Mütze und Handschuhe trägt er nie zusammen. Handschuhe und Schal trägt er immer zugleich. (h s) Modellierung als Klauselmenge
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- Rainer Althaus
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1 Was bisher geschah Klassische Aussagenlogik: Syntax Semantik semantische Äquivalenz und Folgern syntaktisches Ableiten (Resolution) Modellierung in Aussagenlogik: Wissensrepräsentation, Schaltungslogik, 88
2 Modellierungsbeispiel: Winterbekleidung Wenn es kalt ist, trägt Paul immer eine Mütze, einen Schal oder Handschuhe. (m s h) Ohne Handschuhe oder Schal trägt er keine Mütze. ( (h s) m) Mütze und Handschuhe trägt er nie zusammen. ( (m h)) Handschuhe und Schal trägt er immer zugleich. (h s) Modellierung als Klauselmenge Φ = {m h s, h s m, m h, h s, s h} Welche der folgende Aussagen folgen daraus: Bei Kälte trägt er immer seinen Schal. Bei Kälte trägt er immer Handschuhe oder Mütze. Er trägt nie Handschuhe. Lösung nach Resolutionsverfahren 89
3 Schlussregeln aus anderen Kalkülen Resolutionsregel: ϕ ψ ψ η ϕ η weitere Schlussregeln als Spezialfälle der Resolutionsregel: Modus Ponens ψ ψ η η Modus Tollens ψ ϕ ψ ϕ Disjunktiver Syllogismus ϕ ψ ψ ϕ Hypothetischer Syllogismus ϕ ψ ψ η ϕ η 90
4 Wiederholung: Erfüllbarkeit ϕ AL(P) heißt erfüllbar gdw. Mod(ϕ) unerfüllbar gdw. Mod(ϕ) = allgemeingültig gdw. Mod(ϕ) = {W : P {0, 1}} Satz: ϕ AL(P) ist genau dann allgemeingültig, wenn ϕ unerfüllbar ist. 91
5 Typische Erfüllbarkeitsprobleme Verifikation digitaler Schaltungen: gegeben: Schaltung: (Ausgabe-Verhalten als boolesche Funktion, Formel ϕ) Spezifikation (logische Formel ψ) Frage: Erfüllt die Schaltung die Spezifikation? (Folgt ψ aus ϕ?) Gegenbeispiel bei negativer Antwort: Belegung W : P {0, 1} mit W (ϕ ψ) = 0 Verifikation von Programmen: gegeben: Programm (Ausgabe-Verhalten als Formelmenge Φ) Spezifikation (logische Formel ψ) Frage: Erfüllt das Programm die Spezifikation? (Folgt ψ aus Φ?) Gegenbeispiel bei negativer Antwort: Belegung W : P {0, 1} mit W Mod(Φ { ψ}) kombinatorische Probleme, z.b. Graphfärbung, Sudoku 92
6 Erfüllbarkeitsäquivalenz Definition Zwei Formeln ϕ, ψ heißen erfüllbarkeitsäquivalent, wenn gilt: ϕ ist genau dann erfüllbar, wenn ψ erfüllbar ist. Achtung: Erfüllbarkeitsäquivalenz ist schwächer als semantische Äquivalenz. Beispiel: p q und r sind erfüllbarkeitsäquivalent, aber nicht äquivalent. Erfüllbarkeitsäquivalenz bleibt beim Einsetzen in Formeln nicht erhalten. Beispiel: p und q sind erfüllbarkeitsäquivalent, aber p p und p q nicht. 93
7 DNF-SAT Problem DNF-SAT: gegeben: DNF ϕ = m i=1 Frage: Ist ϕ erfüllbar? Lösungsidee: ki j=1 l i,j ϕ ist genau dann erfüllbar, wenn (wenigstens) eine der m Konjunktionen k i j=1 l i,j erfüllbar ist. Konjunktion k i j=1 l i,j ist genau dann unerfüllbar, wenn für eine Aussagenvariable x var(ϕ) gilt: {x, x} {l i,j j {1,..., k i }} (Widerspruch). Lösungsverfahren: ϕ = m i=1 ki j=1 l i,j ist genau dann erfüllbar, wenn eine der m Konjunktionen k i j=1 l i,j widerspruchsfrei ist, unerfüllbar, wenn alle m Konjunktionen einen Widerspruch enthalten. Problem DNF-SAT ist einfach (schnell) zu lösen. 94
