Klassenstufe 8 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme

Transkript

1 Fachbereich Mathematik und ihre Didaktik Klassenstufe 8 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme Didaktik III: Computernutzung im Mathematikunterricht Stephanie Jennewein

2 Verlauf 1. Einordnung in den Lehrplan 2. Einstiegsaufgabe zur Arbeitsphase 3. Arbeitsphase (Einzelarbeit) 4. Besprechung der Aufgaben, deren didaktische Vorgehensweise und Reflexion über Mehrwert der Aufgaben durch den GTR 5. Beispiel einer Klassenarbeit mit GTR-Einsatz

3 Einordnung in den Lehrplan Lernvoraussetzungen: Gleichungen mit einer Unbekannten (Klasse 5 und 6) Lineare Funktionen (Klasse 7) aus: Bildungsserver Saarland, Erziehung und Unterricht, Lehrpläne :

4 Einstiegsaufgabe aus: Peters, Uwe: Gleichungen und Gleichungssysteme. In: Eichhorn, Lambert, Peters: Cassis-Projekt. Unterrichten mit neuen Medien. Softfrutti-Verlag

5 Einstiegsaufgabe a) Lösung erstes Rätsel: 6; Lösungen zweites Rätsel: (4 0), (5 1), (8 6),... b) -Ich konnte nur eine Lösung finden. Es gibt nur eine Lösung, weil zu dem Rätsel nur eine Zahl passt. -Ich konnte viele Lösungen finden und könnte noch mehr finden. Es gibt unendlich viele Lösungen zu dem Rätsel. Eine Zahl des Lösungspaares kann man frei wählen, die andere ergibt sich dann durch das Rätsel.

6 Einstiegsaufgabe c) 3x-2=16 Gleichung mit einer Unbekannten 3x-2y=12 es gibt zwei Unbekannte in der Gleichung

7 Einstiegsaufgabe Didaktische Vorgehensweise Ausgang: bekanntes Problem (Gleichung mit einer Unbekannten): Vom Bekannten zum Unbekannten Die Schüler erforschen nun selbstständig die Gleichung mit zwei Unbekannten. Sie erkennen, dass es im Gegensatz zur Gleichung mit einer Unbekannten unendlich viele Lösungen geben kann Der GTR wird nicht eingesetzt, da er hier keinen sinnvollen Zweck erfüllen würde. Die Schüler müssen erstmal das neue Thema verstehen.

8 Arbeitsphase Bearbeite die Aufgaben 1-8 Gib die Lösung an Erläutere die didaktische Vorgehensweise. Beziehe dich dabei auch auf die Reihenfolge mehrerer Aufgaben und denke an die Lernvoraussetzungen Reflektiere den Mehrwert der Aufgaben durch GTR-Einsatz vs. Bearbeitung der Aufgaben ohne GTR. Welche Rolle spielt der GTR?

9 Aufgaben aus: Peters, Uwe: Gleichungen und Gleichungssysteme. In: Eichhorn, Lambert, Peters: Cassis-Projekt. Unterrichten mit neuen Medien. Softfrutti-Verlag

10 Aufgaben aus: Peters, Uwe: Gleichungen und Gleichungssysteme. In: Eichhorn, Lambert, Peters: Cassis-Projekt. Unterrichten mit neuen Medien. Softfrutti-Verlag

11 Lösungen-Aufgabe 1 a) (2 1), (4-4), (6-9), (-2 11), (0 6) b) Die Punkte liegen auf einer Geraden

12 Lösungen-Aufgabe 1 c) (1 7/2), (3-3/2), (1/2 4,75) d) Eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten enthält x und y mit möglichen Parametern. Dazu kann die Gleichung Konstante enthalten. Vermutung: Das Schaubild einer linearen Gleichung mit zwei Unbekannten ist ein Gerade.

13 Lösungen-Aufgabe 1 Didaktische Reflexion Zunächst sollen die Schüler die Gleichung als einfache Gleichung sehen und Lösungspaare durch Ausprobieren finden. Dann erst sollen sie die Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und eine Gerade erkennen.

14 Lösungen-Aufgabe 1 Mehrwert durch GTR Der Zeitpunkt ist noch zu früh, um den GTR sinnvoll einzusetzen. Die Schüler sollen durch eigenes Experimentieren mit Papier und Bleistift in das Thema finden.

