Übungen zu Kapitel 4: Einführung in die Spieltheorie

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1 Universität Erfurt Lehrstuhl für Mikroökonomie Prof Dr Bettina Rockenbach Übungen zu Kapitel 4: Einführung in die Spieltheorie Aufgabe 41 Spieler B Spieler A B1 B2 A1 5, 6 7, 2 A2 4, 5 9, 1 Im obigen Spiel gilt: a) Spieler A hat eine dominante Strategie b) Spieler B hat eine dominante Strategie c) Beide Spieler haben eine dominante Strategie d) Keiner der beiden Spieler hat eine dominante Strategie Wie lautet das Nash-Gleichgewicht (in reinen Strategien) des obigen Spiels? Spieler A hat keine dominante Strategie! Spieler B hat eine dominante Strategie! (B1; egal ob Spieler A A1 oder A2 wählt ist es für Spieler B immer beste Antwort B1 zu wählen) Nash-Gleichgewicht: A1,B1 Aufgabe 42 Spieler A Spieler B B1 B2 A1 6, 6 4, 12 A2 12, 4 10, 10 Im obigen Spiel gilt: a Spieler A hat eine dominante Strategie b Spieler B hat eine dominante Strategie c Beide Spieler haben eine dominante Strategie d Keiner der beiden Spieler habt eine dominante Strategie Wie lautet das Nash-Gleichgewicht (in reinen Strategien) des obigen Spiels? Spieler A hat eine dominante Strategie! (A2; egal ob Spieler B B1 oder B2 wählt ist es für Spieler A immer beste Antwort A2 zu wählen) Spieler B hat eine dominante Strategie! (B2; egal ob Spieler A A1 oder A2 wählt ist es für Spieler B immer beste Antwort B2 zu wählen) Nash-Gleichgewicht: A2,B2 Mikroökonomie I WS 2004/05 Übungsaufgaben und Lösungen 19

2 Universität Erfurt Lehrstuhl für Mikroökonomie Prof Dr Bettina Rockenbach Aufgabe 43 Coca-Cola Pepsi-Cola Werbung keine Werbung 2, 4 4, 2 keine 04, 8 3, 6 Das obige Spiel zeigt die Gewinne (in Mio US-Dollar) von Coca-Cola und Pepsi-Cola im Falle von Werbung und keine Werbung 1) Wie lautet das Nash-Gleichgewicht (in reines Strategien) des obigen Spiels? 2) Wenn sich beide Firmen durch Abschluss eines bindenden Vertrages verpflichten könnten, keine Werbung zu machen, sollten sie dies tun? Wenn a, warum? 1) Nash-Gleichgewicht: Werbung, Werbung 2) a, weil für beide Anbieter effizienter Aufgabe 44 Stellen Sie folgende Situationen als Spiel in extensiver Form anhand eines Spielbaumes dar 1) Der Autohändler A hat einen alten VW Käfer, den er mit 8000 bewertet Er kann den Wagen dem Privatmann P für oder für oder gar nicht anbieten Der P kann ein Angebot annehmen oder ablehnen P bewertet den Käfer mit ) Mr Smith und Mrs Cooper haben sich zum Mittagessen in New York verabredet Sie haben edoch vergessen, den Ort ihres Treffens zu vereinbaren Als Treffpunkt kommen lediglich das Empire State Building und die Freiheitsstatue in Frage Mr Smith und Mrs Cooper können vor dem Treffen nicht mehr miteinander in Kontakt treten Beide müssen sich entscheiden, wohin sie gehen Gelingt das Treffen, können sie miteinander essen, was beiden 100$ wert ist Andernfalls müssen sie alleine essen, was beide mit 0$ bewerten 1) annehmen (2000;2000) A P P Nicht an- Nicht annehmen nehmen annehmen Nicht anbieten (0;0) (7000;-3000) (0;0) (0;0) 2) M r S M r C ESB FS M r C ESB FS ESB FS 100;100 0;0 0;0 100;100 Mikroökonomie I WS 2004/05 Übungsaufgaben und Lösungen 20