8 CNF-SAT Problem CNF-SAT: gegeben: CNF ϕ = m ki i=1 j=1 l i,j Frage: Ist ϕ erfüllbar? Lösungsansätze: Test aller möglichen Belegungen für große Anzahl an Aussagenvariablen ineffizient Umformung in eine zu ϕ äquivalente DNF ψ Test von ψ auf Erfüllbarkeit für große Anzahl an Aussagenvariablen ineffizient Konstruktion einer Formel ψ mit 1. ψ erfüllbar gdw. ϕ erfüllbar und 2. Erfüllbarkeit für ψ einfach zu testen Problem CNF-SAT ist schwierig zu lösen. (zeitaufwendig) 95
9 Spezialfall 2-SAT 2-CNF: Formel der Form m k i ϕ = l i,j mit i {1,..., m} : k i 2 i=1 j=1 Problem 2-SAT: gegeben: 2-CNF ϕ Frage: Ist ϕ erfüllbar? Problem 2-SAT ist einfach (schnell) zu lösen. (Lösung als Graphproblem) Aber: Nicht zu jeder Formel ϕ AL(P) existiert eine erfüllbarkeitsäquivalente 2-CNF. 96
10 3-CNF 3-CNF: Formel der Form ϕ = m k i l i,j mit i {1,..., m} : k i 3 i=1 j=1 Satz Zu jeder Formel ϕ AL(P) existiert eine erfüllbarkeitsäquivalente 3-CNF ψ. gegeben: CNF ϕ Konstruktion von ψ durch Ersetzen jeder Konjunktion k j=1 l j durch k 1 (l 1 q 1 ) ( q h 1 l h q h ) ( q k 1 l k 1 l k ) h=2 mit neuen Aussagevariablen {q 1,..., q n } (für Teilformeln) 97
11 Spezialfall 3-SAT Problem 3-SAT: gegeben: 3-CNF ϕ Frage: Ist ϕ erfüllbar? Problem 3-SAT ist schwierig zu lösen. (mehr dazu in LV Theoretische Informatik) 98
12 SAT-Solver SAT-Solver: Werkzeug zum Lösen von CNF-SAT-Instanzen Problem CNF-SAT schwierig (in ungünstigen Fällen) SAT-Solver benutzen heuristische Verfahren, finden für praktische Probleme oft schnell eine Lösung, meist Ausgabe einer erfüllenden Belegung (wenn eine existiert) aktive Forschung auf diesem Gebiet: jährlich Wettbewerbe ( typische Anwendung von SAT-Solvern: 1. Modellierung des ursprünglichen Problems P als CNF-SAT-Instanz P (Darstellung als CNF ϕ) 2. Lösung von P mit SAT-Solver 3. Übersetzung erfüllender Belegung für ϕ in Lösung für P Beispiele: Schaltkreisverifikation, Model-Checking, Planen, Constraint-Lösen 8-Damen-Problem, Sudoku 99
13 Modellierungsbeispiel: n-damen Frage: Lassen sich n Damen so auf einem n n-schachbrett anordnen, dass keine Dame eine andere bedroht? Lösung: Anordnung, falls möglich Bedingungen: n Damen auf dem Feld keine Zeilenbedrohung keine Spaltenbedrohung keine diagonale Bedrohung 100
14 Repräsentation des 3-Damen-Problems 9 Felder Aussagenvariablen {1,..., 9} Bedingungen: n Damen auf dem Feld, (in jeder Zeile eine Dame) 1 2 3, 4 5 6, keine Zeilenbedrohung 1 2, 1 3, , 4 6, , 7 9, 8 9 keine Spaltenbedrohung 1 4, 1 7, , 2 8, , 3 9, 6 9 keine diagonale Bedrohung 1 5, 1 9, , , 3 7, , 6 8 Lösung: Modell (erfüllende Belegung) 101
