Leitidee: Funktionaler Zusammenhang 1. Halbjahr 2007 Quadratische Funktionen und Gleichungen. E.Wittig

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1 Kompetenzraster Mathematik Klasse 9 Leitidee: Funktionaler Zusammenhang 1. Halbjahr 2007 Quadratische Funktionen und Gleichungen Allgemeine Kompetenzen Gleichungen und Funktionen Algebra Leitidee Funktionaler Zusammenhang - die symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache verstehen und einsetzen - mathematische Werkzeuge sinnvoll und verständig einsetzen - unterschiedliche Darstellungsformen je nach Situation auswählen, wechseln und interpretieren -Lösungswege beschreiben und begründen - vorgegebene und selbst formulierte Probleme lösen - Ergebnisse im entsprechenden Bereich interpretieren und prüfen - mathematische Inhalte aus Äußerungen und Texten verstehen und überprüfen - Strukturen in Termen und Gleichungen erkennen -Eigenschaften von Funktionen kennen und nutzen - Zusammenhänge mithilfe von Funktionen und Gleichungen erkennen, beschreiben, und diese in sprachlicher, tabellarischer oder grafischer Form oder als Term darstellen - den Einfluss der Parameter bei Funktionen und Gleichungen erkennen - Gleichungen umstellen, inhaltlich oder algorithmisch lösen -quadratische Gleichungen und Funktionen rechnerisch und graphisch lösen - meine Lösungsschritte sauber und fachlich korrekt aufschreiben meine Lösungswege beschreiben, begründen und präsentieren - mathematisch modellieren, d.h. die Realität in mathematische Strukturen übersetzen und über Ergebnisse kommunizieren - komplexere mathematische Probleme selbstständig bzw. in Gruppen lösen und die Ergebnisse präsentieren - Lösungsstrategien einsetzen und konstruktiv mit Fehlern umgehen - den Zusammenhang zwischen quadratischen Funktionen und quadratischen Gleichungen verstehen und erläutern -Lösungswege planen -Wissen strukturieren -Fehler analysieren - die mathematischen Hilfsmittel sachgerecht nutzen -Anwendungsaufgaben analysieren, Skizzen anfertigen, Lösungswege skizzieren und begründen - Aussagen zu der Lösbarkeit und zur Lösungsvielfalt von quadratischen Gleichungen und Funktionen treffen - den Satz des VIETA bewusst anwenden - meine Übungszeit regelmäßig organisieren, um meine Grundkenntnisse zu festigen - mathematische Werkzeuge (TW, TR; Konstruktionsgeräte) sinnvoll und verständig einsetzen (Überschläge, Kann das stimmen?) -mit CAS u.a. Software arbeiten -weitere Lösungswege finden -Lösungsmengen interpretieren, diskutieren ( mehrere Lösungsmöglichkeiten) -Problemstellungen finden und bearbeiten - realitätsnahe Probleme als Zuordnung lösen - außermathematische Sachverhalte durch quadratische Funktionen und Gleichungen darstellen und lösen - -

2 Arbeitsauftrag für den Zeitraum bis Umfang 8 Unterrichtsstunden A. Studiere das Kompetenzraster quadratische Funktionen und Gleichungen. Mit diesem Raster hast du eine Übersicht, was du am Ende der Einheit anwenden können sollst. Es gibt Testarbeiten und am Ende eine Klassenarbeit zu dem gesamten Thema. Markiere dir unbekannte Begriffe und kläre diese. Markiere dir Inhalte, die du gut kannst und markiere dir anders offene Probleme. B. Mache dir einen groben Plan, wie du vorgehen möchtest. Gib dir für jede Stunde ein Ziel, das du am Ende der Stunde kontrollierst. Nutze auch die Übersicht, die dir als ein hilfreicher Helfer dienen soll. C. Im folgenden bekommst du Hinweise für die Theorie zu diesem Thema. Du kannst das Tafelwerk, das Lehrbuch, Materialblätter (M) und andere Bücher verwenden, um dir die Theorie zu erarbeiten. Für die Übungsaufgaben stehen dir zusätzlich Arbeitsblätter (A) zur Verfügung Du darfst auch im Flüsterton deine Mitschüler um Rat fragen, falls es nicht weiter geht. Möglich ist auch die Arbeit in der Gruppe in bestimmten Phasen der Arbeit. Hinweis: Es ist nicht nötig immer alle Aufgaben genau zu lösen. Ziel ist die Aufgaben lösen zu können. D. Hausaufgaben bekommst du nicht zentral vom Lehrer vorgegeben. Du entscheidest, wann du welches Material bearbeiten möchtest. Hausaufgaben ergeben sich aus deinem Plan und deinem Kenntnisstand. Nutze vor allem dein Lehrbuch und die Testaufgaben (M ) Nimm diese sehr ernst. E. Für alle Aufgabenblätter liegen die Lösungen zur Einsicht im Unterricht aus. F. Um die Arbeit abwechslungsreicher zu gestalten, - gibt es Aufträge an einzelne Schüler, die ihr Ergebnis vor den anderen zwischendurch präsentieren - liegen 6 Tägliche Übungen aus, bei denen du entscheidest, wann du die Lösung dieser in dein Programm einbaust. - liegen auch Spiele und andere Übungsvarianten zum Üben aus. - nutze auch ein Computerprogramm bzw. das Internet. (auf Anfrage)

