Zur Interpretation einer Beobachtungsreihe kann man neben der grafischen Darstellung weitere charakteristische Größen heranziehen.

Transkript

1 Rudolf Brkma Sete Lagemaße der beschrebede Statstk. Zur Iterpretato eer Beobachtugsrehe ka ma ebe der grafsche Darstellug wetere charakterstsche Größe herazehe. Mttelwert ud a Arthmetsches Mttel eer Daterehe x = x = ( x+ x x) = : Azahl der Beobachtugswerte x x : - ter Beobachtugswert Bespel: Bestmme Se aus der Lste eer Schülerbefragug de durchschttlche Körpergröße aller befragte Schüler. Körpergröße x: 4;;8;90;;;;0:50;75;80;0;8;75;8 Azahl der Beobachtugswerte (Schüler) = 5 5 x = x = x = 5 = = = = 7, (Durchschttsgröße) 5 Wetere Bespele für Mttelwerte: Durchschttsabturote:,8 Durchschttsgewcht aller Schüler eer Klasse:,3 kg Der a (Zetralwert eer Daterehe) Der a x st derjege Wert (Merkmalsausprägug), der der Mtte steht, we alle Beobachtugswerte x der Größe ach geordet sd. Wr orde alle Werte aus userem Bespel der Größe ach ud bestmme de Mtte. Körpergröße geordet x : 50 ; 0 ; 0 ; ; ; 4 ; ; : 8 ; 8 ; 8 ; 75 ; 75 ; 80 ; 90 Der 8. Wert, also x = bldet de a. 8 Erstellt vo Rudolf Brkma p8_beschr_stat_0.doc :37 Sete: vo 9

2 Rudolf Brkma Sete We veräder sch Mttelwert ud a, we der größte Schüler de Klasse verlässt ud für h ee klee Schüler mt der Körpergröße 50 dazu kommt? Körpergröße geordet x : 50 : 50 ; 0 ; 0 ; ; ; 4 ; ; : 8 ; 8 ; 8 ; 75 ; 75 ; 80 Der a, also x 8 = blebt uverädert. 5 Mttelwert: x = x 5 = = = = 4,9 5 Der Mttelwert wrd ach ute gezoge. We verädert sch der a, we e Schüler mt der Körpergröße 80 dazu kommt? Körpergröße geordet x: 50:50;0;0;;;4; ; :8;8;8;75;75;80;80 Der a legt zwsche de Werte vo x ud x, blebt also be 8 9 Allgemee Rechevorschrft zur Berechug des as Ist st de Azahl der Beobachtugswerte x, da glt: ugerade x = x gerade x = x + x + + Erstellt vo Rudolf Brkma p8_beschr_stat_0.doc :37 Sete: vo 9

3 Rudolf Brkma Sete Vorbetrachtuge zur Varaz Wr betrachte weder user Afagsbespel mt dem Mttelwert 7, ud blde de Summe der Abwechuge vo desem. x x x x De Summe bestätgt ur de Mttelwert, se hat kee Aussagekraft für de 4 7, 3, Streuug. 7, 5, 8 7, 0,4 De postve ud egatve Dffereze hebe sch auf. 90 7,,4 7,, Um de egatve Dffereze zu 7,, vermede, bereche wr de Quadrate 7, 5, der Dffereze ud blde davo de Mttelwert. 0 7, 7, 50 7, 7, 75 7, 7,4 80 7,,4 0 7, 7, 8 7, 0,4 75 7, 7,4 8 7, 0,4 0,0 ( ) x x x x x x 4 7, 3,,9 7, 5, 3,3 8 7, 0,4 0, 90 7,,4 50,7 7,,,5 7,,,5 7, 5, 3,3 0 7, 7, 57,7 50 7, 7, 309,7 75 7, 7,4 54,7 80 7,,4 53,7 0 7, 7, 57,7 8 7, 0,4 0, 75 7, 7,4 54,7 8 7, 0,4 0, 0,0 7,0 Mttelwertbldug: ( ) x = x x 5 5 = = 7,0 = 84,77 5 Deser Wert wrd Varaz s geat. Er st der Mttelwert der quadratsche Abwechuge vom Mttelwert. De Wurzel daraus ee wr Stadardabwechug s s = s = 84,77 9, De Stadardabwechug st e Maß für de Streuug um de Mttelwert. Erstellt vo Rudolf Brkma p8_beschr_stat_0.doc :37 Sete: 3 vo 9

