L p -DUAL MIXED GEOMINIMAL SURFACE AREA

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1 Glasgow Math. J. 56 (204) C Glasgow Mathematical Joural Trust 203. doi:0.07/s L -DUAL MIXED GEOMINIMAL SURFACE AREA YIBIN FENG ad WEIDONG WANG Deartmet of Mathematics, Chia Three Gorges Uiversity, Yichag , Chia s: (Received Setember 202; revised 4 March 203; acceted 20 Jue 203; first ublished olie 2 Setember 203) Abstract. Lutwak (Adv. Math., vol. 8(2), 996, ) defied the otio of L -geomiimal surface area based o L -mixed volumes. Recetly, Wag ad Qi (J. Ieual. Al., vol. 20, 20,. 0) itroduced the cocet of L -dual geomiimal surface area based o L -dual mixed volumes. I this aer, based o L -dual mixed uermassitegrals, we defie the cocet of L -dual mixed geomiimal surface area ad establish several ieualities for this ew otio Mathematics Subject Classificatio. 52A20, 52A40.. Itroductio ad mai results. Let K deote the set of covex bodies (comact, covex subsets with o-emty iteriors) i Euclidea sace. For the set of covex bodies cotaiig the origi i their iteriors, the set of covex bodies whose cetroids are at the origi ad the set of origi-symmetric covex bodies i,wewritek o, K c ad K os, resectively. S o deotes the set of star bodies (about the origi) i.let S deote the uit shere i, ad let V(K) deote the -dimesioal volume of a body K.LetB deote the stadard Euclidea uit ball i ad write ω = V(B)for its volume. We also ote that i deotes ay real umber i this aer. The otio of geomiimal surface area was itroduced by Petty[7]. For K K, the geomiimal surface area, G(K), of K is defied by ω G(K) = if{v (K, Q)V(Q ) : Q K. Here Q deotes the olar of body Q, ad V (M, N) deotes the mixed volume of M, N K (see []). For other imortat affie otios of surface area, i articular affie surface area, see [7, 8, 9, 2, 25, 26]. Both affie surface area ad geomiimal surface area are uimodular affie ivariat fuctioals of covex hyersurfaces. Isoerimetric ieualities ivolvig geomiimal surface area are ot oly closely related to may isoerimetric ieualities ivolvig affie surface area but, i fact, also clarify the euality coditios of may of these ieualities. Lutwak [5] demostrated that there are extesios of all of the kow ieualities ivolvig affie ad geomiimal surface areas to L -affie ad L -geomiimal surface areas which are art of a ew L -Bru Mikowski theory iitialized by Lutwak. I articular, Lutwak [5] discovered a imortat relatioshi betwee L -affie ad L -geomiimal surface areas, which has foud a umber of alicatios (see, e.g., [22, 28]). Based o the otio of L -mixed volumes, Lutwak [5] itroduced L -geomiimal surface area. For K K o,, the L -geomiimal surface area, G (K), of K is defied

2 230 YIBIN FENG AND WEIDONG WANG by ω G (K) = if{v (K, Q)V(Q ) : Q K o. (.) Here V (M, N) deotes the L -mixed volume of M, N Ko (see [5]). If =, G (K) is just Petty s geomiimal surface area G(K). A dual theory to the L -Bru Mikowski theory (i.e. the theory of L -mixed volumes ad related cocets) was also develoed by Lutwak (see [3, 6, 3, 4, 9, 27]). Based o the otio of L -dual mixed volumes, Wag ad Qi [24] gave a defiitio of L -dual geomiimal surface area as follows: For K So,, the L -dual geomiimal surface area, G (K), of K is defied by ω G (K) = if{ṽ (K, Q)V(Q ) : Q K os. (.2) Here Ṽ (M, N) deotes the L -dual mixed volume of M, N So (see [5]). For this ew otio of L -dual geomiimal surface area, Wag ad Qi [24] established the followig geometric ieualities. THEOREM A. If K So,, the G (K) ω V(K) + with euality if ad oly if K is a ellisoid cetred at the origi. THEOREM B. If K Kc, <, the with euality if ad oly if K is a ellisoid. G (K) G (K ) (ω ) 2 THEOREM C. If K So, <, the The uatity ( G (K) V(K) + ) ( ) G (K). V(K) + ( G (K) ) V(K) + is called the L -dual geomiimal surface area ratio of K S o. Wag ad Leg i [23] exteded the otio of L -dual mixed volume to a family of L -dual mixed uermassitegrals. The mai aim of this aer is to defie a corresodig otio of L -dual mixed geomiimal surface areas based o L -dual mixed uermassitegrals, ad to exted the above ieualities to the etire family of these ew L -dual mixed geomiimal surface areas.