15 Lösungen-Aufgabe 2 6x+4y=20 es werden Lösungspaare gefunden, die in die Tabellenkalkulation des GTR eingegeben werden. Somit erhält man: y-achsenabschnitt: 5 Steigung: -3/2 6x+4y=20 4y=20-6x y=-3/2x+5 Form: y=mx+n Steigung y-achsenabschnitt

16 Lösungen-Aufgabe 2 3x-5y=10 es werden Lösungspaare gefunden, die in die Tabellenkalkulation des GTR eingegeben werden. Somit erhält man: y-achsenabschnitt: -2 Steigung: 3/5 3x-5y=10-5y=10-3x y=3/5x-2 Form: y=mx+n Steigung y-achsenabschnitt

17 Lösungen-Aufgabe 2 -x+2y=12 es werden Lösungspaare gefunden, die in die Tabellenkalkulation des GTR eingegeben werden. Somit erhält man: y-achsenabschnitt: 6 Steigung: 1/2 -x+2y=12 2y=12+x y=1/2x+6 Form: y=mx+n Steigung y-achsenabschnitt

18 Lösungen-Aufgabe 2 Didaktische Reflexion Die Schüler verwenden die Tabellenkalkulation des GTR, um sich den Graph zeichnen zu lassen. Sie wissen ja bereits, wie man Lösungspaare einer Gleichung findet Durch die Aufgabe entdecken sie selbstständig, dass eine Gleichung mit zwei Unbekannten nichts anderes ist als eine lineare Funktionsgleichung. Diese kennen sie bereits aus Klassenstufe 7 *. Somit wird Neues auf Bekanntes zurückgeführt und die Schüler erkennen die mathematischen Zusammenhänge. *aus: Bildungsserver Saarland, Erziehung und Unterricht, Lehrpläne :

19 Lösungen-Aufgabe 2 Mehrwert durch GTR Der GTR lässt die Schüler erkennen, dass die Lösungsmenge einer Gleichung mit zwei Unbekannten eine Gerade ist (GTR in der Rolle des Entdeckers*) Er dient also zur Verstärkung des Verständnisses Unterstützt beim Zeichnen der Gerade (GTR als Medium zur Darstellung von Funktionen*) *vgl Tietze et. al 2, S. 45

20 Lösungen-Aufgabe 3 Zunächst werden Zahlenpaare gefunden, die die Gleichungen lösen. Diese werden mit Hilfe der Tabellenkalkulation dargestellt. Da die Schüler in der letzten Aufgabe herausgefunden haben, dass Gleichungen mit zwei Unbekannten Gleichungen für Funktionsgraphen sind, können sie hier auch nach y auflösen und sich die Graphen vom GTR zeichnen lassen. Hyperbel Parabel Wurzel Wurzel mit Quadrat

21 Lösungen-Aufgabe 3 Didaktische Reflexion Erweiterung des Horizonts Die Aufgabe dient dazu, den Schülern zu zeigen, dass es nicht nur lineare Gleichungen gibt, sondern auch nichtlineare Gleichungen. Die Schüler sollen nichtlineare Gleichungen kennenlernen. Sie experimentieren mit den Parametern und können Veränderungen des Graphen beobachten. Dabei bekommen sie ein Gefühl für nichtlineare Gleichungen und können selber feststellen, dass die Lösungsmengen keine Geraden sind.

22 Lösungen-Aufgabe 3 Mehrwert durch GTR Der GTR unterstützt die Schüler beim Zeichnen. Ohne den GTR wäre es den Schülern nicht möglich den Graphen zu zeichnen, denn die Gleichungen sind ihnen ganz neu (Medium zur Darstellung*) Den Schülern wird durch den GTR das Experimentieren mit den Gleichungen möglich. Sehr schnell und einfach können sie Veränderungen im Graphen feststellen. Auf Papier ist das Experimentieren sehr mühevoll und macht viel Arbeit, die keinen großen Nutzen hat (GTR lässt Schüler entdecken*) *vgl Tietze et. al 2, S. 45

23 Lösungen-Aufgabe 4 1. Lösungsmöglichkeit (systematisches Probieren) Den Term ax+by=12 in den GTR eingeben und so lange die Parameter verändern, bis die vom GTR gezeichneten Geraden denen aus der Aufgabenstellung entsprechen. 2. Lösungsmöglichkeit Die Geradengleichungen an der Abbildung ablesen: y=-3/4x+3 y=2/3x-4 4y-3x=12-3y-2x=12 Zwei weitere Gleichungen ergeben sich zum Beispiel, indem man die beiden Gleichungen, die man herausbekommen hat, nach y umstellt.

