenzintervall für die mittlere Abfüllmenge in Aufgabe 4.

11 6. Kann entsprechend dem Stichprobenbefund in Aufgabe 4 behauptet werden, dass die mittlere Abfüllmenge 33g beträgt? Testen Sie eine geeignete Nullhypothese gegen die möglichen Alternativen; erklären Sie, bei welcher Interessenslage welche Alternative interessiert. 7. In einer Stichprobe von 200 Produkten eines Produktionsprozesses fanden sich 7 defekte Exemplare. Berechnen ein 95%-iges Konfidenzintervall für den Anteil der defekten Produkte. 8. Stimmt die Behauptung, dass der Anteil der defekten Produkte in diesem Produktionsprozess 3% beträgt (α = 0.05)?