Die Chaostheorie und Fraktale in der Natur

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1 Hallertau-Gymnasium Wolnzach Abiturjahrgang 2009/2011 Facharbeit aus dem Leistungskurs Physik Die Chaostheorie und Fraktale in der Natur Eine physikalisch-philosophische Abhandlung über das Wesen der Natur Verfasser: Kursleiter: Maximilian Jokel OStR Markus Fiederer Erzielte Note: In Worten: Erzielte Punkte: In Worten: Abgabe beim Kollegstufenbetreuer am.... Unterschrift des Kursleiters...

2 Die Chaostheorie und Fraktale in der Natur Eine physikalisch-philosophische Abhandlung über das Wesen der Natur

3 Inhaltsverzeichnis 3 Vorwort: Von der euklidischen Geometrie zur fraktalen Geometrie Das Prinzip der Linearisierung Einleitung Motivation und Intention Struktur der Arbeit Die Chaostheorie Historische Entwicklung der Chaostheorie Systemtheorie und Chaostheorie Neuere Entwicklungen Philosophische Reflexion über Chaos und Ordnung Chaos Ordnung Die Übergänge vom Chaos zur Ordnung und zurück Definition der Chaostheorie Erklärung und Definition zentraler Begrifflichkeiten Deterministisches Chaos Kausalität und Sensitivität Schwache versus starke Kausalität Der Schmetterlingseffekt Seltsame Attraktoren im Phasenraum Die Idee der Selbstorganisation Fraktale Die Entdeckung der Fraktale Georg Cantor David Hilbert und Giuseppe Peano Helge von Koch und Wacław Sierpiński Gaston Julia und Pierre Fatou Benoît B. Mandelbrot Was ist ein Fraktal? Eigenschaften von Fraktalen Rückkopplung und Iteration Die Säulen der fraktalen Geometrie Erklärung und Definition Der rekursive Algorithmus zur Erzeugung der Koch-Kurve Selbstähnlichkeit und Skaleninvarianz Erklärung und Definition Skaleninvarianz am Beispiel des Sierpiński-Dreiecks Fraktale Dimension Erklärung und Definition Die Selbstähnlichkeitsdimension Die Boxcounting-Dimension Fraktale Formen in der Natur Physik und Philosophie Die Fibonacci-Folge und der Goldene Schnitt Fraktales Wachstum Von Pythagoreischen Bäumen und Barnsleys Farnen Der Pythagoras-Baum Der Barnsley-Farn Fraktale zur Oberflächenvergrößerung Fraktales Wachstum nichtbelebter Materie Selbstorganisation am Beispiel der Bildung von Flussnetzwerken Philosophische Reflexion über das Wesen der Natur Erklärung Quellenverzeichnis, Abbildungsverzeichnis und Anhänge... 45

4 Vorwort 4 Vorwort

5 Vorwort 5 Abb. 1: Die Philosophie thront inmitten der sieben freien Künste

6 Einleitung 6 1. Einleitung 1.1 Motivation und Intention 1.2 Struktur der Arbeit

7 Die Chaostheorie 7 2. Die Chaostheorie 2.1 Historische Entwicklung der Chaostheorie Abb. 2: Edward Norton Lorenz

8 Die Chaostheorie Systemtheorie und Chaostheorie Neuere Entwicklungen 2.3 Philosophische Reflexion über Chaos und Ordnung

9 Die Chaostheorie Chaos Ordnung Die Übergänge vom Chaos zur Ordnung und zurück

10 Die Chaostheorie Definition der Chaostheorie

11 Die Chaostheorie Erklärung und Definition zentraler Begrifflichkeiten Deterministisches Chaos 18

12 Die Chaostheorie Kausalität und Sensitivität

13 Die Chaostheorie Schwache versus starke Kausalität Abb. 3: Schematische Darstellung der schwachen Kausalität Abb. 4: Schematische Darstellung der starken Kausalität Der Schmetterlingseffekt

14 Die Chaostheorie 14 Abb. 5: Schematische Darstellung des Schmetterlingseffektes Seltsame Attraktoren im Phasenraum

15 Die Chaostheorie 15 Abb. 6: Dreidimensionale Ansicht des Lorenz-Attraktors mit zwei attraktiv wirkenden Punkten Die Idee der Selbstorganisation

16 Fraktale Fraktale

17 Fraktale Die Entdeckung der Fraktale Georg Cantor Abb. 7: Die Cantor-Menge David Hilbert und Giuseppe Peano

18 Fraktale 18 Abb. 8: Die Hilbert-Kurve: Hier markiert das rote Quadrat den Start-, das grüne Quadrat den Endpunkt der Kurve Helge von Koch und Wacław Sierpiński Gaston Julia und Pierre Fatou

19 Fraktale 19 Abb. 9: Eine Julia-Menge Benoît B. Mandelbrot Abb. 10: Die als Apfelmännchen bekannt gewordene Mandelbrot- Menge 3.2 Was ist ein Fraktal?