3 Thema: Quadratische Gleichungen 1. Verschaffe dir in der Literatur (TW, LB) einen ersten Überblick über die quadratischen Gleichungen. 2. Woran erkennst du eine quadratische Gleichung? ( ausführlich formulieren) 3. Es gibt mehrere Arten quadratische Gleichungen. Erarbeite dir eine Übersicht über verschiedene Arten quadratischer Gleichungen. Was haben alle quadratischen Gleichungen gemeinsam? 4. Erläutere den Zusammenhang zwischen quadratischen Funktionen und quadratischen Gleichungen? 5. Wenn du 4. richtig erkannt hast, weißt du, wie man quadratische Gleichungen löst. Begründe, dass jede quadratische Gleichung mit der allgemeinen Lösungsformel für p p quadratische Gleichungen x1 / 2 = ± ( )² q als Weg gelöst werden kann Wenn du 4. gelöst hast, weißt du auch, dass es zwei, eine oder keine Nullstelle bei quadratischen Funktionen geben kann. Gilt dasselbe auch für die Lösungsmenge bei quadratischen Gleichungen? Woran sind diese Fälle erkennbar? 7. Löse verschiedene quadratische Gleichungen über diesen Weg. ( M ) und (A ). 8. Lege dir ein Blatt extra an mit den Spalten Nr. Gleichung p q x 1 x 2 und trage recht viele Gleichungen ein. Stellst du etwas fest? 9. Finde für Sonderfälle von quadratischen Gleichungen (siehe 3.) andere Lösungswege. 10. Löse eine Vielzahl von Sachaufgaben zum Anwenden von quadratischen Gleichungen aus vielen verschiedenen Bereichen. (M ) und (A ). 11. Übe auch die Verbindung bei Sachaufgaben zwischen quadratischen Gleichungen und quadratischen Funktionen. - Gleichungen aus Texten aufstellen - Geometrische Sachverhalte Viel Erfolg bei deinem selbstgestalteten Mathematikunterricht in den nächsten 2 Wochen. Ich werde dir als Lernberater gern deine Fragen beantworten. Sage mir dann, was du unternommen hast und formuliere deine Frage konkret. Frau Wittig

4 Testaufgaben Quadratische Gleichungen Am Ende der Einheit sollst du in der Lage sein, die folgenden Aufgaben selbstständig gelöst zu haben. 1. Mathematische Darstellungen verwenden Schreibe mit Hilfe von Variablen und Gleichungen. a) Das Produkt aus der Summe von a und b mit der Differenz aus a und c. b) Das Produkt aus einer natürlichen Zahl und ihrem Nachfolger beträgt Gib für den mathematischen Ausdruck eine verbale Formulierung an. t = 2x² Löse die quadratische Gleichung x² + 2x +3 = 0 graphisch cm kürzer als a a Drücke den Sachverhalt der bildlichen Darstellung in einer Gleichung aus. 2. Mathematisch modellieren 2.1.Welches mathematische Modell wird in 1.4. dargestellt? p p 2.2. Wende die Lösungsformel x1 / 2 = ± ( )² q auf folgende Gleichungen an. 2 2 a) x² - 2x 15 = 0 b) 0 = x² + 6x + 9 c) x² - 10x = 24 d) x² = 7x e) 4x² + 8x + 12 = 0 f) 1 x² + 6 = 4x 2 g) z² + z = 6 h) 3x + 6 3x² = 0 i) (x 5)² = -49 k) x(x-24) + 16(2x + 1) = In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Hypotenusenquadrat 400 cm² groß. Eine Kathete ist 4 cm kürzer als die andere. Welche Gleichungen sind als mathematisches Modell dafür geeignet? (A) x + 4 = 400 (B) x² + x² + 4 = 400 (C) x² + (x +4)² = 400 (D) x² + (x 4)² = Gib eine Gleichung in der Form x²+px+q = 0 an, die als Lösungen x 1 = -2 und x 2 = 4 hat. 2.5.Berechne die Schnittpunkte der Normalparabel und der Geraden mit der Gleichung = -2x + 3. y 2.6.Ein quadratischer Garten hat einen Flächeninhalt von 420,25m². Wie lang sind seine Seiten? 2.7. Ein rechteckiger Bauplatz, dessen Länge das 0,75fache der Breite hat, besitzt einen Flächeninhalt von 243 m². Welche Maße hat der Platz?

