Mathematik 1 -Arbeitsblatt 1-6: Prozentrechnung und Schlussrechnung. 1F Wintersemester 2012/2013 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB PROZENTRECHNUNG

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1 PROZENTRECHNUNG Der Begriff Prozent taucht im Alltag häufig auf und wird oft intuitiv richtig verwendet. Was ist aber nun 1 Prozent (Schreibweise: %) wirklich? Dies sei nun an einem einfachen Beispiel erläutert: 10 % von 1000 Euro sind 100 Euro. Die 1000 Euro werden als Gesamtheit (das Ganze) betrachtet und in 100 gleich große Teile zerlegt. Einen solchen Teil nennt man 1 Prozent. Um also 10% zu berechnen, müssen wir lediglich die 1000 Euro durch 100 dividieren (=1%) und das Ergebnis mit 10 multiplizieren (=10%). Definition: 1 Prozent (1%) = GRUNDBEGRIFFE (ein Hundertstel) Die Gesamtheit (das Ganze), jener Wert auf den sich die Prozentangabe bezieht, sind folglich immer. Diesen bezeichnet man als den Grundwert. In unserem Beispiel wären dies die 1000 Euro. Jene Prozentangabe, die sich auf den Grundwert bezieht, nennt man den Prozentsatz. In unserem Beispiel wären dies die 10 %. Jenen Zahlenwert, der dem Prozentsatz entspricht, in unserem Beispiel die 100 Euro, nennt man den Prozentanteil. 2. RECHNEN MIT PROZENTEN 2.1. Berechnen des Prozentanteils Beispiel: Ein Scanner kostet 400 Euro. Frau Müller erhält 10% Rabatt. Wieviel muss Sie bezahlen? 400 Euro sind. 400 : 100 = 4 4 Euro sind also 1Prozent = Euro sind also 10 Prozent. 1

2 = 360 Der Scanner kostet also 360 Euro. So müsste man diese Aufgabe eigentlich logischerweise berechnen. Man kann aber für die Prozentrechnungen auch ein sehr einfaches und praktisches Schema verwenden. Dieses hat den Vorteil, dass es auch bei allen anderen Fragestellungen (siehe weiter hinten) anwendbar ist. Nachteil dieser schematischen Berechnung ist, dass man eigentlich nicht mehr denken muss! Rechnen Sie so, wie es Ihnen leichter erscheint!! Das Schema sieht folgendermaßen aus: Wir schreiben einfach die entsprechenden Zahlenwerte untereinander und schreiben für den unbekannten Wert x (Man nennt dies eine Variable). 400 Euro 10% Nun betrachten wir die beiden Diagonalen und erkennen, dass bei einer zwei Zahlenwerte stehen. 400 Euro 10% Die beiden Zahlenwerte auf dieser Diagonale werden multipliziert und durch die übrige Zahl dividiert. Wir erhalten folgendes Schema: 400 Euro 10% x = : 1000 = = Euro sind also 10%. Merke: Wende dieses Schema folgendermaßen an: Schreibe die Zahlenwerte wie oben an. Betrachte die beiden Diagonalen. Jene Diagonale, die zu zwei Zahlenwerten weist, liefert die Zahlen die wir multiplizieren und das Ergebnis wird durch die dritte Zahl dividiert. 2

3 2.22 Berechnen des Prozentsatzes Beispiel: Ein Scanner kostet 500 Euro. Im Ausverkauf wird er um 400 Euro angeboten. Um wieviel Prozent wurde der Scanner verbilligt. Der logische Weg würde so aussehen: Die 500 Euro sind unser Grundwert, also. 500:100=5 5 Euro sind also 1%. Der Scanner wurde um 100 Euro verbilligt. Womit müssen wir also die 5 Euro multiplizieren, um auf 100 zu kommen? 100:5=20 Der Scanner wurde um 20%verbilligt. Hier wird der Vorteil des Schemas ersichtlich. 500 Euro 100 Euro x% x = : 00 = = Berechnen des Grundwertes: Beispiel: Eine Ware kostett mit 20% Mehrwertsteuer 1200 Euro. Wie hoch ist der Grundpreis (Preis ohne Mehrwertsteuer)? Der logische Weg würde so aussehen: Die 1200 Euro sind 120% ( Grundpreis + 20% Mehrwertsteuer) 1200:120=10 10 Euro müssen also 1% sein. Wir müssen nun berechnen = Euro sind also der Grundpreis. Mit dem Schema: 1200 Euro 120% x = : 120 = =

