Kapitel 5. Stetige Funktionen 5.1. Stetigkeit

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1 Kapitel 5. Stetige Funktionen 5.1. Stetigkeit Reelle Zahlen sind ideale Objekte, die es uns ermöglichen, eine transparente und leistungsfähige Theorie aufzubauen. Ein Computer kann jedoch nur mit Approximationen durch rationale Zahlen arbeiten. Bei der dabei verwendeten Gleitkomma-Arithmetik entstehen Rundungsfehler, die unter Kontrolle gehalten werden müssen. Ähnlich verhält es sich mit Messwerten: Diese sind oftmals mit Messfehlern oder einer sonstigen Ungenauigkeit behaftet. Deshalb ist es zur näherungsweisen Berechnung eines Funktionswertes notwendig, dass die Eingabe eines Näherungswertes x anstelle des richtigen Werts x 0 zu einem Funktionswert f(x) führt, der in der Nähe des richtigen Wertes f(x 0 ) liegt. Die hier angesprochene Eigenschaft von Funktionen ist die sogenannte Stetigkeit. 1

2 Bevor wir Stetigkeit definieren, ist es nützlich zu erklären, was Umgebungen sind. Es bezeichne K im folgenden entweder den Körper der reellen oder der komplexen Zahlen. Wir definieren den Abstand x y zweier Punkte mit Hilfe des Absolutbetrages in K. Definition. Die Menge U ɛ (x 0 ) := {x K x x 0 < ɛ}, x 0 K, ɛ > 0 heisst ɛ-umgebung des Punktes x 0. Im Reellen (K = R) ist dies offensichtlich das offene Intervall ]x 0 ɛ, x 0 + ɛ[. Im Komplexen (K = C) handelt es sich dabei um die offene Kreisscheibe mit Radius ɛ und Zentrum x 0. Eine Teilmenge U von K nennt man Umgebung von x 0, falls sie eine ɛ-umgebung von x 0 enthält. 2

3 Die folgenden Ausführungen beziehen sich gleichzeitig auf reelle wie komplexe Funktionen f : X Y, wobei X, Y K. Definition. Eine Funktion f : X Y heisst stetig im Punkt x 0 X, falls es zu jeder Umgebung U von f(x 0 ) eine Umgebung V von x 0 gibt, derart dass f(v X) U. Die Funktion f heisst stetig, wenn sie an jedem Punkt ihres Definitionsbereichs X stetig ist. Andernfalls heisst f unstetig. 3

4 Anschaulich gesprochen darf eine stetige Funktion keine Sprünge machen. Z.B. ist die Sprungfunktion f : R R definiert durch 0, falls x < 0 f(x) = 1, falls x 0 unstetig im Punkt 0. Triviale Beispiele stetiger Funktionen sind die identische Abbildung id X : X X, x x, sowie die konstanten Funktionen. 4

5 Bemerkung. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 1. Die Funktion f ist stetig im Punkt x Zu jedem ɛ > 0 existiert ein δ > 0 mit f(u δ (x 0 ) X) U ɛ (f(x 0 )). 3. (ɛ, δ-bedingung) Zu jedem ɛ > 0 existiert ein δ > 0, so dass die Implikation x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ɛ für alle x X richtig ist. 5

6 Beispiel. Die Funktion f : R R, f(x) = x 2, ist stetig in jedem Punkt x 0 R ist. Es gilt: f(x) f(x 0 ) = x 2 x 2 0 x + x 0 x x 0 (2 x 0 + 1) x x 0 für x x 0 < 1. Zu einem gegebenen ɛ > 0 setzen wir ɛ δ = min{ 2 x 0 + 1, 1}. Dann gilt in der Tat x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ɛ. 6

7 Beispiel. Betrachte die Dirichletsche Sprungfunktion f : R R gegeben durch 1, falls x rational ist f(x) = 0, andernfalls. Diese Funktion ist in keinem Punkt stetig! Dies folgt leicht aus der folgenden Tatsache: Satz. In einer beliebigen Umgebung einer rationalen Zahl a liegen irrationale Zahlen. In einer beliebigen Umgebung einer irrationalen Zahl b liegen rationale Zahlen. 7

8 Als nächstes wollen wir allgemeine Prinzipien herleiten, um konkret gegebenen Funktionen die Stetigkeit unmittelbar anzusehen. Zunächst befassen wir uns mit der Zusammensetzung (Komposition) stetiger Funktionen. Satz. Sind f : X Y stetig (im Punkt x 0 ) und g : Y Z stetig (im Punkt y 0 := f(x 0 )), so ist auch die zusammengesetzte Funktion g f stetig (im Punkt x 0 ). 8