4 Rudolf Brkma Sete Modalwert (Modus) Be Merkmalsauspräguge we z.b. rot, blau, grü, also be omal skalerte Größe ka ke arthmetsches Mttel berechet werde. Her lässt sch ledglch de Frage ach der Merkmalsausprägug mt der größte Häufgket stelle. Bespel: Azahl der Schüler am Fremdspracheuterrcht talesch spasch eglsch frazössch russsch De Fremdsprache eglsch kommt mt der größte Häufgket vor (84 mal) Somt st der Modalwert x Mod = eglsch. Der Modalwert x Mod st der Merkmalswert, der am häufgste vorkommt. Bemerkug zum Modalwert: Gbt es mehrere Merkmalsauspräguge mt der gleche maxmale Häufgket, so exstert ke Modalwert. Be eer Klasseetelug st der Modalwert de Mtte der am dchteste besetzte Klasse. De Verwedug des Modus st be jedem Skaleveau möglch. Ergäzuge zum a Bespel: E Bautrupp mt 9 Persoe hat folgede moatlche Eküfte Euro arthmetsches Mttel: x 78, Deser Durchschtt lefert e falsches Bld, wel de Mehrzahl (7 vo 9 Persoe) höchstes 00 verdet. Der Wert 00 zeht de Mttelwert ach obe. Wr bereche de a Erstellt vo Rudolf Brkma p8_beschr_stat_0.doc :37 Sete: 4 vo 9

5 Rudolf Brkma Sete = 9 ugerade x = x = x = x = Der a beschrebt de Vertelug besser als der Mttelwert. Ma et h auch Zetralwert Euro x 7 <x> 8 9 Ausreßer habe auf de a kee Efluss. Bespel : De Azahl der Merkmalsauspräguge st ugerade, z.b. das Alter vo 7 Mathematklehrer ( = 7 ) x = x+ = x4 = 45 x x x3 x4 x5 x x7 3 Werte x 3 Werte allgeme: x = x + I der Tabelle stehe lks ud rechts ebe dem a glech vele Werte. Bespel : De Azahl der Merkmalsauspräguge st gerade, z.b. das Alter vo 8 Mathematklehrer ( = 8 ) x + x = = = x x x3 x4 x5 x x7 x8 3 Werte x 3 Werte allgeme: x = x + x 4 5 x 48,5 + Be eer gerade Azahl vo Werte ( = 8 ) berechet ma de a aus de bede mttlere Werte. Erstellt vo Rudolf Brkma p8_beschr_stat_0.doc :37 Sete: 5 vo 9

6 Rudolf Brkma Sete Bemerkuge zum a. Falls das betrachtete Merkmal ur ordal skalert st (z.b. Zeugsote), so st be geradem zu beachte dass der a ur da exstert, we bede frage kommede Merkmalsauspräguge glech sd. Z.B. be de Zeugsote exstert ke a, de 3,5 als Zeugsote st cht üblch. Aber: hat de a 3. Für de Fall, dass metrsche Date Klasse gruppert vorlege, ka de exakte Mrkmalsausprägug des as cht bestmmt werde. Berechug des arthmetsche Mttels aus eer Häufgketstabelle Fall I: Absolute Häufgket j = j x = x = ( x + x x ) = = j j j = = Fall II: Relatve Häufgket h = x = x h = x h + x h x h j j : absolute Häufgket der Merkmalsausprägug x h : relatve Häufgket der Merkmalsausprägug x j : Summe der absolute Häufgkete j : Azahl der Merkmalsauspräguge x Bespel: Das Ergebs eer Verglechsarbet st utesteheder Tabelle zu etehme. Bereche Se de Notedurchschtt. Häufgketstabelle Note ( x ) Az. d. Schüler Schüler sgesamt: = = 50 = = Durchschttsote: x = x = = = 3, Erstellt vo Rudolf Brkma p8_beschr_stat_0.doc :37 Sete: vo 9

