Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 8

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1 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 8 Hausaufgaben Aufgabe 8. Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum weiter sei k N \ {} und v... v k V. a) Zeigen Sie: Jede endliche Teilmenge einer linear unabhängigen Menge von Vektoren ist linear unabhängig. b) Zeigen Sie: v... v k sind genau dann linear unabhängig wenn für jeden Index i [k] gilt: lin {v... v k } lin {v... v i v i... v k } Lösung zu Aufgabe 8. a) Sei M V eine linear unabhängige Menge von Vektoren und M = {u... u t } M eine endliche Teilmenge von M. Angenommen die Vektoren in M wären linear abhängig dann gäbe es λ... λ t K die nicht alle gleich sind mit t λ i u i =. i= Setzt man nun µ(v) := λ i für alle v = u i M und µ(v) := für alle vinm \ M so gilt t µ(v) v = λ i u i =. v M i= Da die µ(v) nicht alle sind ist damit auch M linear abhängig im Widerspruch zur Voraussetzung. b) Wir zeigen beide Richtung getrennt: : Seien v... v k linear unabhängig und sei i [k] beliebig. Angenommen lin {v... v k } = lin {v... v i v i... v k } dann ist insbesondere v i lin {v... v i v i... v k } also gibt es λ... λ i λ i... λ K mit v i = λ v λ i v i λ i v i λ k v k.

2 Das bedeutet aber v i λ v λ i v i λ i v i λ k v k = im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit von v... v k. : Sei nun lin {v... v k } lin {v... v i v i... v k } für jeden Index i [k]. Um zu zeigen dass dann v... v k linear unabhängig sind seien λ... λ k K gegeben mit k λ i v i =. i= Wir müssen zeigen dass das nur für λ = = λ k = möglich ist. Angenommen es gäbe eine Lösung für die λ i für ein i [k] gilt. Dann wäre v i = λ i i k λ i v i λ i v i. i= i=i Somit ließe sich jede Linearkombination der Vektoren v... v k die v i enthält allein mit den Vektoren v... v i v i... v k ausdrücken es wäre also lin {v... v k } = lin {v... v i v i... v k } ein Widerspruch zur Voraussetzung. Daher müssen die Vektoren v... v k linear unabhängig sein. Aufgabe 8. Berechnen Sie den Rang sowie je eine Basis von Kern Spalten- und Zeilenraum der folgenden Matrizen über dem Körper R sowie über dem Körper F : ( ) a) A = e) E = i) J = b) B = 4 6 c) C = 4 d) D = 4 f) F = ( ) 5 7 g) G = 5 4 h) H = j) K = JG k) L = ( ) G Lösung zu Aufgabe 8.

3 Für Kern und Zeilenraum bringen wir die Matrix jeweils mit Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform. Für den Spaltenraum gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder man bringt die Matrix mit Spaltenumformungen auf Spaltenstufenform und liest daraus eine Basis des Spaltenraums ab oder man benutzt die Zeilenstufenform (die wir ja bereits ausgerechnet haben). Aus dieser liest man die Pivot-Elemente ab die Spalten mit Pivot-Elementen sind linear unabhängig und das gilt sowohl für die Zeilenstufenform als auch für die ursprüngliche Matrix (da man mit Zeilenoperationen ja keine Spalten vertauschen kann). Also bilden die Spalten der ursprünglichen Matrix (nicht der Zeilenstufenform) die zu Pivots der Zeilenstufenform gehören eine Basis des Spaltenraums. Den Rang liest man natürlich ebenfalls aus der Zeilenstufenform ab. Beim Rechnen über F spielt es keine Rolle ob man vom Beginn an modulo rechnet oder erst reell arbeitet und das Ergebnis dann modulo nimmt gegebenenfalls lässt sich das dann noch etwas weiter vereinfachen als über R. Wir rechnen deswegen zunächst reell und gehen dann zu F über. (Im Allgemeinen ist die Rechnung über F natürlich einfacher wenn also nur F verlangt wäre sollte man von vornherein auch im F arbeiten.) a) Zeilenstufenform: A = ( ) Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum: rang(a) = Kern(A) = lin ( ) {( )} Z A = lin {( )} {( )} S A = lin Zeilenstufenform über F : ( ) Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum über F : rang(a) = Kern(A) = lin {( )} Z A = lin {( )} {( )} S A = lin