9 Wir stellen nun eine Verbindung zum Konvergenzbegriff bei Folgen her. Satz. Eine Funktion f : X Y ist stetig in x genau dann, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: Für jede Folge (x n ) in X mit lim n x n = x gilt lim n f(x n ) = f(x). 9

10 Die Stetigkeit ist verträglich mit den algebraischen Operationen. Satz. Sind die Funktionen f, g : X Y stetig (im Punkt x), so sind auch die Funktionen f + g, λ f (λ K), f g, f g, f, f stetig (im Punkt x). Bei der Division muss natürlich g(x) 0 vorausgesetzt werden. Das Bisherige etwas salopp zusammenfassend sehen wir, dass jeder mit stetigen Funktionen und den Operationen +,,, / und gebildete Ausdruck stetig ist. 10

11 Eine wichtige Klasse von stetigen Funktionen wird durch Polynome geliefert. Definition. Sind a 0, a 1,..., a d vorgegebene reelle oder komplexe Zahlen, so wird durch p(x) := a 0 + a 1 x a d x d eine Funktion p: R R bzw. p: C C definiert. Eine derartige Funktion heisst Polynomfunktion. Die a ν sind die Koeffizienten von p. Gilt a d 0, so nennt man d den Grad von p. Folgerung. Polynomfunktionen sind stetig. Bemerkung. Eine Polynomfunktion bestimmt ihre Koeffizienten eindeutig. 11

12 Die rationalen Funktionen sind definiert als Quotient zweier Polynomfunktionen p und q, wobei q nicht die Nullfunktion sein darf: r(x) := p(x) q(x). Die Funktion r ist überall definiert, ausser bei den Nullstellen x von q, charakterisiert durch q(x) = 0. Satz. Rationale Funktionen sind stetig. Satz. Sei f : X R stetig im Punkt x 0 und f(x 0 ) > 0. Dann gibt es eine Umgebung U von x 0 mit x U X f(x) > 0. 12

13 Bemerkung. Abstandsbegriffe können auch auf dem R n definiert werden, indem man den Absolutbetrag (oder die Norm) eines Vektors x = (x 1,..., x n ) R n folgendermassen festsetzt: x := x x x2 n. Man nennt dies die Euklidische Norm von x. x o x x 2 x 1 Unter Verwendung der Euklidischen Norm kann man die bisherigen Ausführungen über Stetigkeit unmittelbar auf Funktionen R m R n mehrerer Veränderlicher übertragen. 13

14 5.2. Grenzwerte von Funktionen Die Stetigkeit garantiert, dass sich eine Funktion f : X K auf ihrem ganzen Definitionsbereich vernünftig verhält. Wenn wir das Verhalten von f bei Randpunkten ξ von X (die evtl. nicht zu X gehören) beschreiben wollen, so benötigen wir den Begriff des Grenzwertes von Funktionen. Was passiert z.b. mit f(x) = x sin 1 x in der Nähe von ξ = 0, wo f nicht definiert ist? Der betrachtete Punkt ξ K, mag er zu X gehören oder nicht, muss jedenfalls ein Häufungspunkt der Menge X sein. Das bedeutet, dass jede Umgebung von ξ Punkte von X enthält, die verschieden von ξ sind. Z.B. sind die Endpunkte a, b von offenen Intervallen X =]a, b[ Häufungspunkte von X. Beachte, dass alle Punkte von X auch Häufungspunkte von X sind. 14

15 Die Frage nach dem Verhalten von f(x), wenn x gegen ξ strebt, führt auf die Frage, wie man f(ξ) in vernünftiger Weise definieren müsste, so dass f an der Stelle ξ stetig wird. Dies führt auf die folgende Definition. 15

16 Definition. Sei ξ ein Häufungspunkt von X K. Eine Funktion f : X K besitzt an der Stelle ξ einen Grenzwert η, in Zeichen f(x) η (x ξ), oder lim x ξ f(x) = η, wenn die auf X {ξ} fortgesetzte Funktion f(x), falls x X \ {ξ} f(x) = η, falls x = ξ an der Stelle ξ stetig ist. Man beachte, dass in dieser Definition der Wert von f an der Stelle ξ falls überhaupt definiert irrelevant ist. 16

17 Bemerkung. Die Tatsache lim x ξ f(x) = η lässt sich mit der folgenden ɛ, δ-bedingung ausdrücken: Zu jedem ɛ > 0 gibt es ein δ > 0, so dass für alle x gilt. (Warum schliesst man hier x = ξ aus?) 0 < x ξ < δ = f(x) η < ɛ Bemerkung. Der Grenzwert lim x ξ f(x) ist eindeutig bestimmt, falls er existiert. 17