3 L -DUAL MIXED GEOMINIMAL SURFACE AREA 23 For K S o, ad 0 i <, we defie the L -dual mixed geomiimal surface area, G,i (K), of K by ω i G,i (K) = if{ W,i (K, Q) W i (Q ) i : Q Kc. (.3) Here W i (M) deotes the dual uermassitegrals of M So,ad W,i (M, N) deotes the L -dual mixed uermassitegrals of M, N So (see Sectio 2). From defiitios (.2) ad (.3) ad formula (2.2), it follows that G,0 (K) = G (K). The mai results ca be stated as follows: First, we establish the exteded form of Theorem A, give by Theorem., ad also obtai Theorem.2, which is the dual form of Theorem.. THEOREM.. If K So, ad 0 < i <, the G,i (K) ω i + i i, with euality if ad oly if K is a ball cetred at the origi. THEOREM.2. If K Kc, ad 0 < i <, the G,i (K) ω 2 2i+ i W i (K ) + i i with euality if ad oly if K is a ball cetred at the origi. Moreover, we obtai the exteded versios of Theorems B ad C. THEOREM.3. If K Kc, ad 0 < i <, the G,i (K) G,i (K ) (ω ) 2 with euality if ad oly if K is a ball cetred at the origi. We call THEOREM.4. If K So, < < ad 0 < i <, the ( G,i (K) i i + i ) ( ) G,i (K) i i W. i (K) + i ( G,i (K) i ) i + i the L -dual mixed geomiimal surface area ratio of K S o. Fially, we obtai the followig Bru Mikowski-tye ieuality for L -dual mixed geomiimal surface area.

4 232 YIBIN FENG AND WEIDONG WANG THEOREM.5. If K, L So, λ, μ 0 (ot both zero) ad, the for 0 i < G,i (λ K + μ L) + i λ G,i (K) + i + μ G,i (L) with euality if ad oly if K ad L are dilates. + i, Here λ K + μ L deotes the L -harmoic radial combiatio of K ad L (see (2.4)). For log-cocavity roerties of other imortat geometric fuctioals we refer to [, 6, 20]. The roofs of Theorems..4 will be give i Sectio 3 of this aer. I Sectio 4, we give the roof of Theorem Prelimiaries. 2.. Radial fuctios ad olars of star bodies ad covex bodies. If K is a comact star-shaed (about the origi) set i, the its radial fuctio, ρ K = ρ(k, ) : \ {0 [0, ), is defied by (see [2, 8]) ρ(k, u) = max{λ 0:λ u K, u S. If ρ K is cotiuous ad ositive, the K will be called a star body. Two star bodies K ad L are said to be dilates (of oe aother) if ρ K (u)/ρ L (u) is ideedet of u S. If K K o, the olar body, K,ofK is defied by (see [2, 8]) Clearly, K ={x : x y, y K. (2.) (K ) = K. (2.2) For K Ko ad its olar body, the well-kow Blaschke Sataló ieuality ca be stated as follows (see [2]). THEOREM 2A. If K K c,the with euality if ad oly if K is a ellisoid. V(K)V(K ) ω 2 (2.3) 2.2. Dual uermassitegrals ad L -dual mixed uermassitegrals. For K, L So, adλ, μ 0 (ot both zero), the L -harmoic radial combiatio, λ K + μ L So,ofK ad L is defied by (see [5]) ρ(λ K + μ L, ) = λρ(k, ) + μρ(l, ). (2.4) For K So ad ay real i, the dual uermassitegrals,, of K are defied by (see [0]) = ρ(k, u) i ds(u). (2.5) S

