3 Vektorbündel und das Tangentialbündel

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1 $Id: vektor.tex,v /06/30 10:20:57 hk Ex $ $Id: fluss.tex,v /06/30 12:36:06 hk Ex hk $ 3 Vektorbündel und das Tangentialbündel 3.4 Ableitungen von C q -Funktionen In der letzten Sitzung haben wir die Ableitung einer C q -Funktion f : M N durch die definierende Formel df vφ = vφ f für M, v T M, φ CN f eingeführt und wollen jetzt einige Rechenregeln für diese Ableitung festhalten. Da jeder Keim von einer global definierten Funktion induziert wird, reicht es dabei stets φ C N zu betrachten. Satz 3.22 Kettenregel Seien M, N, P drei berandete differenzierbare Mannigfaltigkeiten, q N C q M, N, g C q N, P. Dann gilt für jeden Punkt M die Kettenregel und f dg f = dg f df. Beweis: Sei M. Sind v T M und φ C P, so gilt dgf df v φ = df v φ g = vφ g f = dg f vφ. Im nächsten Schritt schauen wir uns die Ableitung bezüglich auf M und N gegebener Koordinatensysteme an. Als Ableitung von f ohne sezifizierten Auswertungsunkt definieren wir die Abbildung df : T M T N; v df πv v wobei π : T M M die Bündelrojektion ist. Lemma 3.23 Berechnung der Ableitung in lokalen Koordinaten Seien M, N zwei berandete differenzierbare Mannigfaltigkeite und f C q M, N mit q N. 18-1

2 a Sind U, ϕ = U, x 1,..., x m eine Karte von M, V, ψ = V, y 1,..., y n eine Karte von N und U f 1 V, so ist y i f r = i ψ f ϕ 1 x j r j 1 i n,1 j m ϕ 1 i n,1 j m die Matrix von df : T M T f N bezüglich der Basen x 1,..., von T M und x m y 1,..., f y n von T f N. f b Es ist df C q 1 T M, T N, was im Fall q = 1 die Stetigkeit von df bedeutet. Beweis: a Sei 1 j m gegeben. Nach Korollar 18 gilt dann df = df y i y i f x j x j y i = f y j y i und die erste Formel ist bewiesen. Die zweite Formel entsteht dann durch Einsetzen der Definition der artiellen Ableitungen. b Seien π M : T M M, π N : T N N die Bündelrojektionen. Sei M. Wähle Karten V, ψ = V, y 1,..., y n von N mit f V und U, ϕ = U, x 1,..., x m von M mit U f 1 V. Nach Konstruktion des Tangentialbündels sind 1 i m Basisfelder von T M und 1 j n Basisfelder von T N, x i y i also sind m ζ : U R m π 1 M U;, t ξ : V R n π 1 N U;, t t i t j x i y j nach Lemma 10.a eine lokale Trivialisierung von T M beziehungsweise T N. Insbesondere sind ζ, ξ Diffeomorhismen, also sind auch und Φ := ϕ id R m ζ 1 : π 1 M U imϕ Rm und Ψ := ψ id R n ξ 1 : π 1 N V imψ Rn Diffeomorhismen und somit nach 2.Lemma 21.e auch Karten von T M beziehungsweise T N, wobei im berandeten Fall noch eine Permutation der Koordinaten des jeweiligen Zielraums erforderlich ist die in der Notation aber unterdrückt wird. Wegen ψ f ϕ 1 C q imϕ, R n ist A : imϕ R n m ; r i ψ f ϕ 1 r j i n,1 j m f