4 b) Zeilenstufenform: B = Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum: rang(b) = Kern(B) = lin 7 4 Z B = lin {( ) ( 4 7)} S B = lin 6 Zeilenstufenform über F : Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum über F : rang(b) = Kern(B) = lin Z B = lin {( ) ( )} S B = lin c) Zeilenstufenform: C =

5 Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum: rang(c) = Kern(C) = Z C = R S C = R Zeilenstufenform über F : Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum über F : rang(c) = Kern(C) = Z C = lin S C = lin d) Zeilenstufenform: D = Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum: rang(d) = Kern(D) = lin Z D = lin {( ) ( )} S D = lin 5

6 Zeilenstufenform über F : Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum über F : rang(d) = Kern(D) = lin Z D = lin {( ) ( )} S D = lin e) Zeilenstufenform: E = Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum: rang(e) = Kern(E) = lin Z E = lin {( ) ( )} S E = lin Zeilenstufenform über F : 6

7 Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum über F : rang(e) = Kern(E) = lin Z E = lin {( ) ( )} S E = lin f) Zeilenstufenform: 4 F = Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum: rang(f ) = Kern(F ) = lin 4 Z F = lin {(4 )} 4 S F = lin 8 Zeilenstufenform über F : Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum über F : rang(f ) = Kern(F ) = lin Z F = lin {( )} S F = lin 7

8 g) Zeilenstufenform: G = ( 5 ) ( 5 ) 7 Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum: rang(g) = 5 Kern(G) = lin Z G = lin {( 5 7) ( )} {( ) ( )} 5 S G = lin 5 Zeilenstufenform über F : ( ) Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum über F : rang(g) = Kern(G) = lin Z G = lin {( ) ( )} {( ) ( )} S G = lin h) Zeilenstufenform: H =

9 Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum: rang(h) = Kern(H) = lin Z H = lin {( ) ( 4 ) ( 4 6)} S H = lin Zeilenstufenform über F : Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum über F : rang(h) = Kern(H) = lin Z H = lin {( ) ( ) ( )} S H = lin i) Zeilenstufenform: J = 4 4 9

10 Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum: rang(j) = {( )} Kern(J) = Z J = R S J = lin Zeilenstufenform über F : Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum über F : rang(j) = {( )} Kern(J) = Z J = F S J = lin j) Zeilenstufenform: K = JG =

11 Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum: rang(k) = 5 Kern(K) = lin Z K = lin {( 5 5) ( )} 5 S K = lin Zeilenstufenform über F : Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum über F : rang(k) = Kern(K) = lin Z K = lin {( ) ( )} S K = lin k) Zeilenstufenform: L = ( ) G = ( 4 ) 4 Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum: rang(l) = 7 5 Kern(L) = lin Z L = lin {(4 4)} {( )} 4 S L = lin

12 Zeilenstufenform über F : Rang Kern Zeilen- und Spaltenraum über F : rang(l) = Kern(L) = lin Z L = lin {( )} {( )} S L = lin Aufgabe 8. Bestimmen Sie für die folgenden Untervektorräume jeweils deren Dimension und geben Sie eine Basis an. Begründen Sie außerdem kurz warum es sich überhaupt um Vektorräume handelt. Ergänzen Sie Ihre Basis jeweils zu einer Basis des gesamten Vektorraums. a) V := {A R : a a = a } R 4 b) V := lin 9 9 R c) V := {p P 5 : p() = p( )} P 5 λ d) V 4 := λ µ : λ µ R R λ µ 4 e) V 5 := Spaltenraum von 4 R Lösung zu Aufgabe 8.