3 Universität Erfurt Lehrstuhl für Mikroökonomie Prof Dr Bettina Rockenbach Aufgabe 45 Betrachten Sie zwei Firmen, die denselben Output produzieren und ihn in einem Markt mit der folgenden Nachfragefunktion absetzen: D(p) = max {0, 12 -p} Nehmen Sie an, dass Firma 1 aus technologischen Gründen entweder 3 Einheiten des Gutes zu Kosten von 9, 4 Einheiten zu Kosten von 10, oder 6 Einheiten zu Kosten von 15 produzieren kann Firma 2 kann ebenfalls aus technologischen Gründen entweder 3 Einheiten zu Kosten von 8, oder 4 Einheiten zu Kosten von 10 produzieren Beide Firmen treffen ihre Produktionsentscheidung gleichzeitig 1) Bestimmen Sie die Menge der (reinen) Strategien edes Spielers Bestimmen Sie für ede Strategienkombination den Preis, der sich am Markt einstellt 2) Stellen Sie die Auszahlung der Spieler zu eder Strategienkombination als Auszahlungsmatrix dar 3) Bestimmen Sie die Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien D p 1) ( ) = { 0, 12 p} max p = 12 q für p < 12 Firma 1 Einheiten Kosten Firma 2 Einheiten Kosten Strategiekombination p (12-q) Π 1 Π 2 (3,3) (3,4) (4,3) (4,4) (6,3) (6,4) ) Firma * Firma * ) Nash-Gleichgewichte: (4,3) und (3,4) Mikroökonomie I WS 2004/05 Übungsaufgaben und Lösungen 21

4 Universität Erfurt Lehrstuhl für Mikroökonomie Prof Dr Bettina Rockenbach Aufgabe 46 Haben Sie eine Idee, warum man das Spiel mit der folgenden Auszahlungsmatrix Battle of the sexes nennt? Bestimmen Sie die Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien Nash-Gleichgewichte: Ballett Boxen Ballett (2,1) (0,0) Boxen (0,0) (1,2) Ballett, Ballett Boxen, Boxen Aufgabe 47 Das Unternehmen Solari (S), eines der Marktführer von Photovoltaikanlagen für Einfamilienhäuser, plant, in der Stadt E ein Sonderprogramm zu starten, um die Verbreitung von Photovoltaikanlagen in der Stadt E zu erhöhen Als Reaktion kündigt das lokale Gasversorgungsunternehmen (G) für den Fall eines solchen Programms an, den Gaspreis so weit zu senken, dass sich die Anschaffungskosten für eine Photovoltaikanlage nicht mehr lohnen würden Nun überlegt S, ob es das Sonderprogramm wirklich auflegen soll Tut S dies nicht, so bleibt die Gewinnsituation beider Unternehmen unverändert: S macht einen Jahresgewinn in Höhe von 2 Mio und G einen Jahresgewinn von 6 Mio Startet S das Sonderprogramm und senkt G die Gaspreise, müssen beide Unternehmen mit Rückgang ihrer Jahresgewinne rechnen, dh einem 0,5 Mio Jahresgewinn für S und 3 Mio für G Sollte G die Gaspreise edoch nicht senken, obwohl S das Sonderprogramm startet, so ist mit Jahresgewinnen von 4 Mio für S und von 5 Mio für G zu rechnen 1) Stellen Sie die Situation als extensives Spiel dar 2) Bestimmen Sie mit Hilfe der Rückwärtsinduktion das teilspielperfekte Gleichgewicht Wie lautet es? 3) Wie lautet das zugehörige Normalformspiel? 4) Bestimmen Sie die Nash Gleichgewichte des Normalformspiels 5) Vergleichen Sie die Menge der teilspielperfekten Gleichgewichte und die Menge der Nash Gleichgewichte Erklären Sie den Unterschied 1) (0,5;3) Sonderaktion G Sonderaktion S Kein Keine Sonderaktion (4;5) (2;6) Mikroökonomie I WS 2004/05 Übungsaufgaben und Lösungen 22