3 in C q 1 imϕ, R n m. Seien imϕ und t R m gegeben. Dann ist Φ 1, t = ζϕ 1, t = m t i x i ϕ 1 und nach a gilt dfφ 1, t = wir haben also auch m At j y j = ξfϕ 1, At, fϕ 1 ΨdfΦ 1, t = Ψξfϕ 1, At = ψfϕ 1, At. Dies zeigt Ψ df Φ 1 C q 1 imϕ R m, R 2n. Nach 2.Lemma 34.d,e,j ist damit auch df π 1 M U = Ψ 1 Ψ df Φ 1 Φ C q 1 π 1 M U, T N. Damit ist df : T M T N zum einen stetig und im Fall q > 1 ist nach 2.Lemma 34.b auch df C q 1 T M, T N. Weiterhin ergeben sich mit Lemma 23.a auch die üblichen arithmetischen Ableitungsregeln für Funktionen mit Werten in einem Vektorraum. Auf dem R d verwenden wir die Identität als Karte, und dann sind r 1,..., nach Konstruktion des Tangentialbündels T R n Basisfelder, also ist r d Φ : R d R d T R d ;, t d t i r i eine lokale Trivialisierung von T R d und insbesondere ein Diffeomorhismus. Sei nun M eine berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit und seien weiter f, g C q M, R d mit q N gegeben. Dann haben wir die Abbildung df : T M T R d in C q 1 T M, T R d und können f := r 2 Φ 1 df : T M R d. definieren. Diese Konstruktion gibt uns eine Abbildung f C q 1 T M, R d und für jedes M haben wir die lineare Abbildung f : T M R d 18-3

4 für die man meist auch einfach df schreibt. Sind U, x 1,..., x m eine Karte von M und U, so ergibt die Formel in Lemma 23.a das die Matrix von f bezüglich der Basis /x 1,..., /x m von T M und der Standardbasis e 1,..., e d des R d gleich der Jacobi-Matrix f i x j 1 i n,1 j m ist. Die Linearität der artiellen Ableitungen liefert damit für c R die Formeln df + g = df + dg, dcf = c df für jeden Punkt M. Weiter haben wir auch eine Produktregel, und für diese sei zusätzlich eine reellwertige Funktion λ C q M gegeben. Dann haben wir auch λ C q 1 T M, R und für jedes M ist λ T M eine Linearform auf T M. Für alle 1 i n, 1 j m und jedes U ist nun λ f i x j und somit haben wir = λ f i x j = λ f i x j + f i dλ f u = λ u f + λ df u, λ x j für alle Punkte M und Tangentialvektoren u T M. Als nächsten Schritt wollen wir die Aussagen über Umkehrfunktionen differenzierbarer Funktionen vom R n auf beliebige berandete Mannigfaltigkeiten übertragen. Man kann den Satz über Umkehrfunktionen allerdings nicht einfach wörtlich auf den Fall berandeter Mannigfaltigkeiten ausdehnen, beisielsweise ist schon f : R 0 R 0 ; x x + 1 eine C -Funktion deren Ableitung überall invertierbar ist die aber in keiner Umgebung von Null ein Diffeomorhismus wird. Aus 2.Lemma 25.b wissen wir das Diffeomorhismen Randunkte auf Randunkte abbilden, und wird dies exlizit als Voraussetzung hinzugefügt, so erhalten wir auch einen Umkehrsatz im berandeten Fall. Wir formulieren den Satz hier im C -Fall, im Fall endlicher Differenzierbarkeitsordnung gelten dann entsrechende Aussagen für C q -Diffeomorhismen. Satz 3.24 Umkehrsatz für berandete differenzierbare Mannigfaltigkeiten Seien M, N zwei berandete differenzierbare Mannigfaltigkeiten und f C M, N. Weiter seien M ein Punkt in dem df : T M T N invertierbar ist und es gebe eine offene Umgebung U von in M mit fu M N. Dann existieren offene Umgebungen V von in M und W von f in N so, dass f V : V W ein Diffeomorhismus ist. Beweis: Nach 2.Lemma 36.e gibt es eine bei f zentrierte Standardkarte W, ψ von N und eine bei zentrierte Standardkarte V, ϕ von M mit fv W und V U. Wir erhalten die C -Abbildung g := ψ f ϕ 1 : imϕ imψ 18-4