13 a) Wir stellen die Menge V zunächst etwas anders dar um ein Erzeugendensystem ablesen zu können: {( ) } a a V = a : a a a a a = a {( ) } a = a a : a a a a a a a a a R {( ) ( ) ( ) ( ) ( )} = lin Die Vektoren im lin-operator sind offenbar linear unabhängig und sie spannen V auf damit haben wir eine Basis von V gefunden; diese Basis besteht aus 5 Vektoren also ist dim(v ) = 5. Durch die Darstellung von V als lineare Hülle ist auch klar dass V ein Vektorraum ist. Um eine Basis des gesamten Vektorraums R zu erhalten kann man z. B. eine (eine weil dim(r = 6) Matrix ergänzen die an Position ( ) eine sonst lauter -Einträge besitzt genau an dieser Position steht in den V -Matrizen ja ein Eintrag der nicht frei wählbar ist sondern von den anderen 5 Einträgen der Matrix bestimmt wird. Eine entsprechend ergänzte Basis wäre also z. B. {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}. b) V ist als lineare Hülle natürlich ein Vektorraum. Außerdem gilt: V ist der Spaltenraum der Matrix 4 A := Wir stellen zunächst fest welche Dimension dieser Spaltenraum hat und bestimmen dabei gleich eine passende Basis. Dafür führen wir auf der Matrix A Spaltenumformungen durch um die Matrix in Spaltenstufenform zu überführen: Daraus liest man sofort rang(a ) = ab also ist dim(v ) = dim(s A ) = und eine

14 Basis von V ist etwa Um daraus eine Basis des R 5 zu erhalten ergänzen wir etwa um die Vektoren c) für V siehe Mitschrift aus der Zentralübung d) Wir schreiben V 4 etwas um: λ V 4 := λ µ : λ µ R = λ µ : λ µ R = lin λ µ Damit ist V 4 als lineare Hülle natürlich ein Vektorraum der von zwei Vektoren aufgespannt wird. Diese beiden Vektoren sind linear unabhängig (das sieht man z. B. an den ersten beiden Koordinaten) also bilden sie bereits eine Basis von V 4. Damit folgt dann dim(v 4 ) =. Will man die Basis zu einer Basis des R ergänzen so muss man einen linear unabhängigen Vektor hinzunehmen etwa. e) Der Spaltenraum einer Matrix ist die lineare Hülle der Spalten somit ist V 5 sicher ein Vektorraum. Um die Dimension von V 5 zu ermitteln und ggf. eine Basis zu finden bringen wir die Matrix mit Spaltenoperationen auf Spaltenstufenform: Also ist dim(v 5 ) = und eine Basis von V 5 ist gegeben durch