5 Universität Erfurt Lehrstuhl für Mikroökonomie Prof Dr Bettina Rockenbach 2) teilspielperfekte Gleichgewicht: Sonderaktion/kein 3) Normalformspiel G Kein Sonderaktion 0,5 4 S Keine Sonderaktion ) Nash-Gleichgewichte: (Sonderaktion/kein ) (keine Sonderaktion/) 5) Es gibt ein teilspielperfektes Gleichgewicht und zwei Nash-Gleichgewichte Das Nash- Gleichgewicht (keine Sonderaktion/) ist keine glaubwürdige Drohung, S sollte sich daher nicht abschrecken lassen Aufgabe 48 Gegeben sei das folgende 2 Personen Normalformspiel Spieler 2 L C R T 3, 3 0, 5 1, 2 Spieler 1 M 4, 2 8, 7 6, 4 B 5, 7 5, 8 2, 5 1) Hat Spieler 1 eine dominante Strategie? 2) Hat Spieler 2 eine dominante Strategie? 3) Bestimmen Sie die Nash Gleichgewichte dieses Spiels 1) Spieler 1 hat keine dominante Strategie! 2) Spieler 2 hat eine dominante Strategie! (auf ede Entscheidung von Spieler 1 ist es beste Antwort von Spieler 2 C zu wählen 3) Nash-Gleichgewichte: (M,C) Aufgabe 49 Gegeben sei das folgende 3 Personen Normalformspiel, in dem Spieler 1 die Zeile, Spieler 2 die Spalte und Spieler 3 die Tabelle wählen kann Spieler 1 Spieler 2 L R T 6, 3, 2 4, 8, 6 B 2, 3, 9 4, 2, 0 Spieler 1 Spieler 2 L R T 8, 1, 1 0, 0, 5 B 9, 4, 9 0, 0, 0 Mikroökonomie I WS 2004/05 Übungsaufgaben und Lösungen 23

6 Universität Erfurt Lehrstuhl für Mikroökonomie Prof Dr Bettina Rockenbach Die erste Zahl in einer Zelle stellt die Auszahlung für Spieler 1 dar, die zweite die für Spieler 2 und die dritte die für Spieler 3 Bestimmen Sie die Nash Gleichgewichte Nash-Gleichgewicht: Tabelle 1 (T,R), Tabelle 2 (B,L) Spieler 3 wird sich demnach für Tabelle 2 entscheiden Aufgabe 410 Zwei Schweine, eines dominant und eines unterwürfig, werden in einen Käfig gesperrt An dem einen Ende des Käfigs befindet sich ein Hebel Wird dieser Hebel betätigt, wird am anderen Ende des Käfigs Futter eingelassen Dies bedeutet, dass das Schwein, welches den Hebel betätigt, zunächst zum anderen Ende des Käfigs laufen muss, um an das Futter zu kommen In dieser Zeit hat das andere Schwein fast das ganze Futter edoch nicht alles - aufgefressen Falls beide Schweine beim Futter sind, ist das dominante Schwein in der Lage das unterwürfige Schwein vom Futter zu vertreiben, so dass letzteres nichts abbekommt Nehmen Sie an, dass beide Schweine versuchen, so viel Futter zu bekommen wie möglich Welches Schwein wird den Hebel betätigen? Dominantes Schwein Hebel Kein Hebel Unterw Schwein Hebel Kein Hebel ε ε 0 Das dominante Schwein wird den Hebel betätigen Aufgabe 411 (Centipede Game) Ein reicher Thüringer Bürger hat sich entschlossen, einer Universität zu schenken Er lädt die Kanzler der Universitäten Jena und Erfurt zu sich ein, wo er das Geld in einem Koffer bereithält Bevor er das Geld einer der beiden Universitäten zukommen lässt, möchte er, dass die beiden Kanzler ein Spiel spielen, um aufgrund des Spiels zu entscheiden, welche Uni das Geld bekommt Das Spiel läuft folgendermaßen ab: Zuerst wird dem Kanzler der Uni Jena ein angeboten, den er nehmen oder ablehnen kann Lehnt er ab, bietet der Thüringer Bürger dem Kanzler der Uni Erfurt 10 an Lehnt dieser ab, werden dem Kanzler der Uni Jena 100 angeboten, dh nach eder Ablehnung wird der Betrag verzehnfacht und dem eweils anderen vorgeschlagen Die maximal vorgeschlagene Summe beträgt 10 9 Wird auch dieser Betrag abgelehnt, erhalten beide nichts Zeichnen sie die Extensivform des Spiels Bestimmen Sie das teilspielperfekte Gleichgewicht? n n n n n n KJ n KE n KJ n KE n KJ n KE n KJ n KE n KJ n KE n n (0;0) (1;0) (0;10) (10²;0) (0;10 3 ) (10 4 ;0) (0;10 5 ) (10 6 ;0) (0;10 7 ) (10 8 ;0) (0;10 9 ) Durch Rückwärtsinduktion findet sich das Gleichgewicht (1; 0) Mikroökonomie I WS 2004/05 Übungsaufgaben und Lösungen 24