5 und da die Jacobi-Matrix g 0 nach Lemma 23.a die Matrix von df bezüglich geeigneter Basen von T M beziehungsweise T f N ist, ist g 0 invertierbar. Wir unterscheiden jetzt zwei verschiedene Fälle. Fall 1. Zunächst sei M ein innerer Punkt von M. Dann ist V M und imϕ = R n wobei n die Dimension von M und N ist. Nach dem gewöhnlichen Umkehrsatz gibt es offene Umgebungen V, W von 0 im R n so, dass g : V W ein C - Diffeomorhismus ist. Insbesondere ist 0 ein innerer Punkt von imψ im R n, d.h.es ist auch imψ = R n und f N. Damit sind V := ϕ 1 V eine offene Umgebung von in M und W := ψ 1 W eine offene Umgebung von f in N und f V : V W ist ein Diffeomorhismus. Fall 2. Nun nehmen wir M an. Dann ist auch f N also sind imϕ = imψ = H n wobei n wieder die Dimension von M und N ist und wegen V U haben wir gr n 1 = gϕv M = ψfv M ψw fu M ψw N = R n 1. Insbesondere ist g R n 1 : R n 1 R n 1 wieder eine C -Abbildung und da g 0 die Form g R n 1 0 g 0 = g 0 n 0 r n hat ist auch g R n 1 0 invertierbar. Weiter gibt es eine offene Umgebung V 1 von 0 im R n und eine C -Funktion h : V 1 R n mit h V 1 H n = g V 1 H n. Insbesondere ist auch h 0 = g 0 invertierbar. Eine Anwendung des Satzes über Umkehrfunktionen liefert offene Umgebungen V 2, W 1 von 0 im R n mit V 2 V 1 so, dass h V 2 : V 2 W 1 ein C -Diffeomorhismus ist. Wenden wir den Satz über Umkehrfunktionen dann auch im R n 1 auf g R n 1 an, so erhalten wir weitere offene Umgebungen V 3, W 2 von 0 im R n mit V 3 V 2, W 2 W 1 und gv 3 R n 1 = W 2 R n 1. Durch weiteres Verkleinern erhalten wir schließlich ein ɛ > 0 mit B ɛ 0 V 3 und eine offene Umgebung W 3 von 0 im R n mit W 3 W 2 so, dass h B ɛ 0 : B ɛ 0 W 3 ein C -Diffeomorhismus ist. Wir behauten das dann hb ɛ 0 R n 1 = W 3 R n 1 ist. Zunächst ist hb ɛ 0 R n 1 = gb ɛ 0 R n 1 gr n 1 R n 1, also haben wir hb ɛ 0 R n 1 W 3 R n 1. Nun sei umgekehrt y W 3 R n 1 gegeben und setze x := h B ɛ 0 1 y B ɛ 0. Wegen y W 3 W 2 ist y W 2 R n 1 = gv 3 R n 1, also existiert ein x V 3 R n 1 mit gx = y. Dann sind x B ɛ 0 V 3 V 2 und x V 3 V 2 V 1 mit hx = gx = y = hx, also x = x B ɛ 0 R n 1 und y = hx hb ɛ 0 R n 1. Damit ist diese Zwischenbehautung bewiesen. Die Mengen B + := {x B ɛ 0 x n > 0} und B := {x B ɛ 0 x n < 0} sind zusammenhängend und wegen hb +, hb R n \R n 1 existieren σ +, σ { 1, 1} mit hb + {x R n signx n = σ + } und hb {x R n signx n = σ }. Da aber W 3 = hb + hb W 3 R n 1 eine offene Umgebung von 0 ist, muss σ + σ sein. Andererseits ist hb + = gb + H n und somit σ + = 1 und σ = 18-5

