Die Kugel Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10. Definitionen und Regeln. Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π. Kugelvolumen: - 1 -

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1 10.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10 Die Kugel Beispiele Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π r Kugelvolumen: V Kugel = 4 3 r³ π - 1 -

2 10. Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10 Kreissektor und Bogenmaß Die Bogenlänge b bzw. der Flächeninhalt A Sektor eines Kreisausschnitts mit dem Mittelpunktswinkel α beträgt b = α 360 π r Beispiele Das Bogenmaß eines Winkels α ist die Länge des zugehörigen Bogens im Einheitskreis: = α 180 π A Sektor = α 360 r π 1 α Besondere Werte: α π 6 π 4 π 3 π π 3 π π - -

3 10.3 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 10 Sinus- und Kosinusfunktion Definition und Regeln Sinusfunktion f() = sin Definitionsmenge: D = R Wertemenge: W = [-1;1] Periode: π d.h. sin( + π) = sin() Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung Kosinusfunktion f() = cos Definitionsmenge: D = R Wertemenge: W = [-1;1] Periode: π d.h. cos( + π) = cos() Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y Achse cos y 1 sin O allg. Sinusfunktion: f() = a sin[ b(+c)] + d mit a, b 0 Periode π b - 3 -

4 10.4 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 10 Eponentialfunktion Definitionsmenge: D = R Alle Funktionswerte sind positiv und die Achse ist Asymptote- Schnittpunkt mit der y Achse ist P (0 1) Definition und Regeln Funktionsterm: f() = a (a > 0 ; a 1) y 8 6 Wird der Graph an der Achse gespiegelt, so erhält man den Graph der Funktion g() = ( 1 a ) = a 4 Mit wachsendem nehmen die Funktionswerte für a < 1 ab (eponentielle Abnahme, d.h. Graph fällt) für a > 1 zu (eponentielles Wachstum, d.h. Graph steigt) a heißt Wachstumsfaktor, a 1 die relative Zu-/Abnahme pro Schritt O Allgemeine Form der Eponentialfunktion : f() = b a c + d - 4 -

5 10.5 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 10 Logarithmus Beispiele: Die Lösung der Gleichung a = b mit a R + \{1}, b ε R + über G = R ist = log a b Man liest: ist gleich dem Logarithmus von b zur Basis a Beispiele: a) 3 4 = 81 log 3 81 = 4 b) = 3 = log 3 = 5 Der Logarithmus von b zur Basis a ist diejenige Zahl, mit der man a potenzieren muss um b zu erhalten: a log a b = b Rechenregeln: Produktregel: log a (bc) = log a b + log a c Quotientenregel: log a b c = log a b log a c Für den Zehnerlogarithmus log 10 b schreiben wir kurz lg b. Für jede positive Basis a ist a 0 = 1, also gilt log a 1 = 0. Potenzregel: log a b c = c log a b - 5 -

6 10.6 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 10 Verhalten im Unendlichen Verhalten im Unendlichen Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen Definition und Regeln Konvergenz: Ganzrationale Funktionen: höchste Potenz ausklammern Nähern sich die Funktionswerte f() für bzw. Die höchste Potenz mit ihrem Vorfaktor entscheidet über einer Zahl a beliebig genau an, so heißt das Verhalten für ±. a Grenzwert (Limes) der Funktion f. Divergenz: Bsp: lim + ( 3 + ) = lim + ³ + ( + 1 ) = Wachsen die Funktionswerte f() für bzw. unbegrenzt nach oder sinken sie unbegrenzt nach, so divergiert die Funktion bestimmt, andernfalls divergiert sie unbestimmt (z.b. f() = sin ). Bruchfunktionen: jeden Term des Zählers und des Nenners durch die höchste Nennerpotenz dividieren Bsp: lim + + ² + = lim 6² ² 6 = 6 =