15 SAT-Solver SAT-Solver: Werkzeug zum Lösen von CNF-SAT-Instanzen Erfüllbarkeitsproblem für CNF (CNF-SAT) schwierig (in ungünstigen Fällen) SAT-Solver benutzen heuristische Verfahren, finden für praktische Probleme oft schnell eine Lösung, meist Ausgabe einer erfüllenden Belegung (wenn eine existiert) aktive Forschung auf diesem Gebiet: jährlich Wettbewerbe ( 3-Damen-Problem hat keine Lösung (unerfüllbar) eine mögliche Lösung für das 4-Damen-Problem:
16 Algorithmische Entscheidbarkeit der Aussagenlogik Es existieren Verfahren, welche für jede Formel ϕ AL(P) entscheiden, ob ϕ erfüllbar ist, z.b. semantisch Modellmengen, WW-Tabelle syntaktisch f aus ϕ durch Resolution nicht ableitbar ϕ unerfüllbar ist, z.b. semantisch Modellmengen, WW-Tabelle syntaktisch Ableitung von f aus ϕ durch Resolution ϕ allgemeingültig ist, z.b. semantisch Modellmengen, WW-Tabelle syntaktisch Ableitung von f aus ϕ durch Resolution für jedes Paar von Formeln ϕ, ψ AL(P) entscheiden, ob ϕ und ψ semantisch äquivalent sind (d.h. ϕ ψ) semantisch Modellmengen, WW-Tabelle syntaktisch äquivalente Umformungen für jede Formelmenge Φ AL(P) und jede Formel ψ AL(P) entscheiden, ob ψ aus Φ folgt (d.h. Φ = ψ) semantisch Modellmengen, WW-Tabelle syntaktisch Ableitung von f aus Φ { ψ} durch Resolution 103
17 Grundbegriffe der Aussagenlogik Syntax Junktoren Aussagenvariablen Atom, Literal Formeln äquivalente Umformung Junktorbasen Normalformen (CNF, DNF) Minimierung syntaktisches Ableiten Resolution Semantik Wahrheitswertfunktionen Boolesche Algebra (Gesetze) Belegungen Modelle Wahrheitswerttabellen erfüllbar, unerfüllbar allgemeingültig semantische Äquivalenz (Wahrheitswerttabellen) semantisches Folgern 104
18 Klassische Aussagenlogik (Zusammenfassung) deklarative Beschreibung von Problemen: Erfüllbarkeitsprobleme, z.b. kombinatorische Suche: n-damen, Planen Allgemeingültigkeitsprobleme, z.b. Entwurf digitaler Schaltungen Unerfüllbarkeitsprobleme, z.b. Programmverifikation (Nachweis der Korrektkeit) Folgerungsprobleme, z.b. automatisches Beweisen Lösung der durch aussagenlogische Formeln beschriebene Probleme durch Standard-Verfahren (z.b. Wahrheitswerttabellen, Resolution, SAT-Solver) 105
19 Beschränkte Ausdrucksstärke der Aussagenlogik Aussagen immer zweiwertig (nur wahr oder falsch, keine Zwischenwerte), z.b.: Die Rose ist rot. Das Bier ist kalt. Der Student ist fleißig. (Erweiterung zu mehrwertigen Logiken, fuzzy logic) Aussagen immer absolut (keine Abhängigkeit vom Kontext, z.b. Ort, Zeitpunkt), z.b.: Es regnet. (Erweiterung zur Modal- und Temporallogiken) Aussagen über alle Elemente großer Mengen aufwendig (Erstellung, Platzbedarf), z.b. n-damen-problem keine Aussagen über Elemente einer unendlichen Mengen oder Mengen unbestimmter Mächtigkeit möglich, z.b. Jede durch 4 teilbare Zahl ist gerade. Es gibt eine gerade Primzahl. Es ist nicht alles Gold was glänzt. (Erweiterung zur Prädikatenlogik) 106
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