6 1. Folglich ist gb ɛ 0 H n = hb ɛ 0 H n = W 3 H n eine offene Umgebung von 0 im Halbraum H n und g B ɛ 0 H n 1 = h 1 W 3 H n ist wieder eine C - Funktion, d.h. g B ɛ 0 H n : B ɛ 0 H n W 3 H n ist ein C -Diffeomorhismus. Damit sind schließlich V := ϕ 1 B ɛ 0 H n eine offene Umgebung von in M und W := ψ 1 W 3 H n eine offene Umgebung von f in N so, dass f V : V W ein Diffeomorhismus ist. Insbesondere erhalten wir Charakterisierungen lokaler und globaler Diffeomorhismen in Termen ihrer Ableitungen. Wir beginnen mit dem lokalen Fall. Korollar 3.25 Charakterisierung der lokalen Diffeomorhismen Seien M, N zwei berandete differenzierbare Mannigfaltigkeiten und f : M N eine C -Funktion. Dann ist f genau dann ein lokaler Diffeomorhismus wenn df für jedes M invertierbar ist und fm N gilt. Beweis: = Sei M. Dann existieren Karten ϕ von M mit domϕ und ψ von N mit f domψ so, dass ψ f ϕ 1 H n, gilt, wobei n die Dimension von M und N ist. Insbesondere ist die Jacobi-Matrix ψ f ϕ 1 ϕ invertierbar und nach Lemma 23.a ist sie auch gleich der Matrix von df bezüglich geeigneter Basen von T M und T f N, also ist df invertierbar. Nach 2.Lemma 25.b ist f 1 N = M, also auch fm N. = Klar nach Satz 24 und 2.Lemma 22.b. Hieraus erhalten wir schließlich auch eine Kennzeichnung der Diffeomorhismen. Beachte das es auch für bijektive C -Abbildungen nicht ausreicht zu fordern das die Ableitung überall invertierbar ist, wie etwa das Beisiel f : [0, 2π S 1 ; t cos t, sin t zeigt. Korollar 3.26 Charakterisierung der Diffeomorhismen Seien M, N zwei berandete differenzierbare Mannigfaltigkeiten und f : M N eine bijektive C -Funktion mit fm N so, dass df für jedes M invertierbar ist. Dann ist f bereits ein Diffeomorhismus. Beweis: Nach Korollar 25 ist f ein lokaler Diffeomorhismus und nach 2.Lemma 22.c.2 sogar ein Diffeomorhismus. In der Theorie der eingebetteten Untermannigfaltigkeiten des R d aus 1 war der Satz über Umkehrfunktionen das entscheidende Hilfsmittel. Da uns dieser Satz nun auch für allgemeine differenzierbare Mannigfaltigkeiten zur Verfügung steht, läst sich auch eine Theorie der Untermannigfaltigkeiten anderer differenzierbarer Mannigfaltigkeiten entwickeln. Dies wollen wir hier zwar nicht mehr durchführen, aber zumindest einige der dabei auftretenden Begriffe einführen. 18-6

7 Definition 3.13 Immersionen und Submersionen Seien M, N zwei berandete differenzierbare Mannigfaltigkeiten und f : M N eine C -Funktion. Dann heißt f eine Immersion wenn df für jedes M injektiv ist und eine Submersion wenn df für jedes M surjektiv ist. Schließlich heißt f eine Einbettung wenn f eine injektive Immersion ist und f : M fm ein Homöomorhismus ist. Es stellt sich heraus das Immersion in geeigneten Koordinatensystemen von M und N immer die Form fx 1,..., x m = x 1,..., x m, 0,..., 0 haben und Submersionen sich entsrechend lokal als fx 1,..., x m = x 1,..., x n schreiben lassen. Diese beiden Aussagen kann man als Sezialfälle eines allgemeinen Satzes interretieren, des sogenannten Rangsatzes. Dieser beschreibt die lokale Gestalt von C -Funktionen deren Ableitung überall einen konstanten Rang hat. Immersionen und Submersionen erfüllen diese Bedingung, da bei diesen der Rang der Ableitung konstant die Dimension von M beziehungsweise N ist. Satz 3.27 Der Rangsatz Seien M, N zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten und f C M, N. Weiter gebe es ein r N mit rang df = r für jedes M. Dann gibt es für jedes in M eine Karte U, ϕ = U, x 1,..., x m von M mit U und ϕ = 0 sowie eine Karte ψ von N mit fu domψ, so dass ψ f U = x 1,..., x r, 0,..., 0 ist. Beweis: Dies ist Aufgabe 44. Als ein Beisiel einer Immersion wollen wir den Rand einer berandeten Mannigfaltigkeit betrachten. Sei also M eine n-dimensionale berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit, und betrachte die Inklusionsabbildung i : M M. Sei M und sei ϕ eine Karte von M mit domϕ. Schreiben wir U := domϕ, so ist ϕu M = imϕ R n 1 und ψ := ϕ U M : U M imϕ R n 1 ist eine Karte des Randes M. In koordinaten wird i zur Inklusion j := ϕ i ϕ U M 1 : imϕ R n 1 imϕ. Hieraus folgt zunächst das i C M, M ist und weiter ist j x für jedes x imϕ R n 1 die Inklusionsabbildung R n 1 R n. Schreiben wir ϕ = x 1,..., x n, so sind die Komonenten der Karte ϕ U M von M als x k U M für 1 k n gegeben. Nach Lemma 23.haben wir di = x k U M x k für 1 k < n, Damit ist di : T M T M injektiv, die Inklusion i : M M ist also eine Immersion, und somit sogar eine Einbettung. Über di können wir T M als den Un- 18-7

