MATHEMATIK Leitprogramm technische Mathematik Grundlagen II

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1 INHALT: 4. SI-EINHEITEN UND PHYSIKALISCHE GRÖSSEN ZEITBERECHNUNGEN WINKELBERECHNUNGEN PROZENTRECHNEN 38 Information In diesem Kapitel geht es darum, grundlegende Vereinbarungen und Verfahren einzuführen oder zu wiederholen. Es sind Bereiche aus der Schulausbildung, wir wollen sie auffrischen um für die kommenden Kapitel gerüstet zu sein. Dazu gehört das Angewöhnen an physikalische Grössen, selbst wenn zu diesem Zeitpunkt die technische Bedeutung dieser Grössen unter Umständen noch nicht klar ist. Wichtig ist, dass sie diejenigen Bereiche besonders intensiv behandeln bei denen Sie Schwierigkeiten erkennen. Die in den Grundlagen behandelten Themen werden zu einem bestimmten Zeitpunkt im Berufskundeunterricht benötigt und als bekannt vorausgesetzt. Lernziele Sie können mit Zeiteinheiten und Winkeln rechnen. Sie erkennen und interpretieren die Darstellung von physikalischen Grössen Sie können ohne Hilfe einer Formelsammlung Prozentwerte bestimmen. Sie beherrschen Ihren Taschenrechner für die geforderten Berechnungen...und los geht's! Seite 21

2 4. SI-Einheiten und physikalische Grössen Sie werden bestimmt schon bemerkt haben, dass in vielen vorangegangenen Beispielen nicht einfach eine Zahl verwendet wurde sondern eine so genannte physikalische Grösse. Beispielweise wurde im ersten Beispiel im Kapitel 2. Variablen die Fläche eines Rechtecks berechnet. Das Resultat war A= 15 cm 2. Die physikalische Grösse ist also die Fläche A des Rechtecks. A ist das Symbol für die Fläche. Die Grösse selbst ist 15 cm ist der Zahlenwert cm 2 ist die Einheit Definition Eine physikalische Grösse besteht immer aus einem Zahlenwert und einer Einheit. Beispiel: Die Strecke zwischen Erde und Mond war 149,6 x 10 9 m. 149,6 x 10 9 ist der Zahlenwert m ist die Einheit Seite 22

3 In der folgenden Tabelle sehen Sie die Basiseinheiten, die in der Physik verwendet werden. Sie werden auch SI Einheiten genannt weil sie international genormt sind (SI heisst Système International): Grösse Definition Formelzeichen (Symbol) Einheit Name der Basiseinheit Zeichen Länge l Meter m Masse m Kilogramm kg Zeit t Sekunde s Stromstärke I Ampère A Temperatur T / Kelvin / (Celsius) K / ( C) Stoffmenge n Mol mol Lichtstärke I V Candela cd griechischer Buchstabe t (Theta) Bei diesen Einheiten handelt es sich um die so genannten Basiseinheiten, dass heisst die übrigen physikalischen Grössen sind auf diesen Einheiten aufgebaut. Beispiel: Die Einheit Newton für die Kraft ist folgendermassen aus den Basiseinheiten zusammengesetzt: kg x m N = s 2 In der Praxis hat diese Darstellung in den Grundeinheiten aber keinerlei Bedeutung. Man benutzt immer die Einheit Newton. Sie werden im zweiten Lehrjahr im Rahmen des Unterrichts über die Naturwissenschaftlichen Grundlagen genaueres über diese Grundeinheiten und die daraus zusammengesetzten Einheiten erfahren. Seite 23

4 Aufgaben 4.1. Ergänzen Sie in der Tabelle die Basisgrössen, abgeleiteten Grössen und ihre Einheiten. siehe Tabellenbuch Metall, S. Grösse Formelzeichen (Symbol) Name Einheit Zeichen Länge * l Meter m Fläche A Quadratmeter m 2 Volumen V Kubikmeter m 3 * Basiseinheit 4.2. Ergänzen Sie in der Tabelle die Basisgrössen, abgeleiteten Grössen und ihre Einheiten. siehe Tabellenbuch Metall, S.. Grösse Formelzeichen (Symbol) Name Einheit Zeichen Zeit * t Sekunden s Frequenz f Hertz Hz Drehzahl n 1 pro Sekunde 1/s Geschwindigkeit v Meter pro Sekunde m/s * Basiseinheit Seite 24