15 Diese lässt sich z. B. durch Hinzunahme des Vektors zu einer Basis von R ergänzen. Aufgabe 8.4 Das Spiel Lights Out! wird auf einem n n-spielfeld gespielt. Das Spielfeld ist gitterförmig in n Felder unterteilt auf jedem Feld ist eine Lampe und ein Ein-/Ausschalter befestigt. Schaltet man eine Lampe um (ein oder aus) so ändert sich auch der Zustand der in Nord- Süd- Ost- oder West-Richtung direkt an das Feld angrenzenden Lampen (nicht der diagonal angrenzenden) entweder von ein nach aus oder umgekehrt. Das Spiel beginnt mit einer gegebenen Anfangsstellung in der einige Lampen eingeschaltet sind andere nicht. Ziel ist es mit möglichst wenigen Umschalt-Vorgängen alle Lampen auf dem Spielbrett auszuschalten. Eine Online-Demonstration finden Sie z. B. unter lightsout/lightsout.htm. Gegeben sei das folgende -Spiel. Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem über F auf aus dessen Lösung sich eine Lösung für das Spiel ablesen lässt. Versuchen Sie Ihr Vorgehen so allgemein zu beschreiben so dass es für beliebige n n-spielfelder anwendbar ist. Lösung zu Aufgabe 8.4 Wir stellen zunächst fest dass jeder Schalter höchstens einmal betätigt werden muss. Den Zustand einer Lampe (und der angrenzenden Lampen) zweimal zu ändern hat nämlich exakt den gleichen Effekt wie gar keine Änderung. Das rechtfertigt die Rechnung über dem Körper F (in dem ja gerade = gilt). Die Reihenfolge spielt ebenfalls keine Rolle es ist ja egal wann eine Lampe ein bzw. ausgeschaltet wird da sie bei jedem Tastendruck den Zustand wechselt (es gibt also keine absoluten Schaltvorgänge sondern nur solche die relativ zur aktuellen Spielstellung arbeiten). Es genügt damit für jede Position des Spielbretts anzugeben ob der zugehörige Schalter betätigt wird oder nicht. Um eine Lösung zu finden bezeichnen wir für jede Position (i j) [n] [n] auf dem Spielfeld mit x ij eine Variable die angibt ob der Schalter in Position (i j) im Spielverlauf gedrückt wird (dann ist in der Lösung x ij = ) oder nicht (dann ist x ij = ). Für jedes Feld auf dem Spielbrett kann man dann ermitteln ob die Lampe am Schluss leuchtet oder nicht indem man einfach die Variablen der benachbarten Felder (inklusive des Feldes selbst) addiert ist die Anzahl der Schaltvorgänge gerade ist der Zustand der Lampe am Ende genauso wie am Anfang bei ungerade vielen Schaltvorgängen hat er sich umgekehrt. Für das Feld ( ) erhält man den Zustand am Ende des Spiels beispielsweise als (Ausgangszustand) x x x. Das ist hier besonders einfach weil ( ) nur zwei relevante Nachbarn besitzt. Da am Ende 5

16 des Spiels alle Lampen ausgeschaltet sein sollen muss gelten x x x =. Für alle anderen Felder kann man eine ähnliche Gleichung aufstellen. Für das angegebene Beispiel erhält man folgendes lineares Gleichungssystem über F : ( ) : x x x = ( ) : x x x x = ( ) : x x x = ( ) : x x x x = ( ) : x x x x x = ( ) : x x x x = ( ) : x x x = ( ) : x x x x = ( ) : x x x = Ordnet man die Variablen in der Reihenfolge (x x x x x x x x x ) T in einem Vektor an so erhält man daraus die Matrix-Vektor-Form Ax = b mit (A b) = Wir lösen das lineare Gleichungssystem indem wir zunächst Zeilenstufenform (über F ) herstellen:. 6

17 Damit können wir eine Lösung berechnen: x = x = x = x = x = x = x = x = x = Etwas übersichtlicher dargestellt: Wir müssen die Schalter an den mit X markierten Positionen betätigen (in beliebiger Reihenfolge) um alle Lampen auszuschalten: X X X X X X Aufgabe 8.5 a) Begründen Sie kurz dass R mit der üblichen Addition und Multiplikation ein Q-Vektorraum ist. Ist R auch ein R- bzw. ein C-Vektorraum? b) Wir betrachten nun den Q-Vektorraum R (als Skalare sind also nur rationale Zahlen zugelassen). Zeigen Sie: Für jede Menge P N von Primzahlen sind die Vektoren {ln(p) : p P } linear unabhängig im Q-Vektorraum R. c) Folgern Sie dass der Q-Vektorraum R kein endliches Erzeugendensystem besitzt. 7

