Kapitel 5. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
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- Andrea Dittmar
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1 Kapitel 5 Dualität Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
2 Inhalt 5 Dualität Dualitätssätze Zweiphasen-Simplexalgorithmus Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
3 Duales Lineares Programm Zu jedem Optimierungsproblem existiert ein korrespondierendes duales Optimierungsproblem. Definition 5.1 Gegeben sei das folgende LP als Maximumproblem (primales lineares Programm): max z = c T x u. d. N. Ax apple b, x 0 Dann lautet das zugehörige duale lineare Programm: min Z = b T u u. d. N. A T u c, u 0 Das Paar dieser beiden LPs nennt man die symmetrische Form der Dualität. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
4 Bemerkungen zum dualen Programm (1) Das duale Programm hat so viele Variablen, wie das primale Programm Nebenbedingungen hat. Das duale Programm hat so viele Nebenbedingungen, wie das primale Programm Variablen hat. A 2 R m n, c 2 R n, b 2 R m, x 2 R n und u 2 R m Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
5 Bemerkungen zum dualen Programm (2) Zum Aufstellen des dualen Programms werden die folgenden Schritte ausgeführt: Bilden einer Zielfunktion aus dem Vektor b der rechten Seite der Nebenbedingungen, Transponieren der Koe zientenmatrix A und Erzeugung von -Nebenbedingungen mit A T und dem Zielfunktionsvektor c des primalen Programms als rechte Seite. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
6 Beispiel zur Dualität Beispiel 5.2 Wir betrachten als primales Programm das LP von Beispiel 4.6. Das zugehörige duale Programm lautet dann: unter den Nebenbedingungen min Z = 480u u u 3 40u u u u u 3 40 u 1, u 2, u 3 0 Das Maximumproblem geht also in ein Minimumproblem über. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
7 Dualität für ein LP in Normalform Satz 5.3 Gegeben sei das primale LP in Normalform (mit den üblichen Dimensionen): max c T x u. d. N. Ax = b x 0 Dann lautet des zugehörige duale Programm: min b T u u. d. N. A T u c u 2 R m Definition 5.4 Das Paar der beiden LPs von Satz 5.3 nennt man die asymmetrische Form der Dualität. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
8 Beweis. Wir stellen das primale LP max c T x u. d. N. Ax = b x 0 als Maximumproblem dar. Hierzu wandeln wir als erstes die =-Nebenbedingungen in zwei Nebenbedingungen der Form apple und um. max c T x u. d. N. Ax apple b Ax b x 0 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
9 Fortsetzung Beweis zu Satz 5.3. Durch Multiplikation der -Nebenbedingunden mit 1entstehtdanndas Maximumproblem: max c T x u. d. N. Ax apple b Ax apple b x 0 Zu diesem Maximumproblem können wir das duale LP aufstellen: min b T v b T w u. d. N. A T v A T w c v, w 0 Mit u = v w erhält man dann das duale lineare Programm: min b T u u. d. N. A T u c u 2 R m Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
10 Bemerkungen Statt die Dualität wie in Definition 5.1 zu definieren, hätte man auch die Dualität über die Beziehung in Satz 5.3 definieren können. Diese beiden Formen der Dualität sind äquivalent! Der Beweis von Satz 5.3 macht deutlich, wie wir allgemein für ein primales LP das zugehörige duale LP bestimmen können: (i) Transformation in ein Maximumproblem (ii) Aufstellen des dualen LP gemäß Definition 5.1 (iii) Vereinfachungen anwenden Zur Bestimmung des dualen LPs können wir statt Definition 5.1 natürlich auch Satz 5.3 verwenden. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
11 Beispiele für duale LPs Beispiel 5.5 Für das primale LP lautet das duale LP: min c T x u. d. N. Ax = b x 0 max b T u u. d. N. Au apple c u 2 R m Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
12 Beispiel 5.6 Das LP von Beispiel 4.6 lautet in Normalform: unter den Nebenbedingungen max 10x x 2 +0x 3 +0x 4 +0x 5 40x x 2 + x 3 = x x 2 + x 4 = x 2 + x 5 = 480 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