24 Lösungen-Aufgabe 4 Didaktische Reflexion Die Aufgabe dient zur Übung. Die Schüler sollen ihr Verständnis vertiefen. Die Aufgabe fordert zum Experimentieren mit Gleichungen und deren graphischen Lösungsmengen auf. Dabei verbinden die Schüler Altbekanntes (lineare Funktionen) und Neugelerntem (Gleichungen mit zwei Unbekannten)

25 Lösungen-Aufgabe 4 Mehrwert durch GTR Bei 1.Lösungsmöglichkeit bietet der GTR die Möglichkeit, mit Gleichungen zu experimentieren und dabei die Veränderungen der graphischen Lösungsmenge zu beobachten. Dabei bekommen die Schüler ein Gefühl für die Gleichungen (erforschen und entdecken). Zudem Unterstützt der GTR beim Finden einer Lösung, wenn man auf die 2.Lösungsmöglichkeit nicht kommt. dient als Vorbereitung zur Aufgabe 5 (Gleichungssysteme)

26 Lösungen-Aufgabe 5 Graphische Lösung: Gleichungen in GTR eingeben und graphische Lösung anzeigen lassen. Die Lösung kann nun einfach abgelesen werden (Schnittpunkt der Geraden) rechnerische Lösungen (vorbereitend, da Verfahren noch nicht bekannt sind): Einsetzverfahren Gleichsetzungsverfahren Additionsverfahren Lösung: (-18/17-10/17)

27 Lösungen-Aufgabe 5 Didaktische Reflexion Die Schüler haben bisher gelernt, dass Gleichungen mit zwei Unbekannten lineare Funktionen sind. Sie wissen, wie sie Gleichungen umstellen und wie sie sie zeichnen. Nun werden Gleichungssysteme eingeführt, in dem zwei Gleichungen gegeben sind, und die Schüler die gemeinsame Lösung finden sollen. Dabei wird das Verständnis der letzten Aufgaben geprüft und zudem ein neues Thema (Gleichungssysteme) spielerisch eingeführt.

28 Lösungen-Aufgabe 5 Mehrwert durch GTR Der GTR unterstützt beim Bearbeiten. Er übernimmt die Arbeit, die Schüler bereits selber können. Dabei kann er auch als Kontrolle dienen. Der Knackpunkt der Aufgabe (das die Lösung der Schnittpunkt beider Geraden ist) müssen die Schüler selber herausfinden. Das heißt, der GTR unterstützt, nimmt die Denkleistung aber nicht weg (Rechenknecht*). *vgl Tietze et. al 2, S. 45

29 Lösungen-Aufgabe 6 Lsg={(3 2)} GLS: 3y=x+3 3y=-2x+12 Lsg={(-5 1)} GLS: y=x+6 5y=-2x-5

30 Lösungen-Aufgabe 6 Lsg={(5-4)} GLS: y=-x+1 5y=-3x-5 Lsg={(-2-2)} GLS: y=2x+2 2y=x-2

31 Lösungen-Aufgabe 6 Didaktische Reflexion Nachdem die Schüler den Weg von dem Gleichungssystem zum Schaubild gemacht haben, gehen sie ihn hier umgekehrt. Ihnen wird durch diese Aufgabe bewusst, dass man ein Gleichungssystem auch lösen kann, wenn nur das Schaubild gegeben ist. Zudem üben sie, ein Gleichungssystem aufzustellen, dessen Schaubild gegeben ist. Das Gleichungssystem, das zunächst aus linearen Funktionen besteht, soll zudem so umgeformt werden, dass sie nicht ihre übliche Form (y=mx+n) haben, so dass den Schülern vor Augen geführt wird, dass sie es immer noch mit Gleichungen mit zwei Unbekannten zu tun haben.

32 Lösungen-Aufgabe 6 Mehrwert durch GTR Der GTR dient hier zur Kontrolle. Dabei müssen die Schüler aber wieder den Weg von ihrem Gleichungssystem zurück zum Schaubild gehen. Dies verdeutlicht die Äquivalenz zwischen dem Gleichungssystem und den Graphen.