18 Lösung zu Aufgabe 8.5 a) Die Vektoren des Q-Vektorraums R sind die reellen Zahlen die Skalare sind die rationalen Zahlen. Damit bilden die Vektoren natürlich bezüglich eine abelsche Gruppe. Die gemischten Distributiv- und Assoziativgesetze gelten natürlich wegen der Rechenregeln in R ebenso und es gilt weiterhin x = x für jedes reelle x damit ist R ein Q-Vektorraum. Die Begründung bleibt natürlich für den Skalarenkörper R richtig R ist also auch ein R-Vektorraum. Mit C als Skalarenkörper gibt es dagegen Probleme weil die skalare Multiplikation nicht mehr abgeschlossen ist z.b. wäre i x / R für jedes reelle x. R ist also kein C-Vektorraum. b) Seien p... p n beliebige paarweise verschiedene Primzahlen und seien λ... λ n Q mit n λ i ln(p i ) =. i= Wir multiplizieren die Gleichung zunächst mit den Nennern der λ i es gibt also µ... µ n Z mit n µ i ln(p i ) =. i= Daraus folgt mit den Rechenregeln des Logarithmus Das bedeutet aber ( n ) n ln p µ i i = also muss p µ i i i= i= n i= µ i p µ i i = n i= µ i < p µ i i. = gelten. Da die Primzahlen p i paarweise verschieden sind und die Primfaktorzerlegung einer Zahl eindeutig ist folgt daraus µ = = µ n = und damit (da die µ i ganzzahlige Vielfache der λ i sind) auch λ = = λ n =. Also sind die Vektoren {ln(p) : p P } linear unabhängig. c) Nach der vorigen Teilaufgabe gibt es im Q-Vektorraum R unendlich große Teilmengen linear unabhängiger Vektoren. Da jede endliche Teilmenge von R nur einen Teil dieser Vektoren enthalten kann gibt es immer Vektoren die sich nicht als Linearkombinationen der Elemente einer endlichen Teilmenge darstellen lassen also kann keine solche Teilmenge eine Basis des Vektorraums sein. Damit ist der Q-Vektorraum R nicht endlich erzeugt. Übrigens: Beim R-Vektorraum R ist das natürlich ganz anders hier sind als Skalare ja alle reellen Zahlen erlaubt. Damit ist z. B. {} eine Basis des R-Vektorraums R. Aufgabe 8.6 In der Codierungstheorie (ein Teilgebiet der Informationstheorie) beschäftigt man sich mit der Frage wie sich Übermittlungsfehler oder -ausfälle bei der Nachrichtenübertragung erkennen 8

19 und korrigieren lassen. Konkret soll eine Nachricht (z. B. das Wort MATHE ) übertragen werden der Übertragungskanal ist aber unzuverlässig (der Kanal muss keine Stromleitung sein es kann sich etwa auch um Funkübertragung oder einen Datenträger wie eine CD handeln) es ist also nicht sichergestellt ob alle übertragenen Zeichen beim Empfänger ankommen und ob sie tatsächlich so ankommen wie sie gesendet wurden. Um das Problem zu beheben könnte man jedes Zeichen einfach mehrfach übertragen in unserem Beispiel wäre die codierte Nachricht (das Codewort) dann MMMAAATTTHHHEEE. Wenn beim Empfänger nun stattdessen MM_A_ATZTHHHEEK ankommt lässt sich die Original-Nachricht dennoch per Mehrheitsentscheidung rekonstruieren. Leider bleibt dabei nur ein Bruchteil der erreichbaren Datenrate für die Nachrichtenübertragung in diesem Beispiel ein Drittel. In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit den Grundlagen sogenannter linearer Codes. Ein (binärer) linearer Code der Länge n ist ein Untervektorraum C des F -Vektorraums F n jedes Element des Untervektorraums bezeichnet man als Codewort. Der Hamming-Abstand zweier Codeworte c c C ist die Anzahl der Positionen in denen sich c und c unterscheiden: d H (c c ) := {i [n] : c i c i} Das Hamming-Gewicht w H (c) eines Codeworts c C ist die Anzahl der Einsen in c d. h. w H (c) := d H (c ). Die Zahlen d H (C) := min {d(c c ) : c c C c c } bzw. w H (C) := min {w(c) : c C \ {}} heißen Minimalabstand bzw. Minimalgewicht des Codes C für C. a) Zeigen Sie: Eine Teilmenge C F n ist genau dann ein linearer Code der Länge n wenn gilt: ) C ) c c C : c c C b) Zeigen Sie: Für einen linearen Code C mit C gilt d(c c ) = w(c c ) für alle Codewörter c c C. c) Zeigen Sie: Für einen linearen Code C mit C gilt d H (C) = w H (C). d) Der Code C sei definiert als C := Kern. Zeigen Sie das C den Minimalabstand besitzt (ohne alle Elemente von C aufzulisten). Interpretieren Sie den Minimalabstand im Hinblick auf Fehlererkennung und Fehlerkorrektur. Lösung zu Aufgabe 8.6 siehe Mitschrift aus der Zentralübung 9