5 2.8.Das Quadrat einer Zahl vermehrt um das Doppelte der Zahl ergibt Null. Welche Zahlen erfüllen die Bedingung? 2.9.Zerlege 253 so in zwei Faktoren, dass die Differenz der Faktoren 12 ist Löse folgende Gleichungen inhaltlich. a) (x- 2)(x + 3) = 0 b) (x 1)² = 0 c) x(x+5) = Löse folgende Gleichungen. Führe auch eine Probe durch. a) 4 x² = 36 b) 2x² = x² c) x² + 12x + 36 = Subtrahiert man von einer unbekannten Zahl die Zahl 7 und multipliziert diese Differenz mit der gesuchten Zahl, so erhält man 368. Welche Zahlen erfüllen diese Bedingung? 3. Mathematisch argumentieren, kommunizieren 3.1. Kai hat im Unterricht durch Krankheit gefehlt. Nun hat er Schwierigkeiten sich die Lösungsformel für quadratische Gleichungen zu merken. Erkläre ihm wann er diese nur anwenden darf und wie er sie sich am besten einprägen bzw. ableiten kann Erkläre mit Hilfe von Skizzen und Gleichungen die Bedeutung der Diskriminante. Zeige, die Nutzung der Diskriminante für die Entscheidung der Anzahl der Lösungen am Beispiel von x² + 6x + 5 = Bestimme q derart, dass die Gleichung zwei Lösungen, eine Lösung, keine Lösung hat. x² - 2x + q = Erkläre, warum die grafische Lösung einer quadratischen Gleichung identisch mit der Nullstellenberechnung quadratischer Funktionen ist. Zeige deine Gedanken am Beispiel x² + 4x + 2 = Zeige, wie der Satz des VIETA angewandt werden kann. a) Stimmt die Lösungsmenge? x² + 12x 13 = 0 L = { 113 ; } b) Die Lösungen der quadratischen Gleichung x² +px +q = 0 betragen. x 1 = -4 und x 2 = 3. Gilt die Gleichung: x² + x 12 = 0? 4. Probleme mathematisch lösen 4.1. Wie lang sind die Seiten eines Rechtecks, dessen Umfang 64 cm und dessen Flächeninhalt 247 cm² beträgt? 4.2. Untersuche quadratische Gleichungen der Form x² + px + q = 0. Gibt es Gleichungen, bei denen eine der Lösungen mit p, die andere mit q übereinstimmt? Wenn ja, gib alle entsprechenden Zahlen für p und q an Gib zur Lösungsmenge L ={ 1, 5; 0} eine dazugehörige quadratische Gleichung an.