7 Rudolf Brkma Sete Berechug des arthmetsche Mttels be klasserte Date Fall I: Absolute Häufgket k k ( k k) = = k x = m = m + m m = = Fall II: Relatve Häufgket h = k x = m h = m h + m h m h = k k : absolute Häufgket der - te Klasse h : relatve Häufgket der - te Klasse m : Klassemtte der -te Klasse : Summe der absolute Häufgkete k : Azahl der Klasse Bespel: Bestmme Se aus der klasserte Häufgketstabelle für das Körpergewcht de arthmetsche Mttelwert. Klasse x Häufgket 5 bs 0 bs bs bs 90 Klassemtte m 55,5 5,5 75,5 85,5 Klasseafag + Klasseede + 70 Klassemtte = z.b. = 5,5 Der Häufgket wrd de Klassemtte zugeordet. Ma geht davo aus, dass alle 0 Schüler der Klasse x das Körpergewcht 5,5 kg habe. Azahl der Schüler: = x = = 7 4 = 4 x = m 7 = 78,5 = ( 55,5 + 5, , ,5 ) = 4,0 (Durchschttsgewcht) 7 7 Zusammefassug der Egeschaft vo Lagemaße. Lagemaß Skala Defto Bespel: 3;9;7;44;9;44; = 7 Mttelwert x metrsche x x = = 30 häufgste Modalwert xmod alle xmod = 44 kommt 3 mal vor Merkmalsausprägug a x ordal/metrsch Wert der Mtte 7;9;9; 3;44;44;44 x = 3 Erstellt vo Rudolf Brkma p8_beschr_stat_0.doc :37 Sete: 7 vo 9

8 Rudolf Brkma Sete Verglech vo Lagemaße ahad ees Säuledagramms Mathematkote eer Klassearbet abs. Häufgket Merkmalsausprägug De Note werde desem Bespel metrsch skalert, dh. es soll auch Zwscheote gebe. Häufgketstabelle x x x3 x4 x5 x Note (x ) abs. Häufgket ( ) = = 8 = Mod 3 Mttelwert: x = x = =,39 8 Modalwert: x = x = 3 (kommt 8 mal vor) a: x =, 5 = Lagemaße m Säuledagramm egezechet x =,5 0 Mathematkote eer Klassearbet x =,39 xmod = 3 abs. Häufgke Merkmalsausprägug Erstellt vo Rudolf Brkma p8_beschr_stat_0.doc :37 Sete: 8 vo 9

9 Rudolf Brkma Sete Das Stägel Blatt Dagramm Zur Bestmmug des as müsse de Date (Merkmalsauspräguge) geordet werde. Das ka mühsam se. Ee Erlechterug betet her das Stägel Blatt Dagramm Bespel: De Date eer Urlste laute Nr kg De Date werde m Stägel Blatt Dagramm geordet. Ehet der Stägel 0, Ehet der Blätter Stägel Blätter Stegel Blatt 4 steht für De Date werde ach de Stägel (Zeherzahle) geordet. Zu jedem Stägel werde da de Blätter (Eerzahle) der Größe ach hzugeschrebe. De meste Date lege m. Stägel. Der Wert der größte Häufgket (Modalwert) st x Mod = 0 A der 4. Stelle steht der a x = 3 Erstellt vo Rudolf Brkma p8_beschr_stat_0.doc :37 Sete: 9 vo 9