20 Aufgaben für die Tutorübung Aufgabe 8.7 Bestimmen Sie für die folgenden Untervektorräume jeweils deren Dimension und geben Sie eine Basis an. Begründen Sie außerdem kurz warum es sich überhaupt um Vektorräume handelt. Ergänzen Sie Ihre Basis jeweils zu einer Basis des gesamten Vektorraums. a) V := {x R 7 : ( ) x = } R 7 b) V := λ µ : λ µ R R c) V := Kern 4 4 R d) V 4 := {( 4 ) x : x x = } R Lösung zu Aufgabe 8.7 a) V ist offenbar der Kern der 7-Matrix A := ( ) also ist V Untervektorraum des R 7. Das Gleichungssystem Ax = ist bereits in Zeilenstufenform und besitzt ein Pivotelement der Rang der Matrix A ist also. Mit der Dimensionsformel folgt dann dim(kern(a)) = 7 rang(a) = 6. Um eine Basis zu finden lösen wir das Gleichungssystem. Die Variablen x... x 7 sind freie Variablen und es gilt x = x x 4 x 5 x 6 x 7 also ist Kern(A) = lin. Damit haben wir eine Basis von V gefunden. Um diese zu einer Basis des R 7 zu ergänzen gibt es folgende gängige Methode: ) Schreibe die Basisvektoren in eine Matrix B und ergänze diese mit einer Basis des

21 R 7 in dem Fall z. B. um die Einheitsmatrix I 7 : B = ) Führe Spaltenumformungen durch bei denen die linken Spalten (die V -Basis) unverändert bleiben und die bei den rechten Spalten möglichst viele Nullspalten erzeugen. Damit kommt man auf eine Matrix mit 7 Nicht-Nullspalten (weil B Rang 7 hat). Diese sieben Spalten bilden die ergänzte Basis des gesamten Vektorraums R 7 (ergänzt weil wir die ersten Spalten ja nicht verändert haben). Wenn es leichter fällt kann man natürlich auch mit B T arbeiten und Zeilen- statt Spaltenoperationen durchführen (und am Schluss wieder zurücktransponieren ). B =

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23 Die ergänzte Basis lautet also. b) V ist die lineare Hülle von zwei Vektoren V = lin damit handelt es sich auch um einen Vektorraum. Da beide Vektoren nicht skalare Vielfache voneinander sind sind sie linear unabhängig also bilden sie auch eine Basis von V. Daraus folgt sofort dim(v ) =. Um eine Basis des R zu finden müssen wir also noch einen Vektor hinzufügen so dass sich drei linear unabhängige Vektoren ergeben. Wir versuchen es mit ( ) T. Um nachzuweisen dass die drei Vektoren linear unabhängig sind bestimmen wir den Rang der Matrix dieser muss sein: 9 Damit ist also eine Basis des R. c) Der Kern einer Matrix ist immer ein Untervektorraum und V ist ein solcher Kern. Um eine Basis zu finden lösen wir das Gleichungssystem: Die Matrix hat also Rang damit ist dim(v ) = =. Eine Basis erhalten wir aus