13 Fortsetzung Beispiel 5.6. Das zugehörige duale LP ist dann: unter den Nebenbedingungen min 480u u u 3 40u u u u u 3 40 u 1 0 u 2 0 u 3 0 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
14 Obere Schranke für die Zielfunktion Das folgende Beispiel soll einen stärkeren Einblick in das Konzept der Dualität geben. Beispiel 5.7 Wir betrachten wieder das LP von Beispiel 4.6: unter den Nebenbedingungen max z = 10x x 2 40x x 2 apple x x 2 apple x 2 apple 480 x 1, x 2 0 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
15 Fortsetzung Beispiel 5.7. Wir multiplizieren nun die erste NB mit u 1 = 1 4,diedritteNBmitu 3 = und addieren diese beiden Ungleichungen: 10x 1 + 6x 2 apple 120 (+) 34x 2 apple 272 (=) 10x x 2 apple Auf der linken Seite der Summe steht die Zielfunktion. Wir haben also, ohne das LP zu lösen, mit 392 eine obere Schranke für den maximalen Zielfunktionswert z hergeleitet. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
16 Fortsetzung Beispiel 5.7. Andere Faktoren können natürlich andere Schranken liefern. Für u 1 = 1 8, u 2 = 5 24, u 3 = erhalten wir 5x 1 + 3x 2 apple 60 5x x 2 apple 100 (+) 27x 2 apple 216 (=) 10x x 2 apple 376 mit 376 eine noch etwas bessere obere Schranke. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
17 Interpretation der Dualität (1) Wir verallgemeinern das Prinzip zur Herleitung oberer Schranken aus Beispiel 5.7: Für jede Nebenbedingung definieren wir einen nichtnegativen Faktor u i,mitdemdiei-te Nebenbedingung multipliziert wird. DerVektor der u i ist u 0. Damit die Summe der gewichteten Nebenbedingungen eine obere Schranke für die Zielfunktion ist, müssen in der Summe die Faktoren der Variablen x i größer oder gleich c i sein. Dies entspricht A T u c. Die obere Schranke ist dann P m i=1 u ib i = b T u. Die beste obere Schranke ist die kleinste. Alsoversuchenwirb T u zu minimieren! Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
18 Interpretation der Dualität (2) Für apple-ungleichungen dürfen wir nur nichtnegative u i verwenden, denn bei Multiplikation mit negativem u i würde eine entstehen. -Ungleichung Dagegen dürfen wir bei =-Nebenbedingungen auch negative u i verwenden. Dies erklärt, warum bei der asymmetrischen Form der Dualität die Variablen des dualen Programms nicht vorzeichenbeschränkt sind. Allgemein: apple-und -Nebenbedingungen des primalen LP korrespondieren mit vorzeichenbeschränkten Variablen des dualen LP, =-Nebenbedingungen mit nicht vorzeichenbeschränkten Variablen. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
19 Primales vs. duales LP primales LP duales LP Maximierung Minimierung Kostenvektor rechte Seite rechte Seite Kostenvektor A A T apple-ungleichung Vorzeichenbeschränkung 0 Gleichung freie Variable -Ungleichung Vorzeichenbeschränkung apple 0 Vorzeichenbeschränkung 0 -Ungleichung freie Variable Gleichung Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
20 Weitere Beispiele zur Dualität Beispiel 5.8 Wir betrachten das primale LP unter den Nebenbedingungen min 60x x x 3 x 1 + x 2 + x 3 = 1000 x x 1 + 9x 2 + 8x 3 apple 7000 x 1, x 2, x 3 0 Da es sich um ein Minimierungsproblem handelt, sind wir an unteren Schranken interessiert. In der Summe der Nebenbedingungen brauchen wir also ein und für die Koe zienten der x i muss apple c i gelten. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
21 Fortsetzung Beispiel 5.8. Für u 1 = 120 und u 3 = 10 erhalten wir 100x x x 3 = (+) 40x 1 90x 2 80x (=) 60x x x Für u 1 = 30 und u 2 = 30 erhalten wir 30x x x 3 = (+) 30x (=) 60x x x Bemerkung: Der minimale Zielfunktionswert beträgt Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
22 Fortsetzung Beispiel 5.8. Allgemein lautet dann das duale LP unter den Nebenbedingungen max 1000u u u 3 u 1 + u 2 + 4u 3 apple 60 u 1 + 9u 3 apple 30 u 1 + 8u 3 apple 40 u 1 2 R, u 2 0, u 3 apple 0 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
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