5 L -DUAL MIXED GEOMINIMAL SURFACE AREA 233 Obviously, W 0 (K) = ρ(k, u) ds(u) = V(K). (2.6) S Based o L -harmoic radial combiatios of star bodies, Wag ad Leg [23] itroduced the otio of L -dual mixed uermassitegrals as follows: For K, L So,, ε>0, real i, thel -dual mixed uermassitegrals, W,i (K, L), of K ad L are defied by (see [23]) i W W i (K+ ε L),i (K, L) = lim. (2.7) ε 0 + ε The above defiitio ad Hosital s rule give the followig itegral reresetatio of L -dual mixed uermassitegrals (see [23]): W,i (K, L) = ρ + i K S (u)ρ L (u)ds(u), (2.8) where the itegratio is with resect to sherical Lebesgue measure S o S.From (2.8) ad defiitio (2.5), we get W,i (K, K) =. (2.9) The Mikowski ieuality for L -dual mixed uermassitegrals states the followig (see [23]). THEOREM 2B. IfK, L So,, ad i, the for i < or< i < +, W,i (K, L) + i i W i (L) i ; (2.0) for i > +, ieuality (2.0) is reversed. Euality holds i either case if ad oly if K ad L are dilates. For i = +, (2.0) holds with euality for all K ad L. Recall that Lutwak [5] itroduced the L -dual mixed volume as follows: For K, L So,, the L -dual mixed volume, Ṽ (K, L), of K ad L is defied by V(K + ε L) V(K) Ṽ (K, L) = lim. (2.) ε 0 + ε From (2.), (2.6) ad (2.7), we see that W,0 (K, L) = Ṽ (K, L). (2.2) 3. Proofs of Theorems..4. I this sectio, we will rove Theorems..4. First, we eed the followig lemma for the roofs of Theorems..2. LEMMA 3. ([0]). If K Ko ad 0 i <, the ω i V(K) i, (3.) with euality for 0 < i < if ad oly if K is a ball cetred at the origi.

6 234 YIBIN FENG AND WEIDONG WANG Proof of Theorem.. From defiitios (.3), (2.0) ad (3.) ad the Blaschke Sataló ieuality (2.3), we have that for 0 < i < i.e. ω i G,i (K) = if{ W,i (K, Q) W i (Q ) i : Q Kc if{ + i i [ W i (Q) W i (Q ) i : Q Kc if{ + i i [ω 2i ω 2 i + i i, G,i (K) ω i (V(Q)V(Q )) i ] i : Q K c + i i. (3.2) By the euality coditios of (2.0), (3.) ad (2.3), we see that euality holds i (3.2) if ad oly if K is a ball cetred at the origi. Proof of Theorem.2. From defiitio (.3) ad ieuality (2.0), we have for 0 < i < ω i W i (K ) + i i G,i (K) = if{ W,i (K, Q) W i (K ) + i i W i (Q ) i : Q Kc if{ W,i (K, Q) W,i (K, Q ):Q Kc. (3.3) Sice K Kc, takig Q = K, it follows from formulas (3.), (3.3) ad (2.3) that i.e. ω i W i (K ) + i i G,i (K) if{ W i (K ):K Kc if{ω 2i [V(K)V(K )i : K Kc = ω 2, G,i (K) ω 2 2i+ i W i (K ) + i i. (3.4) By the euality coditios of (2.0), (3.) ad (2.3), we see that euality holds i (3.4) if ad oly if K is a ball cetred at the origi. Proof of Theorem.3. From defiitio (.3), it follows that for ay Q K c ω i Sice K Kc, takig Q = K i (3.5), we get that i.e. ω i G,i (K) W,i (K, Q) W i (Q ) i. (3.5) G,i (K) W,i (K, K) W i (K ) i, ω i G,i (K) W i (K ) i. (3.6)