33 Lösungen-Aufgabe 7 erstellt mit dynamischer Grafik gelbe Geraden sind Geraden der Funktion mit der Parameter A man kann leicht die Geraden erkennen, die die blaue Gerade im 1., 2., 3. und 4. Quadranten schneidet durch die Animation durch den GTR können die Schüler die Werte von A ablesen

34 Lösungen-Aufgabe 7 Didaktische Reflexion Das Experimentieren mit dem Parameter gibt den Schülern ein tieferes Verständnis für lineare Funktionen. Wichtig hierbei ist, dass sie nicht nur die Steigungsänderung beobachten, sondern diese in Abhängigkeit der Lösungsmenge des Gleichungssystem sehen. Zudem werden sie feststellen, das ein Gleichungssystem nicht immer eine Lösung haben muss (Geraden sind parallel). Durch das Experimentieren mit den anderen Werten bekommen sie ein tieferes und allgemeineres Verständnis für die Lösung von Gleichungssystemen Dabei werden sie durch intelligentes Variieren oder durch Glück und Ausdauer herausfinden, dass ein lineare Gleichungssystem auch unendlich viele Lösungen haben kann.

35 Lösungen-Aufgabe 7 Mehrwert durch GTR Der GTR unterstützt die Schüler beim Experimentieren und Erforschen. Ohne ihn wäre es nicht möglich alle Variationen des Gleichungssystem von Hand zu zeichnen. Den Lerneffekt nimmt der GTR nicht weg, da die Schüler die Bilder interpretieren und einen Forschungsbericht schreiben, in dem sie alle Ergebnisse und Feststellungen festhalten, so dass die angezeigten Schaubilder nicht gleich wieder gelöscht und vergessen sind.

36 Lösungen-Aufgabe 8 a) Beachte: Wenn man nach y auflöst, erhält man vier Gleichungen (wegen der Quadrate), die man in den GTR eingeben kann. b) keine Lösung: zwei parallele Geraden; eine Lösung: zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt; unendlich viele Lösungen: Geraden liegen aufeinander. Nicht mehr Lösungsmöglichkeiten, da lineare Funktionen immer Geraden sind und Geraden keine Krümmung haben. c)...

37 Lösungen-Aufgabe 8 Didaktische Reflexion Analog zu der Aufgabe, die gezeigt hat, dass es auch nichtlineare Gleichungen gibt, existiert diese Aufgabe aus demselben Grund: Schüler sollen wissen, dass es auch nichtlineare Gleichungssysteme gibt und sie kennenlernen. Aufgabenteil b) dient dazu, lineare und nichtlineare Gleichungssysteme in Zusammenhang zu bringen und Unterschiede festzustellen. Zudem wiederholt und vertieft die Aufgabe lineare Gleichungssysteme.

38 Lösungen-Aufgabe 8 Mehrwert durch GTR Der GTR dient als Unterstützung, das nichtlineare Gleichungssystem zu zeichnen. Hiermit übernimmt der GTR eine Kompetenz, die die Schüler erst im achten Schuljahr und in der Oberstufe (Kurvendiskussion) erlernen sollen (nach dem Lehrplan*). Es ist sinnvoll, den GTR einzusetzen, damit Schüler die Lösungsmenge des Gleichungssystems ablesen können. Durch die Möglichkeit, mit dem GTR einfach und viele Gleichungen in ihren Parametern zu variieren, haben Schüler die Chance, auch ein erstes Verständnis für nichtlineare Gleichungen zu bekommen. *aus: Bildungsserver Saarland, Erziehung und Unterricht, Lehrpläne :

39 Beispiel einer klassenarbeit aus: Lehmann: Nachhaltige CAS-Konzepte für den Unterricht. Didaktik und Methodik des Mathematikunterrichts mit Computeralgebra

40 Klassenarbeit-Aufgabe 1 aus: Lehmann: Nachhaltige CAS-Konzepte für den Unterricht. Didaktik und Methodik des Mathematikunterrichts mit Computeralgebra

41 Klassenarbeit-Aufgabe 1 aus: Lehmann: Nachhaltige CAS-Konzepte für den Unterricht. Didaktik und Methodik des Mathematikunterrichts mit Computeralgebra

42 Klassenarbeit-Aufgabe 2 aus: Lehmann: Nachhaltige CAS-Konzepte für den Unterricht. Didaktik und Methodik des Mathematikunterrichts mit Computeralgebra

43 Klassenarbeit-Aufgabe 2 aus: Lehmann: Nachhaltige CAS-Konzepte für den Unterricht. Didaktik und Methodik des Mathematikunterrichts mit Computeralgebra

44 KLASSENARBEIT-AUFGABE 3 aus: Lehmann: Nachhaltige CAS-Konzepte für den Unterricht. Didaktik und Methodik des Mathematikunterrichts mit Computeralgebra

45 KLASSENARBEIT-AUFGABE 4 aus: Lehmann: Nachhaltige CAS-Konzepte für den Unterricht. Didaktik und Methodik des Mathematikunterrichts mit Computeralgebra