24 der Lösung mit freier Variable x : Damit ist x = 8 x x = x 4x = 5 4 x V = lin 8 was auch gleich eine Basis von V liefert. Wir ergänzen diese Basis zur Basis 8 des R. Diese drei Vektoren sind linear unabhängig weil 8 8 und diese Matrix hat vollen Rang. (Wenn man die Ergänzung nicht gleich sieht kann man natürlich wieder wie vorher vorgehen: Erstmal die Standardbasis ergänzen und diese dann so vereinfachen dass die Basis von V erhalten bleibt.) d) Wir schreiben zunächst V 4 etwas um: {( ) } {( ) } 4 x 4x V 4 = x : x x = = : x x x = x {( ) } {( )} 6x 6 = : x x R = lin Damit ist klar dass V 4 ein Untervektorraum des R ist. (Alternativ hätte man auch sagen können dass V 4 das Bild des Untervektorraums Kern( ) unter einer linearen Abbildung ist und damit wieder ein Untervektorraum aber lineare Abbildungen hatten wir noch nicht als dieses Blatt herauskam). Man sieht auch sofort dass (6 ) T eine Basis von V 4 ist damit gilt dim(v 4 ) =. Um diese Basis zu einer Basis des R zu ergänzen suchen wir einen beliebigen Vektor v R so dass { v (6 ) T } linear unabhängig sind. Dafür eignet sich z. B. v = ( ) T also ist eine geeignete Basis des R. {( ) ( )} 6 4

25 Aufgabe 8.8 Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum weiter sei k N \ {} und v... v k V. a) Zeigen Sie: Wenn es einen Index i [k] und Skalare β... β i β i... β k K gibt mit v i = β v β i v i β i v i... β k v k so sind die Vektoren v... v k linear abhängig. b) Zeigen Sie: Jede endliche Menge von Vektoren die eine linear abhängige Teilmenge enthält ist selbst linear abhängig. Lösung zu Aufgabe 8.8 a) Mit der Voraussetzung gilt offenbar β v β i v i ( ) v i β i v io β k v k = also lässt sich der Nullvektor als nichttriviale Linearkombination der Vektoren v... v k darstellen. Damit sind die Vektoren linear abhängig. b) Sei U V eine endliche Menge von Vektoren und sei m := U. Wir nummerieren die Elemente von U von bis m in beliebiger Reihenfolge und bezeichnen Sie mit u... u m also U = {u... u m }. Nach Voraussetzung besitzt U eine linear abhängige Teilmenge sei also I [m] so gewählt dass {u i : i I} linear abhängig ist. Dann gibt es λ i K i I so dass λ i u i = i I und so dass die λ i nicht alle sind. Setzt man nun λ i := für alle i [m] \ I so erhält man natürlich m λ i u i = i= und die λ i sind nicht alle also ist auch die Menge U selbst linear abhängig. Aufgabe 8.9 Sei n N eine natürliche Zahl mit der Dezimaldarstellung k n = a i i a i {... 9} k N. i= Zeigen Sie mit Hilfe der Rechenregeln in den endlichen Körpern F p folgende Teilbarkeitsregeln: a) Die Zahl n ist genau dann durch bzw. durch 9 teilbar wenn das für ihre Quersumme q := k i= a i gilt. 5

26 b) Die Zahl n ist genau dann durch teilbar wenn das für ihre alternierende Quersumme q := k i= ( ) i a i gilt. Lösung zu Aufgabe 8.9 a) Die Zahl n ist genau dann durch teilbar wenn n mod. Mit den Rechenregeln für F ergibt sich: n mod k a i i mod i= k a i i mod i= q mod Letzteres ist gleichbedeutend mit q ist durch teilbar. Genauso funktioniert die Rechnung mit 9 statt weil auch hier gilt i mod 9. b) Die Zahl n ist genau dann durch teilbar wenn n mod. Mit den Rechenregeln für F ergibt sich: n mod k a i i mod i= k a i ( ) i mod i= q mod Letzteres ist gleichbedeutend mit q ist durch teilbar. 6