8 tervektorraum Bilddi T M auffassen, und in den obigen Koordinaten wird dann T M = x 1,..., x n 1 T M. 4 Vektorfelder Im vorigen Kaitel haben wir Vektorfelder in einem allgemeinen Vektorbündel definiert, und nun wollen wir dies seziell auf das Tangentialbündel anwenden. Wir klären zunächst einmal die verwendete Notation. Sei M eine berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit und bezeichne T M wieder ihr Tangentialbündel. Für jede offene Teilmenge U M von M und jede Differenzierbarkeitsordnung q N haben wir dann den C - Modul Γ q U := Γ q U, T M der C q -Vektorfelder des Tangentialbündels über M. Ist V, x 1,..., x n eine Karte von M, so sind,..., x 1 x n Basisfelder von T M, und damit können wir für jedes U V den Tangentialvektor X in Termen dieser Basisfelder als X = a j x j schreiben. Dass X Γ q U ist, bedeutet dann nach 3.Lemma 10.b das die so definierten Funktionen a j : U V R für 1 j n in C q U V sind. Traditionell schreibt man für den Wert von X in einem Punkt U meist X := X. Eine weitere Schreibweise ist nützlich. Angenommen wir haben wieder zwei in M offene Mengen U, V M, ein Vektorfeld X : U T M, also π X = id U wobei π : T M M die Projektion ist, und eine Funktion f C q+1 V für ein q N. Für jedes U V ist X T M dann ein Tangentialvektor von M in, kann also auf die Funktion f angewandt werden. Dies gibt uns eine Abbildung Xf : U V R; X f. Ist dabei X Γ q U, so ist auch Xf C q U V, denn ist U V und W, x 1,..., x n eine Karte von M mit W, so haben wir X U W = a j x j 18-8

9 mit Funktionen a 1,..., a n C q U W und damit ist für alle z U V W auch Xfz = X z f = a j z f x j also Xf U V W C q U V W. Somit ist Xf C q U V. Tatsächlich ist diese Eigenschaft kennzeichnend für C q - Vektorfelder, was wir nun in einem Lemma festhalten wollen. Lemma 4.1 Charakterisierung der C q -Vektorfelder Seien M eine berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit, q N, π : T M M das Tangentialbündel von M und X : M T M eine Abbildung mit π X = id M. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: a Es ist X Γ q M. b Für jede Karte U, x 1,..., x n von M sind die durch X U = a i x i definierten Funktionen a 1,..., a n : U R in C q U. c Für jeden Punkt M gibt es eine Karte U, x 1,..., x n von M mit U so, dass die durch X U = a i x i definierten Funktionen a 1,..., a n : U R in C q U sind. d Für jede Funktion f C M ist Xf C q M. Beweis: Die Aussagen a, b und c sind nach 3.Lemma 10.b äquivalent, es ist also nur noch die Äquivalenz dieser Aussagen mit d zu beweisen. Die Imlikation von a nach d haben wir dabei bereits oben eingesehen. Nehme nun an, dass Xf C q M für jedes f C M gilt. Wir zeigen, dass dann Aussage c gilt. Sei also ein Punkt M gegeben und wähle eine Karte U, x 1,..., x n von M mit U. Dann existiert eine in M offene Umgebung V von in M mit V V U und nach Aufgabe 31.a gibt es fïr jedes 1 j n eine Funktion f j C M mit f j V = X j V und für jedes z V haben wir dann auch X z x j = X z f j = Xf j z, also ist a j := Xx j V = Xf j V C q V. Für alle z V ist nach 3.Korollar 18 X z = X z x j x j = a j z z x j und da auch V, x 1 V,..., x n V eine Karte von M ist, haben wir c eingesehen. 18-9