7 L -DUAL MIXED GEOMINIMAL SURFACE AREA 235 Similarly, ω i Combiig (3.6) ad (3.7), we get for 0 < i < i.e. ω 2 i G,i (K ) W i (K ) i. (3.7) G,i (K) G,i (K ) 2 [ω 2i (V(K)V(K )) i 2 ω 2( i ) i, i i G,i (K) G,i (K ) (ω ) 2. (3.8) By the euality coditios of (2.3) ad (3.), we see that euality holds i (3.8) if ad oly if K is a ball cetred at the origi. i.e. Proof of Theorem.4. From (2.8) ad <, wehavebyhölder s ieuality W,i (K, Q) = ρ K (u) + i ρ Q (u) ds(u) S = [ ρk (u) + i ρ Q (u) ] [ ρ K (u) i ds(u) S W,i (K, Q), ( W,i (K, Q) ) ( W,i (K, Q) ). (3.9) Thus, from defiitio (.3) ad (3.9), we get for 0 < i < ω ( G,i (K) i ) i + i { ( W,i (K, Q) = if if ω ( { ( W,i (K, Q) G,i (K) i i + i ) i ) i ), W i (Q ) W i (Q ) : Q Kc : Q Kc that is ( G,i (K) i i + i ) ( ) G,i (K) i i W. i (K) + i

8 236 YIBIN FENG AND WEIDONG WANG 4. Bru Mikowski-tye ieualities. I this sectio we study Bru Mikowski-tye ieualities for L -dual mixed geomiimal surface areas. First, we rove Theorem.5. Next, we show that for L -radial combiatio of star bodies, we also have a Bru Mikowski-tye ieuality. The roof of Theorem.5 reuires the followig lemma. LEMMA 4.. If K, L So,, λ, μ 0 (ot both zero) ad 0 i <, the for ay Q So, W,i (λ K + μ L, Q) + i λ W,i (K, Q) + i + μ W,i (L, Q) + i, (4.) with euality if ad oly if K ad L are dilates. Proof. Sice 0 i <, we have ( + i)/ < 0. Hece, by (2.8) ad Mikowski s itegral ieuality (see [5]), we have for ay Q So, W,i (λ K + μ L, Q) + i [ = ρ(λ K + μ L, u) + i ρ(q, u) ds(u) S [ ( = ρ(λ K + μ L, u) ρ(q, u) 2 + i S [ = [ λ [ + μ S ) + i + i ds(u) + i ( ) + i (λρ(k, u) + μρ(l, u) )ρ(q, u) 2 + i + i ds(u) ρ(k, u) + i ρ(q, u) ds(u) S ρ(l, u) + i ρ(q, u) ds(u) S + i = λ W,i (K, Q) + i + μ W,i (L, Q) + i. + i That is, W,i (λ K + μ L, Q) + i λ W,i (K, Q) + i + μ W,i (L, Q) + i. By the euality coditios of Mikowski s itegral ieuality, we see that euality holds i (4.) if ad oly if K ad L are dilates.