5 4.3. Ordnen Sie die Begriffe zu. Einheit, Zeichen Formelzeichen, Symbol Physikalische Grösse des Volumens Zahlenwert 30 Einheit, Zeichen = m 3 V m 3 Formelzeichen, Symbol = V Physikalische Grösse des Volumens = 30 m 3 30 m 3 Zahlenwert = Aus welchen Basiseinheiten wird die Geschwindigkeit v ermittelt? Meter und Sekunde Hinweis Vorläufig ist für uns wichtig, dass diese Einheiten genau gleich wie mathematische Variablen bzw. allgemeine Zahlen behandelt werden, wie Sie sie bereits in der Sekundarschule behandelt hatten. Beispiel Mathematik: 2 m x 10 m = 20 m 2 Physik: 2 s x 8 s = 16 s 2 (sprich: 'Sekunde im Quadrat') Hinweis Beachten Sie, dass die im vorigen Abschnitt (Seite 10) behandelten Abkürzungen von Zehnerpotenzen (m, T, k usw.) für physikalische Angaben fest reserviert sind. Beispiel Mathematik: 1'000 m x 1'000 m = 1'000'000 m = 1 x 10 6 m = 1'000 km (sprich: 'Kilometer') Physik: 10'000 N = 10 kn (sprich: 'Kilonewton') Seite 25

6 5. Zeitberechnungen In der Praxis tritt häufig das Problem auf, dass wir im Alltag Einheiten benutzen die nicht ins SI System passen. Ein bekanntes Beispiel hierfür ist die Zeit: Je nach Anwendung verwenden wir im Alltag Stunden oder Tage oder gar Wochen und Jahre. Die physikalische Grundeinheit ist aber stets die Sekunde. Daher sind Umrechnungsfaktoren nötig, wenn physikalische Berechnungen durchgeführt werden. Definition Umrechnungsfaktoren für die Zeitberechnung: Grösse Einheit, Zeichen Umrechnung Sekunde s - Minute min 1 min = 60 s Stunde h 1 h = 60 min Tag d 1 d = 24 h Jahre* a 1 a = 365 d *Die Einheit Jahre wird in der Technik mit dem Buchstaben a abgekürzt (Annus aus dem lateinisch für "Jahr") Zum Rechnen mit dem Taschenrechner können Zeitangaben in Jahr, Tag, Stunden, Minuten und Sekunden nicht verwendet werden. Sie werden als Dezimalbruch benötigt. Beispiel: 1 h 30 min => 1,5 h Beispiel: Die für einen Arbeitsauftrag benötigte Zeit von 2 h 46 min 27 s ist in Minuten umzurechnen. Lösung: 2 h = 2 x 60 min = 120,0 min 46 min = 46 min s = min = 0,45 min 60 2 h 46 min 27 s = 166,45 min Seite 26

7 Aufgaben 5.1. Berechnen Sie die Zeit-Umrechnungsfaktoren in folgender Tabelle: Grösse (Einheit, Zeichen) Minute (min) 60 Umrechnungsfaktor in Sekunden Beispiel: eine halbe Minute= 0,5 x 60s = 30s Stunde (h) 60 x 60 = Tag (d) 24 x 60 x 60 = Woche 7 x 24 x 60 x 60 = Jahr 365 x 24 x 60 x 60 = 31'536'000 = 3,1536 x Sie müssen 350 Teile herstellen. Für ein einzelnes Teil benötigen Sie 3,4 min. Wie lange dauert die gesamte Produktion in h? 350 Teile x 3,5 min = 1'190 min 1'190 min / 60 = 19,83 h 5.3. Sie planen die Produktion von 550 Stück. In einer Stunde produzieren Sie 4 Stück. Wie viele Arbeitstage mit jeweils 8 h müssen Sie einplanen. 550 Stück / 4 Stück/Stunde = 137,5 Stunden 137,5 Stunden / 8 Stunden = 17,20 Tage Seite 27