7 10.7 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 10 Nullstellen ganzrationaler Funktionen Jede Funktion f mit f() = a n n + a n 1 n a 1 + a 0 mit n N, a n 0, a n, a n 1,, a 0 ε R heißt ganzrationale Funktion n ten Grades. Ihr Funktionsterm wird als Polynom n ten Grades bezeichnet. Nullstellen von f() sind Lösungen der Gleichung f() = 0. Die ganzzahligen Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten sind Teiler des konstanten Gliedes a 0 des Polynoms. Kennt man eine Lösung 1 (z.b. durch Raten), so kann man f() durch Polynomdivision faktorisieren: f() = ( 1 ) g(). Definition und Regeln Nullstellen können einfach oder mehrfach sein. Man spricht auch von der Vielfachheit der Nullstelle. Tritt in der vollständig faktorisierten Form eine Nullstelle k ungeradzahlig oft auf, so wechselt f() bei k das Vorzeichen geradzahlig oft auf, so wechselt f() bei k das Vorzeichen nicht Je größer die Vielfachheit der Nullstelle ist, desto besser schmiegt sich der Graph bei k an die Achse an. Beispiel: f() = ( 1) ( + 3) ( ) 4 f() hat Nullstellen bei 1 = 1 (Vielfachheit, kein Vorzeichen Wechsel), = -3 (VF 1, VZ Wechsel) und bei 3 = (VF 4, kein VZ Wechsel) - 7 -

8 10.8 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 10 Polynomdivision Beispiel Beispiel f() = ³ Teiler von a 0 = 4 sind ± und ±1. Ausprobieren: f( 1) = 0, also ist 1 = 1 Polynomdivision: --> vollständig faktorisierte Form: f() = ( + 1)( 4 + 4) = ( + 1)( )² f hat bei 1 = 1 eine einfache und bei = eine doppelte Nullstelle. ( ) ( + 1) = (³ + ²) 4² ( 4 4) (4 + 4) 0 y O

9 10.9 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 10 Symmetrie von Funktionsgraphen Achsensymmetrie Der Graph von f ist achsensymmetrisch zur y Achse, wenn gilt: f(-) = f() Punktsymmetrie Der Graph von f ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt: f(-) = -f() Eine Polynomfunktion ist gerade und ihr Graph achsensymmetrisch zur y Achse, wenn nur gerade Eponenten vorkommen. Eine Polynomfunktion ist ungerade und ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn nur ungerade Eponenten vorkommen. y 4 3 y O O

10 10.10 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 10 Transformationen von Funktionen Wir erhalten aus dem Graphen G f der Funktion f den Graphen der Funktion g mit g() = - f(), indem wir G f an der Achse spiegeln g() = a f(), indem wir G f in Richtung der y Achse g() = f(-), indem wir G f an der y Achse spiegeln für a > 1 mit dem Faktor a strecken und für 0 < a < 1 mit dem Faktor a stauchen g() = f() + a, indem wir G f in Richtung der y Achse um a verschieben g() = f(a), indem wir G f in Richtung der Achse für a > 1 mit dem Faktor 1 a stauchen für 0 < a < 1 mit dem Faktor 1 a strecken g() = f( a), indem wir G f in Richtung der Achse nach rechts um a verschieben

11 10.11 Grundwissen Mathematik Stochastik Klasse 10 Bedingte Wahrscheinlichkeit Bei einem Zufallseperiment interessiert man sich dafür, mit welcher Wahrscheinlichkeit P(A) eintritt. Es gilt: P B (A) = P(A B) P(B) P B (A) ist nun die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist. Man nennt sie bedingte Wahrscheinlichkeit. Man liest Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. P(B) Start Es fallen somit alle Ergebnisse des zweistufigen Zufallseperiments weg, die nicht zu B gehören, und für das Ereignis A sind nur mehr die Ergebnisse günstig, die zur Menge A B gehören. B B P B (A) A A A A P(A B)