20 Fraktale 20

21 Fraktale Eigenschaften von Fraktalen Rückkopplung und Iteration Die Säulen der fraktalen Geometrie Erklärung und Definition

22 Fraktale Der rekursive Algorithmus zur Erzeugung der Koch-Kurve Abb. 11: Die ersten vier Schritte zur Erzeugung der Koch-Kurve 1 3

23 Fraktale Selbstähnlichkeit und Skaleninvarianz Erklärung und Definition

24 Fraktale Skaleninvarianz am Beispiel des Sierpiński-Dreiecks Abb. 12: Das Sierpiński-Dreieck Fraktale Dimension Erklärung und Definition

25 Fraktale 25 1 lim 0 0 log lim 0 log 0 lo

26 Fraktale Die Selbstähnlichkeitsdimension log 9 2 log log log 3

27 Fraktale Die Boxcounting-Dimension lim 0 log lim 0 log 1

28 Fraktale Formen in der Natur ,25 4. Fraktale Formen in der Natur 4.1 Physik und Philosophie

29 Fraktale Formen in der Natur Die Fibonacci-Folge und der Goldene Schnitt

30 Fraktale Formen in der Natur lim 1 5 lim 1,

31 Fraktale Formen in der Natur ,

32 Fraktale Formen in der Natur 32 Abb. 13: Links- und rechtsdrehende Fibonacci-Spiralen im Blütenstand von Sonnenblumen Abb. 14: Die Blütenblätter Nr. 1 und Nr. 2 schließen den goldenen Winkel ein

33 Fraktale Formen in der Natur Fraktales Wachstum Von Pythagoreischen Bäumen und Barnsleys Farnen Der Pythagoras-Baum

34 Fraktale Formen in der Natur 34 Abb. 15a: Auf der Oberseite des Quadrates wird ein rechtwinkliges Dreieck aufgesetzt Abb. 15b: Über den beiden Katheten werden jeweils Quadrate errichtet Abb. 15c: Der Pythagoras-Baum nach einer vollständigen Iteration Abb. 15d: Über den entstandenen Katheten werden wiederum Quadrate errichtet Abb. 15e: Der Pythagoras-Baum während der vierten Iteration Abb. 15f: Der Pythagoras-Baum nach unendlich vielen Iterationen

35 Fraktale Formen in der Natur Der Barnsley-Farn Abb. 16: Ein zufällig erzeugter Pythagoras-Baum Abb. 17: Einige exemplarische Stadien während der Erzeugung eines Barnsley- Farns

36 Fraktale Formen in der Natur Fraktale zur Oberflächenvergrößerung Abb. 18: Das Blutgefäßsystem der Niere zeigt fraktale Verästelung

37 Fraktale Formen in der Natur Fraktales Wachstum nichtbelebter Materie Abb. 19: Auch Blitze erlangen durch ihre unregelmäßigen und zackigen Verzweigungen fraktalen Charakter Abb. 20: Ein bei der elektrolytischen Abscheidung von Kupfer aus einer Kupfersulfatlösung entstandener Dendrit

38 Fraktale Formen in der Natur 38 Abb. 21: Eine durch rasche Umverteilung von Ladungen im Acrylglas erzeugte Lichtenberg-Figur 4.4 Selbstorganisation am Beispiel der Bildung von Flussnetzwerken

39 Fraktale Formen in der Natur 39 Abb. 22: Computersimulation der Entstehung eines Flussnetzwerkes -

40 Fraktale Formen in der Natur 40 0,5 0,

41 Philosophische Reflexion über das Wesen der Natur Philosophische Reflexion über das Wesen der Natur

42 Philosophische Reflexion über das Wesen der Natur 42

43 Philosophische Reflexion über das Wesen der Natur 43

44 Erklärung Erklärung

45 Literaturverzeichnis, Abbildungsverzeichnis und Anhänge Literaturverzeichnis, Abbildungsverzeichnis und Anhänge Literaturverzeichnis, Quellennachweis

46 Literaturverzeichnis, Abbildungsverzeichnis und Anhänge 46

47 Literaturverzeichnis, Abbildungsverzeichnis und Anhänge 47

48 Literaturverzeichnis, Abbildungsverzeichnis und Anhänge 48 Abbildungsverzeichnis

49 Literaturverzeichnis, Abbildungsverzeichnis und Anhänge 49 Anhänge

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