8 5.4. Lösen Sie mit Ihrem Taschenrechner die folgenden Aufgaben. Stellen Sie den Taschenrechner so ein, dass er das Resultat der Berechnung direkt auf 2 Stellen rundet! Umrechnung in s: 14 min 4 Tage 72 h 220 Tage 840,00..s 345'600,00..s ,00..s 19'008'000,00..s 1,9 x 10 7 Umrechnung in min: 25 s 7 h 31 d 0,5 a 0,42..min 420,00..min 44'640,00..min 262'800,00..min Umrechnung in h: 40 s 14 min 20 Tage 0,75 a 0,01..h 0,23..h h 6 570,00..h Umrechnung in Tage: 950 s 55 min 34 h 1,5 a 0,01..d 0,04..d 1,42..d 547,50..d Seite 28

9 5.5. Berechnen Sie den Dezimalwert folgender Zeitangaben auf 3 Kommastellen: Zeitangabe Tag / Stunde / Minute / Sekunde 2 h 45 min 3 h 20 min 12 s 1 Tag 6 h 55 min Dezimalwert in h 2 h = 2,000 h 45 min / 60 = 0,750 h 2 h 45 min = 2,750 h 3 h = 3,000 h 20 min / 60 = 0,333 h 12 s / 3'600 = 0,003h 3 h 20 min 12 s = 3,336 h 1 d x 24 = 24,000 h 6 h = 6,000 h 55 min / 60 = 0,917 h 1 d 6 h 55 min = 30,917 h 5.6. Berechnen Sie aus den Dezimalwerten Zeitangaben: Zeitangabe Dezimalwert 2,5 h 3,34 h 8,843 d Tag / Stunde / Minute / Sekunde 2 h = 2 h 0,5 h x 60 = 30 min 2,5 h = 2 h 30 min 3 h = 3 h 0,34 h x 60 = 20,4 min => 20 min 0,4 min x 60 = 24 s 3,34 h = 3 h 20 min 24 s 8 d = 8 d 0,843 d x 24 = 20,232 h => 20 h 0,232 h x 60 = 13,92 min => 13 min 0,92 min x 60 = 55,2 s 8,843 d = 8 d 20 h 13 min 55,2 s Seite 29

10 5.7. Bearbeiten Sie die Aufgaben: Technische Mathematik für Metallberufe, Kapitel.. (S. ) Aufgaben, Zeitberechnungen, Nr. 1-9 Seite 30

11 Lösungen : 4.3.8, Zeitberechungen, Aufgaben 236/1 bis 236/9 Seite 31

12 6. Winkelberechnungen In der Praxis tritt häufig das Problem auf, dass wir im Alltag Einheiten benutzen die nicht ins SI System passen. Ein weiteres Beispiel hierfür sind die Winkelberechnungen: Je nach Anwendung verwenden wir Sekunden, Minuten und Grad. Die physikalische Grundeinheit ist der Meter. Daher sind Umrechnungsfaktoren nötig, wenn physikalische Berechnungen durchgeführt werden. Definition Umrechnungsfaktoren für die Winkelberechnung: Grösse Einheit, Zeichen Umrechnung Sekunde " - Minute ' 1 ' = 60 '" Grad 1 Grad = 60 ' Die Winkelteilung im Kreis: 90 Winkel = / 360 Ein voller Kreis wird in 360 unterteilt Zum Rechnen mit dem Taschenrechner können Winkelangaben in Grad, Minuten und Sekunden nicht verwendet werden. Sie werden als Dezimalbruch benötigt. Beispiel: ' => 30,5 270 Seite 32

13 Hinweise zum Taschenrechner Umrechnen von Winkelangaben in Grad, Minuten und Sekunden in Dezimalbrüche: Sie können mit den meisten Taschenrechnern die Winkelangaben von Grad, Minuten und Sekunden direkt in Dezimalbrüche umwandeln. Oft wird die folgende Taste zur Eingabe benötigt: Taste ' " Beschreiben Sie wie auf Ihrem Taschenrechner die Umrechnung von Winkelangaben in Grad, Minuten und Sekunden in Dezimalbrüche und umgekehrt eingegeben wird: Hinweis Nehmen Sie sich für diese Aufgaben genügend Zeit und arbeiten Sie sehr sorgfältig. Sie werden im Laufe Ihrer Ausbildung immer wieder Umrechnungen durchführen müssen, es ist deshalb sehr wichtig, diese sicher zu beherrschen. Seite 33