9 L -DUAL MIXED GEOMINIMAL SURFACE AREA 237 Proof of Theorem.5. From defiitio (.3) ad Lemma 4., we obtai for 0 i < [ω i This yields G,i (λ K + μ L) = if = if + i { [ W,i(λ K + μ L, Q) W i (Q ) i + i : Q K c { [ W,i(λ K + μ L, Q) ] ] + i [ W i (Q ) + i i if {[λ ( W,i (K, Q) ) + i + μ ( W,i (L, Q) ) ] + i { if λ + if = λ [ω [ W i (Q ) i + i : Q K c ] [ W,i (K, Q) W i (Q ) + i i { ] μ [ W,i (L, Q) W i (Q ) + i i i + i G,i (K) + μ [ω i : Q K c : Q K c + i G,i (L). : Q K c G,i (λ K + μ L) + i λ G,i (K) + i + μ G,i (L) + i. (4.2) By the euality coditios of (4.), we kow that euality holds i (4.2) if ad oly if K ad L are dilates. For K, L So, adλ, μ 0 (ot both zero), the L -radial combiatio, λ K + μ L So,ofK ad L is defied by (see [4]) ρ(λ K + μ L, ) = λρ(k, ) + μρ(l, ). (4.3) Based o defiitio (4.3), Wag ad Qi [24] obtaied a Bru Mikowski-tye ieuality for L -dual geomiimal surface area. THEOREM 4A. If K, L Kos, ad λ, μ 0 (ot both zero), the G (λ K + + μ L) λ G (K) + μ G (L) with euality if ad oly if K ad L are dilates. Here we exted Theorem 4A ad establish the followig Bru Mikowski-tye ieuality for L -dual mixed geomiimal surface areas. Usig defiitio (4.3), our result ca be stated as follows. THEOREM 4.. If K, L So,, λ, μ 0 (ot both zero) ad 0 i <, the G,i (λ K + + i μ L) λ G,i (K) + μ G,i (L) with euality if ad oly if K ad L are dilates.

10 238 YIBIN FENG AND WEIDONG WANG Thus, Proof. From defiitios (.3) ad (4.3), we have for 0 i < ω i G,i (λ K + + i μ L) = if = if = if if + if { W,i (λ K + + i μ L, Q) W i (Q ) i { [ λ W,i (K, Q) + μ W,i (L, Q) ] W i (Q ) i {λ W,i (K, Q) W i (Q ) i {λ W,i (K, Q) W i (Q ) i {μ W,i (L, Q) W i (Q ) i = ω i λ G,i (K) + ω i μ G,i (L). : Q K c : Q K c + μ W,i (L, Q) W i (Q ) i : Q K c : Q K c : Q K c G,i (λ K + + i μ L) λ G,i (K) + μ G,i (L). (4.4) Euality holds if ad oly if λ K + + i μ L is a dilate of both K ad L. This meas that euality holds i (4.4) if ad oly if K ad L are dilates. ACKNOWLEDGEMENTS. Research is suorted i art by the Natural Sciece Foudatio of Chia (Grat No. 0677) ad Iovatio Foudatio of Graduate Studet of Chia Three Gorges Uiversity (Grat No. 202CX075). The authors deely thak the aoymous referee for his or her very valuable ad helful commets ad suggestios which made this aer more accurate ad readable. REFERENCES. S. Alesker, A. Berig ad F. E. Schuster, Harmoic aalysis of traslatio ivariat valu- atios, Geom. Fuct. Aal. 2 (20), R. J. Garder, Geometric tomograhy, 2d ed. (Cambridge Uiversity Press, Cambridge, UK, 2006). 3. R. J. Garder, A. Koldobsky ad T. Schlumrecht, A aalytic solutio to the Busema-Petty roblem o sectios of covex bodies, A. Math. 49 (999), C. Haberl, L -itersectio bodies, Adv. Math. 27(6) (2008), G. H. Hardy, J. E. Littlewood ad G. Pólya, Ieualities (Cambridge Uiversity Press, Cambridge, UK, 959). 6. M. Ludwig, Itersectio bodies ad valuatios, Amer.J.Math.28 (2006), M. Ludwig, Geeral affie surface areas, Adv. Math. 224 (200), M. Ludwig ad M. Reitzer, A characterizatio of affie surface area, Adv. Math. 47 (999), M. Ludwig ad M. Reitzer, A classificatio of SL() ivariat valuatios, A. Math. 72 (200), E. Lutwak, Dual mixed volumes, Pacific J. Math. 58 (975), E. Lutwak, Volume of mixed bodies, Tras. Amer. Math. Soc. 294(2) (986), E. Lutwak, Mixed affie surface area, J. Math. Aal. Al. 25 (987), E. Lutwak, Itersectio bodies ad dual mixed volumes,adv. Math. 7 (988), E. Lutwak, Cetroid bodies ad dual mixed volumes, Proc. Lod. Math. Soc. 60 (990),

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