6 Testaufgaben Quadratische Gleichungen Am Ende der Einheit sollst du in der Lage sein, die folgenden Aufgaben selbstständig gelöst zu haben. 3. Mathematische Darstellungen verwenden Schreibe mit Hilfe von Variablen und Gleichungen. a) Das Produkt aus der Summe von a und b mit der Differenz aus a und c. b) Das Produkt aus einer natürlichen Zahl und ihrem Nachfolger beträgt Gib für den mathematischen Ausdruck eine verbale Formulierung an. t = 2r² Löse die quadratische Gleichung x² + 2x +3 = 0 graphisch cm kürzer als a a Drücke den Sachverhalt der bildlichen Darstellung in einer Gleichung aus. 4. Mathematisch modellieren Welches mathematische Modell wird in 1.4. dargestellt? Betrachte die Gleichung 0 = a² + pa + c als mathematisches Modell. Ordne die Variablen a, p und c dem Sachverhalt zu: Addiert man zum Quadrat einer Zahl ihr Doppeltes, erhält man p p Wende die Lösungsformel x1 / 2 = ± ( )² q auf folgende Gleichungen an. 2 2 a) x² - 2x 15 = 0 b) 0 = x² + 6x + 9 c) x² - 10x = 24 d) x² = 7x e) 4x² + 8x + 12 = 0 f) 1 x² + 6 = 4x 2 g) z² + z = 6 h) 3x + 6 3x² = 0 j) (x 5)² = -49 k) x(x-24) + 16(2x + 1) = In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Hypotenusenquadrat 400 cm² groß. Eine Kathete ist 4 cm kürzer als die andere. Welche Gleichungen sind als mathematisches Modell dafür geeignet? (A) x + 4 = 400 (B) x² + x² + 4 = 400 (C) x² + (x +4)² = 400 (D) x² + (x 4)² = Gib eine Gleichung in der Form x²+px+q = 0 an, die als Lösungen x 1 = -2 und x 2 = 4 hat Gegeben ist eine Funktion mit der Gleichung y = f(x)= ax². Diese Gleichung stellt ein mathematisches Modell für zahlreiche Sachverhalte dar, z.b. für den Flächeninhalt eines Quadrates. Die Variable y steht für den Flächeninhalt des Quadrates, die Variable x für die Seitenlänge des Quadrates und der Koeffizient (Parameter) a ist in diesem Fall 1. Gib weitere Sachverhalte an, für die diese Funktion ein mathematisches Modell ist.

7 2.19. Berechne die Schnittpunkte der Normalparabel und der Geraden mit der Gleichung y = -2x Ein quadratischer Garten hat einen Flächeninhalt von 420,25m². Wie lang sind seine Seiten? Eine Sportgruppe mietet einen Bus für 135¼'LHVH.RVWHQZHUGHQJOHLFKPl LJYHUWHLOW Wären 5 Personen mehr mitgefahren, hätten sich die Kosten für jeden Teilnehmer um 0,90 ¼ verringert. Bestimme die Teilnehmerzahl? Zerlege 253 so in zwei Faktoren, dass die Differenz der Faktoren 12 ist. 3. Mathematisch argumentieren, kommunizieren 3.1. Kai hat im Unterricht durch Krankheit gefehlt. Nun hat er Schwierigkeiten sich die Lösungsformel für quadratische Gleichungen zu merken. Erkläre ihm wann er diese nur anwenden darf und wie er sie sich am besten einprägen bzw. ableiten kann Erkläre mit Hilfe von Skizzen und Gleichungen die Bedeutung der Diskriminante. Zeige, die Nutzung der Diskriminante für die Entscheidung der Anzahl der Lösungen am Beispiel von 3x² + 3x + 6 = Bestimme q derart, dass die Gleichung zwei Lösungen, eine Lösung, keine Lösung hat. x² - 2x + q = Bestimme p derart, dass die Gleichung zwei Lösungen, eine Lösung, keine Lösung hat. x² + px 25 = Erkläre, warum die Gleichung (x 2)(x+3) = 0 auch aufgestellt werden kann, wenn die Lösungen x 1 = 2 und x 2 = -3 gegeben sind. Welche Gleichung ist auch möglich? Zeige diese Wege. Nenne Sachverhalte in denen die Lösungen gegeben sind und die Gleichung gesucht ist. 4. Probleme mathematisch lösen 4.1. In einem Rechteck mit dem Flächeninhalt 3 cm² ist die Diagonale 2,5 cm lang. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks? 4.2. Untersuche quadratische Gleichungen der Form x² + px + q = 0. Gibt es Gleichungen, bei denen eine der Lösungen mit p, die andere mit q übereinstimmt? Wenn ja, gib alle entsprechenden Zahlen für p und q an a) Ein Rechteck hat den Flächeninhalt 96cm². Der Umfang beträgt 40 cm. b) Was ändert sich in a), wenn der Umfang 44 cm beträgt? c) Was ändert sich in a), wenn der flächeninhalt 99 cm² beträgt? 4.4. a) Gesucht sind a und b mit a + b = 7 und a b = 10. Die Figur kann dir helfen die Lösungen zu finden. b) Was hat die Figur mit dem Lösen von quadratischen Gleichungen zu tun? c) Kann man auf diese Weise jede quadratische Gleichung lösen? 1 b. a. a b