18 Beispiel. Die reelle Funktion f(x) = sin 1 x zwischen 1 und 1. oszilliert in jeder Umgebung von ξ = 0 y 1 f(x) = sin 1/x x -1 Es ist daher klar, dass der Grenzwert von f für x 0 nicht existiert. Durch Dämpfen der Schwingung mit x können wir Konvergenz erreichen: es gilt lim x 0 x sin 1 x = 0. 18

19 Umgekehrt kann man die Stetigkeit mittels des Grenzwertbegriffs charakterisieren. Satz. Sei f : X K und ξ Häufungspunkt von X. Dann gilt f stetig bei ξ lim x ξ f(x) = f(ξ). 19

20 Beispiel. Wir betrachten die komplexe Funktion (n N, n 1) und möchten den Grenzwert untersuchen. Wir verwenden die Identität f : C C, z z n f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 z n z n 0 z z 0 = z n 1 + z n 2 z 0 + z n 3 z z n 1 0. Wegen der Stetigkeit der Polynomfunktion auf der rechten Seite folgt z n z0 n lim z z 0 z z 0 = nz n 1 0. Dies ist der Differentialquotient der Funktion f(z) = z n. 20

21 Die folgenden Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen sind analog zu den Regeln für Grenzwerte bei Folgen Satz. Die betrachteten Funktionen f, g sind definiert auf X K und es geht um den Grenzübergang x ξ zum Häufungspunkt ξ in X. 1. Aus f(x) a und g(x) b folgt 2. Aus f(x) a folgt f(x) + g(x) a + b, λf(x) λa (λ K), f(x) g(x) a b, f(x) g(x) a b (falls b 0) f(x) a, f(x) a. 21

22 Satz (Fortsetzung). 3. Ist die Funktion f in einer Umgebung von ξ beschränkt und gilt lim x ξ g(x) = 0, so gilt auch lim(f(x) g(x)) = 0. x ξ 4. Gilt f(x) g(x) für alle x ξ einer Umgebung von ξ und existieren a = lim x ξ f(x), b = lim x ξ g(x), so gilt a b. Im folgenden verwenden wir diese Regeln stillschweigend. 22

23 Beispiel 1. lim x 1 x 2 1 (x + 1) 2 Beispiel 2. lim x 0 x 3 + 3x 1 x

24 Wichtig ist ausserdem folgender Satz über verschachtelte Grenzwerte, analog dem Satz zur Komposition stetiger Funktionen. Satz. Gegeben seien f : X Y und g : Y Z. Existieren η := lim x ξ f(x), lim g(y), y η so folgt lim g(f(x)) = lim g(y). x ξ y η (Falls η Y ist, fordern wir zusätzlich, dass g stetig in η ist.) Um den Grenzübergang zu berechnen, darf man also in g(f(x)) die innere Funktion durch eine Variable substituieren und mit y den sinngemässen Grenzübergang durchführen. 24

25 Beispiel. lim x 0 (2 + x sin 1 x )2 = 4. Grund: Setze f(x) := 2 + x sin 1 x. Gemäss dem Beispiel von vorher gilt Andererseits ist g(y) = y 2 stetig in 2. lim f(x) = 2. x 0 Also folgt ( lim 2 + x sin 1 2 = lim x 0 x) y 2 y2 = 4. Wir werden später ein bequemes Hilfsmittel zur Berechnung von Grenzwerten kennenlernen (Regel von Bernoulli-de l Hôpital). 25

26 Oftmals möchte man auch von einer Konvergenz reeller Funktionen gegen oder sprechen können. Dies passt bequem in unsere Entwicklungen mittels folgender Festsetzung: Eine Teilmenge U R heisst Umgebung von, wenn sie ein rechtseitig unendliches Intervall enthält. (Analog mit.) ]M, + [:= {x R M < x} Eine Menge X R besitzt als uneigentlichen Häufungspunkt, wenn jede Umgebung von die Menge X schneidet. 26

27 Ist uneigentlicher Häufungspunkt von X und f : X R eine Funktion, so sagt man lim x f(x) = η, wenn für alle ɛ > 0 ein M existiert mit für alle x R. x > M f(x) η < ɛ Beispiel. lim x 1 x = 0. 27

28 Man kann auch auf der Werteseite dem Sachverhalt lim x ξ f(x) = einen präzisen Sinn verleihen. Man sagt, f besitze am Häufungspunkt ξ (eigentlich oder uneigentlich) den uneigentlichen Grenzwert, wenn es für jede Umgebung U von eine Umgebung V von ξ gibt, so dass für alle x ξ x V f(x) U. Im Falle ξ R heisst dies konkret, dass für jede Schranke M ein δ > 0 existiert, so dass für alle x 0 < x ξ < δ f(x) > M. 28