4 SCHLUSSRECHNUNGEN 1. Direkt proportionale Größen Beispiel: Ein Gartengrundstück mit 1000 m 2 Flächeninhalt wurde um Euro verkauft. Wie viel S kosten 700m 2 dieses Grundstücks? Betrachten wir zunächst einmal den Zusammenhang zwischen den Daten: Je weniger Grund ich kaufe, desto niedriger ist der Preis. Je mehr Grund ich kaufe, desto mehr zahle ich. Wir können sogar noch mehr über das Verhältnis der beiden Daten aussagen: Wenn ich doppelt soviel Grund kaufe, zahle ich den doppelten Preis. Wenn ich dreimal soviel Grund kaufe, zahle ich den dreifachen Preis. Wir erkennen also: Genau in demselben Ausmaß in dem der eine Wert steigt bzw. fällt, steigt bzw. fällt auch der andere Wert. Bestehtt zwischen zwei Werten ein derartiger Zusammenhang, so nennt man diese direkt proportional. Man kann auch sagen, es besteht ein direktes Verhältnis. Merke: Liegt bei einer Schlussrechnung die Beziehung Je mehr... desto mehr oder Je weniger... desto weniger vor, steigen bzw. fallen die beiden Werte also im selben Ausmaß, so handelt es sich um ein direktes Verhältnis. Indem wir diesen leicht ermitteln: 1000 m 2 Zusammenhang ausnützen, könntenn wir die Lösung Euro : m m 2 : Euro 1m 2 kostet also 500 Euro Euro Wenn Sie sich den Begriff der direkten Proportionalität überlegen erkennen Sie, dasss auch die Prozentrechnung diesen Zusammenhang 4

5 aufweist (Je mehr Prozent, desto höher der Wert). Folglich lässt sich unser Schema aus der Prozentrechnung auch hier anwenden: 1000 m Euro 700 m2 x = = Auch hier gilt also wieder: Multipliziere jene beiden Zahlen, die auf der Diagonale gegeben sind und dividiere sie durch die übriggebliebene Zahl. 2..Indirekt proportionale Größen Beispiel: Ein Fußgänger geht mit 4 km/h und legt eine bestimmte Strecke in6 h zurück. Wie lange benötigt ein Radfahrer, der mit 12 km/h fährt, für dieselbe Strecke? Betrachten wir zunächst einmal den Zusammenhang zwischen den Daten: Je schneller ich unterwegs bin, desto weniger Zeit brauche ich für eine bestimmte Strecke. Je langsamer ich unterwegs bin, desto mehr Zeit brauche ich für eine bestimmte Strecke. Wir können sogar noch mehr über das Verhältnis der beiden Daten aussagen: Wenn ich doppelt so schnell fahre, brauche ich die halbe Zeit. Wenn ich dreimal so schnell fahre, brauche ich ein Drittel der Zeit. Wir erkennen also: Genau im umgekehrten Ausmaß in dem der eine Wert steigt bzw. fällt, fällt bzw. steigt der andere Wert. Bestehtt zwischen zwei Werten ein derartiger Zusammenhang, so nennt man diese indirekt proportional. Man kann auch sagen, es besteht ein indirektes Verhältnis. Merke: Liegt bei einer Schlussrechnung die Beziehung Je mehr... desto weniger oder Je weniger... desto mehr vor, steigen bzw. fallen die beiden Werte also genau umgekehrt, so handelt es sich um ein indirektes Verhältnis. 5

6 Indem wir diesen Zusammenhang ausnützen, könntenn wir die Lösung leicht ermitteln: 4 km/h 6 h :4 *4 1 km/h 24 h Mit 1 km/h fährt man 24 h *12 :12 12 km/ /h 2h Auch unser Schema lässt sich in etwas abgewandelter Form wieder verwenden. 4 km/h 6 h 12 km/ /h x h x = 6 4 = 2 12 Merke: Liegt ein indirektes Verhältnis vor, so multipliziere jene beiden Wert, die auf einer Zeile stehen und dividiere sie durch die übriggebliebene Zahl. 6