14 Aufgaben 6.1. Berechnen Sie die Winkel-Umrechnungsfaktoren in folgender Tabelle: Grösse (Einheit, Zeichen) Minute ( ' ) 60 Umrechnungsfaktor in Sekunden Beispiel: eine halbe Minute= 0,5 x 60s = 30s Grad ( ) 60 x 60 = Lösen Sie mit Ihrem Taschenrechner die folgenden Aufgaben. Stellen Sie den Taschenrechner so ein, dass er das Resultat der Berechnung direkt auf 1 Stelle rundet! Umrechnung in ": 7 ' 55 ' 0, ,0 " 3 300,0 " 2 160,0 " ,0 " Umrechnung in ': 25 " 7 " 31 0,5 0,42 min 0,1 min 1 860,0 min 30,0 min Seite 34

15 6.3. Berechnen Sie den Dezimalwert folgender Winkelangaben auf 3 Kommastellen (mit und ohne Taschenrechner): Zeitangabe Grad / Minute / Sekunde Dezimalwert in Grad ' ' 12 " min 30 = 30, min / 60 = 0,750 ' 2 45 ' = 30, = 180, ' / 60 = 0, " / 3'600 = 0, ' 12 " = 180, = 135, ' / 60 = 0, ' = 135, Berechnen Sie aus den Dezimalwerten Winkelangaben (mit und ohne Taschenrechner): Zeitangabe Dezimalwert 2,5 120,34 80,843 Grad / Minute / Sekunde 2 = 2 0,5 x 60 = 30 ' 2,5 = 2 30 ' 120 = 120 0,34 ' x 60 = 20,4 ' => 20 ' 0,4 ' x 60 = 24 " 120,34 = ' 24 " 80 = 80 0,843 x 60 = 50,58 ' => 50 ' 0,58 ' x 60 = 34,8 " => 34,8 " 80,843 = ' 34,8 " Seite 35

16 6.5. Bearbeiten Sie die Aufgaben: Technische Mathematik für Metallberufe, Kapitel.. (S. ) Aufgaben, Winkelberechnungen, Nr. 1-7 Seite 36

17 Lösungen: Seite 37

18 7. Prozentrechnen Das Prozentrechnen wird oft verwendet, um Vergleiche anzustellen. Besonders bei kaufmännischen Vorgängen ist das Prozentrechnen sehr wichtig. So sagt die Bank Ihnen: 'Bei uns erhalten Sie einen Zins von 2 % auf Ihr Sparguthaben'. Im Vergleich zum Vorjahr wird Ihr Sparkonto also um diesen Prozentsatz zunehmen, dabei spielt es zunächst gar keine Rolle wie gross dann Ihr Sparguthaben tatsächlich ist. Wichtig für Sie ist vielmehr dieser Zinssatz, Sie können nun z.b. mit dem Zinssatz anderer Banken vergleichen und die beste Bank auswählen. In der Technik ist das Prozentrechnen aber auch gebräuchlich. Zum Beispiel sagt eine technische Norm: Die Länge einer Stahlstange darf sich unter Einwirkung einer Last nicht mehr als ± 3% ändern. Man vergleicht hier also die Länge der unbelasteten Stange mit der Belasteten. Auch hier gilt diese Regel für alle Stahlstangen, unabhängig davon, wie viel Ihre jeweilige Länge nun wirklich beträgt. Das Wort 'Prozent' bedeutet im Grunde nichts anderes als 'auf Hundert'. 1 Mathematisch kann das Prozentzeichen also ersetzt werden durch den Faktor oder in Potenzschreibweise10. Der Prozentwert wird immer als Faktor des Ganzen (also 100% oder ) berechnet. Es ergeben sich also zwei mögliche Darstellungsweisen: Definition Grundwert Pr ozentsatz in% Prozentwert 100% oder Pr ozentwert Grundwert Pr ozentsatz wobei hier der Prozentsatz direkt als Hundertstel eingegeben wird Seite 38