29 Beispiel. lim x 0 1 x 2 =. Wenn nichts anderes gesagt ist, verstehen wir unter Konvergenz immer die eigentliche. 29

30 5.3. Hauptsätze über stetige Funktionen Wir diskutieren hier einige der allgemeinen globalen Eigenschaften stetiger reeller Funktionen. Als Vorbereitung behandeln wir zuerst den Begriff des Supremums einer reellen Zahlenmenge. Eine endliche Teilmenge A R hat stets ein maximales Element. Für unendliche Teilmengen braucht das nicht richtig zu sein, wie schon das beschränkte offene Intervall ]0, 1[ aufzeigt. Wir brauchen einen Ersatz für das Maximum. 30

31 Definition. Das Supremum s = sup A einer reellen Zahlenmenge A R ist die kleinste obere Schranke von A. D.h. es gilt x s für alle x A, aber für jedes s < s existiert ein x A mit s < x. Zum Beispiel gilt sup]a, b[= b. Der folgende Satz drückt eine weitere Vollständigkeitseigenschaft der reellen Zahlen aus. Satz. Jede nichtleere und beschränkte Menge A R besitzt genau ein Supremum. 31

32 Unter einem kompaktem Intervall verstehen wir ein beschränktes und abgeschlossenes Intervall X = [a, b]. Wir bringen zunächst den Satz vom Maximum. Satz. (vom Maximum) Ist f : X R stetig und X ein kompaktes Intervall, so nimmt f auf X ein globales Maximum an. D.h. es gibt einen Punkt ξ X mit f(x) f(ξ) für alle x X. Wir bemerken, dass es sich hier um einen reinen Existenzbeweis handelt. Wie man solche Maxima berechnet, werden wir später lernen. 32

33 Definition. Sei K = R oder K = C. Eine Teilmenge X K heisst abgeschlossen, wenn sie alle ihre Häufungspunkte enthält. Die Teilmenge X heisst beschränkt, wenn ein R existiert mit x R für alle x X. Beschränkte und abgeschlossene Teilmengen heissen kompakt. Der Begriff der Kompaktheit erscheint in viel allgemeinereren Zusammenhängen und ist von zentraler Bedeutung in der Analysis. 33

34 Satz. (Zwischenwertsatz) Es sei f : [a, b] R stetig und f(a) < f(b). Dann nimmt die Funktion f jeden Zwischenwert η im Intervall [f(a), f(b)] an, d.h. zu jedem Zwischenwert η gibt es ein ξ mit η = f(ξ). Dieser Satz ist intuitiv einleuchtend. Neben der Stetigkeit geht jedoch die Vollständigkeit der reellen Zahlen wesentlich ein. Z.B. erfüllt die Funktion der rationalen Zahlen f : Q Q, x x 2 f(0) = 0, f(2) = 4, nimmt jedoch bekanntlich den Zwischenwert 2 nicht an, d.h. es gibt kein rationales ξ mit ξ 2 = 2. Die im Beweis verwendete Bisektionsmethode wird in der numerischen Praxis gelegentlich verwendet. 34

35 Folgerung. Jede Polynomfunktion ungeraden Grades d p(x) = x d + a d 1 x d a 1 x + a 0 besitzt wenigstens eine reelle Nullstelle, d.h. ein ξ R mit p(ξ) = 0. 35

36 Zum Abschluss des Kapitels besprechen wir noch den Satz von der Umkehrfunktion. Wir nennen eine reelle Funktion f : [a, b] R streng monoton wachsend, wenn f(x) < f(x ) für alle x < x gilt. Solche Funktionen sind offenbar injektiv. Es gilt aber noch mehr: Satz.(von der Umkehrfunktion) Es sei f : [a, b] R streng monoton wachsend und stetig. Dann bildet f das Intervall [a, b] bijektiv auf das Intervall [f(a), f(b)] ab. Die Umkehrfunktion g := f 1 : [f(a), f(b)] [a, b] ist ebenfalls streng monoton wachsend und stetig. Wir bemerken, dass der obige Satz entsprechend auch für offene oder unendliche Definitionsintervalle gilt. 36

37 Beispiel. Es sei n N, n 1. Die Potenzfunktion f : [0, [ [0, [, f(x) = x n ist streng monoton wachsend und stetig. Der Satz von der Umkehrfunktion zeigt die Existenz und Stetigkeit der n-ten Wurzelfunktion g(y) = n y als Umkehrfunktion von f. 37