19 Beispiel 1: Berechnen Sie den jährlichen Zins im obigen Beispiel wenn Sie ein Sparguthaben von Fr besitzen. Darstellung 1: Fr.800 2% Fr % 2 Darstellung 2: Fr Fr. 16. Natürlich ist das Resultat bei beiden Darstellungen dasselbe! Beispiel 2: Alle Elektromotoren haben einen so genannten Wirkungsgrad. Das bedeutet sie nehmen elektrische Leistung aus dem Stromnetz auf und geben einen möglichst grossen Teil dieser Leistung mechanisch wieder ab in dem Sie z.b. eine Pumpe antreiben. Der Teil der Leistung die abgegeben wird gibt man in Prozent der Leistung die aufgenommen wird an. Der Wirkungsgrad einer Maschine wird also als Prozentsatz der aufgenommenen Leistung (oder auch Energie) angegeben. Ein Elektromotor nimmt eine Leistung von 400W aus dem Netz auf und davon gibt er 360 W als mechanische Leistung an einen Ventilator wieder ab. Der Wirkungsgrad ist somit: Pr ozentwert Pr ozentsatz somit 360 W % Grundwert 400W Hinweis In der Darstellung des Resultats sind sie Grundsätzlich frei. Das bedeutet, im 2 vorherigen Beispiel dürften Sie als Lösung entweder 0. 9 oder oder aber 90 % angegeben. Mathematisch gesehen sind diese Darstellung völlig gleichwertig. Manchmal allerdings, ist die Form der Darstellung in der Aufgabenstellung vorgeschrieben. Seite 39

20 Hinweis Im Strassenverkehr wird die Steigung einer Strasse in Promille angegeben. 1 Steigung 1 m 1'000 m 1 Steigung = 1m Steigung auf 1000 m Seite 40

21 Aufgaben 7.1. Berechnen Sie folgende Prozentsätze: Grundwert Prozentwert Prozentsatz a) 12 kg 750 g b) Fr Fr c) 20l 5dl 100 x 0,75 kg = = 6,25% 12 kg 100 x 30 Fr. = = 40% 75 Fr. 100 x 0,5 l = = 2,5% 20 l 7.2. Bei einer Serie A von 100 produzierten Teilen wurden 5 Teile als Ausschuss gekennzeichnet. Bei der Serie B wurden 2 Teile von 35 Teilen als Ausschuss festgestellt. Bei welcher Serie war die Ausschussquote höher? 100 % x W 100 % 5 Serie A: p % = = = 5 % G % x W 100 % 2 Serie B: p % = = = 5,7 % G 35 Bei der Serie B war die Ausschussquote grösser Berechen Sie Prozent- oder Promillewerte. 2,5 % von CHF 83 % von 1'200 l 15 o /oo von 2'000 m 125 CHF x 2,5 % = = 3,125 CHF 100 % 1'200 l x 83 % = = 996 l 100 % 2'000 m x 15 % = = 30 m 1000 o /oo Seite 41

22 7.4. Bearbeiten Sie die Aufgaben: Technische Mathematik für Metallberufe, Kapitel. (S..), Aufgaben, Prozentrechnungen, Nr. 1-5 Seite 42

23 Lösungen: Seite 43

24 Lernkontrolle Lösen und korrigieren Sie folgende Aufgaben. Wenn Sie mehr als ein falsches Resultate haben, arbeiten Sie den Abschnitt nochmals durch. Ansonsten gehen Sie weiter zu den Rechenregeln. 1. Welches Formelzeichen wird für eine Länge eingesetzt? l 2. Welche Basiseinheit (Name und Zeichen) wird für eine Länge eingesetzt? Meter, m 3 Rechen Sie die Angabe 1h 12min 22s in einen Dezimalwert mit der Einheit Stunden um. Runden Sie auf 4 Kommastellen. 1 h = 1 h min = h = 0,2 h s = h = 0,0061 h 60 x 60 1h 12 min 22 s = 1,2061h = 1,206h 4. Berechnen Sie aus dem Dezimalwert 22,205 die Winkelangaben in Grad, ' und. 22 = 22 0,205 = 0,205 x 60 = 12,3 => 12 0,3 = 0,3 x 60 = 18 22,205 = Von 50 hergestellten Bauteilen sind 6% Ausschuss. Wie viele Teile sind dies? Grundwert x Prozentsatz 50 Stk. x 6% Prozentwert = = = 3 Stk. 100% 100% Seite 44

25 Vergegenwärtigen Sie sich nochmals die Lernziele des Leitprogramm und überprüfen Sie ihren Wissensstand. Klären Sie Unsicherheiten die während den Übungen entstanden sein könnten. Wenn Sie sicher sind, dass sie den Anforderungen entsprechen, melden Sie sich bei der Lehrperson. Sie werden dann den Kapiteltest absolvieren und eine entsprechende Bewertung (Note) erhalten. Seite 45