4.2. Aufgaben zu quadratischen Funktionen

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1 .. Aufgaben zu quadratischen Funktionen Aufgabe : Stauchung und Streckung der Normalparabel a) Zeichne die Schaubilder der folgenden Funktionen in das Koordinatensstem. b) Vervollständige die darunter stehende Regel zur Streckung und Stauchung von Schaubildern. - - Stauchung und Streckung von Schaubildern Multiplikation mit a a bewirkt Streckung in -Richtung der nach oben Stauchung geöffneten Parabel. Multiplikation mit a bewirkt eine Öffnung der Parabel nach unten. Aufgabe : Streckung und Stauchung der Normalparabel a) Bestimme die Gleichungen der rechts abgebildeten Parabeln: f () = f () = f f f () = b) Zeichne die folgenden Parabeln ebenfalls in das Koordinatensstem aus a) : f () =, f () = und f 6 () = Aufgabe : Verschiebung der Parabel = - f a) Trage die -Werte der Parabel = in die. Spalte der Wertetabelle ein und zeichne die Parabel in das Koordinatensstem auf der nächsten Seite. b) Verschiebe die Parabel um = Einheiten nach oben und trage die passenden -Werte in die. Spalte der Wertetabelle ein. Trage zum Schluss die Funktionsgleichung der in -Richtung verschobenen Parabel ein. c) Verschiebe die Parabel um = Einheiten nach rechts und trage die passenden -Werte in die. Spalte der Wertetabelle ein. Trage zum Schluss die Funktionsgleichung der in -Richtung verschobenen Parabel ein. d) Verschiebe die Parabel um = Einheiten nach rechts sowie um = Einheiten nach oben und trage die passenden -Werte in die. Spalte der Wertetabelle ein. Formuliere die Funktionsgleichung der in - und - Richtung verschobenen Parabel. e) Vervollständige die darunter stehende Regel zur Verschiebung von Schaubildern

2 Verschiebung von Parabeln in -Richtung Man verschiebt die Parabel = um + nach rechts in -Richtung, indem man in der Funktionsgleichung durch ersetzt. In Wirklichkeit bleibt die Parabel nämlich stehen und das wird um nach links verschoben! Aus = wird dann =. Verschiebung von beliebigen Kurven in -Richtung Man verschiebt die Kurve = f() um in -Richtung, indem man in der Funktionsgleichung durch ersetzt. Eigentlich wird dabei nämlich das Koordinatensstem um in Gegenrichtung verschoben. Aus = f() wird =. Aufgabe : Verschiebung in -Richtung a) Bestimme die Gleichungen der rechts abgebildeten Parabeln: f () = f () = f f () = f () = b) Zeichne die folgenden Parabeln ebenfalls in das Koordinatensstem aus a): f () = +, f 6 () = +, f 7 () = und f 8 () = Aufgabe : Verschiebung in -Richtung a) Bestimme die Gleichungen der rechts unten abgebildeten Parabeln: f () = f () = f () = f () = f f - - f - f f f f () = f 6 () = b) Zeichne ebenfalls in das Koordinatensstem aus a): f 7 () = (+), f 8 () = ( ), f 9 () = 9 ( ), f () = 9 (+), f () = (+) und f () = ( ) f f f 6

3 Aufgabe 6: Scheitelpunktform Bestimme die Gleichung der verschobenen Normalparabeln mit den folgenden Scheitelpunkten: a) S( ) c) S( ) e) S( ) g) S( ) b) S( ) d) S( 7) f) S( ) h) S( ) Aufgabe 7: Scheitelpunktform Gib den Scheitelpunkt, die Streckung bzw. Stauchung in -Richtung und die Öffnung der Parabel an. Skizziere dann mit Hilfe dieser Angaben das Schaubild der Parabel ausgehend vom Scheitelpunkt. f () = ( + ) + f () = ( + ) + f () = ( + ) f () = ( + ) f () = ( ) f 6 () = ( ) f 7 () = ( ) + f 8 () = ( ) + Aufgabe 8: Scheitelpunktform Bestimme die Scheitelpunkte und zeichne die Parabeln in das Koordinatensstem rechts ein. Welche Parabel fehlt? f () = ( + ) + f () = ( + ) + f () = ( + ) f () = - f () = ( ) f 6() = ( ) + f 7 () = ( ) + f 8 () = Aufgabe 9: Scheitelpunktform Bestimme die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt der folgenden Parabeln. a) f() = + + g) f() = m) f() = b) f() = + + h) f() = + 6 n) f() = 7 c) f() = + i) f() = + o) f() = + d) f() = + j) f() = p) f() = e) f() = k) f() = q) f() = ( ) + f) f() = l) f() = r) f() = + p Aufgabe : Achsenschnittpunkte Untersuche die Parabeln aus Aufgabe 8 auf Achsenschnittpunkte. Aufgabe : Achsenschnittpunkte Untersuche die Parabeln aus Aufgabe 9 auf Achsenschnittpunkte.

4 Aufgabe : Satz von Vieta Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktionen durch Probieren. Berechne die Normalform f() = + p + q durch Ausmultiplizieren. Wie lassen sich die Koeffizienten p und q aus den Nullstellen und berechnen? a) f() = ( + ) ( + ) c) f() = ( + ) ( + ) e) f() = ( + u) ( + ) mit u R b) f() = ( + ) ( + ) d) f() = ( + ) ( + ) f) f() = ( + u) ( + v) mit u, v R Aufgabe : Satz von Vieta Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktionen durch Probieren mit dem Satz von Vieta: a) f() = e) f() = 7 + i) f() = b) f() = f) f() = + j) f() = + 7 c) f() = g) f() = k) f() = + d) f() = + 6 h) f() = + l) f() = Aufgabe : Intervallschreibweise Gib die folgenden Mengen in Intervallschreibweise an. a) A = { R: < < 8} f) F = { R: < } b) B = { R: < } g) G = { R: oder } c) C = { R: < } h) H= { R: < oder > } d) D = { R: } i) I= { R: oder > } e) E = { R: } j) J = { R: < 6 oder 6} Aufgabe : Quadratische Ungleichungen Vervollständige die Tabelle. Trage dazu jeweils die Bereiche ein, in denen die Funktion größer, echt größer, kleiner bzw. echt kleiner als Null ist: f() = f() für f() > für f() < für f() für + R\] ; [ R\[ ; ] ] ; [ [ ; ] Aufgabe 6: Gemeinsame Punkte Bestimme die Koordinaten aller gemeinsamen Punkte von f und g: a) f() = + und g() = + 6 d) f() = + + und g() = + b) f() = und g() = e) f() = + und g() = c) f() = und g() = f) f() = + und g() = + Aufgabe 7: Bestimmung von Funktionsgleichungen aus drei gegebenen Punkten Bestimme die Gleichung der Parabel, die durch die Punkte P, P und P verläuft. a) P ( ), P ( ) und P ( 6) d) P ( ), P ( ) und P ( 7) b) P ( ), P ( ) und P ( ) e) P ( ), P ( ) und P ( ) c) P ( ), P ( ) und P ( 8) f) P ( 7), P ( ) und P ( ).

5 Aufgabe 8: Bestimmung von Funktionsgleichungen aus Scheitelpunkt und einem weiteren Punkt Vom Schaubild einer Parabel ist der Scheitelpunkt S und ein weiterer Punkt P bekannt. Bestimme die Gleichung der Parabel in Normalform. a) S( ) und P( ) d) S( ) und P( 7 ) b) S( 9 ) und P( ) e) S( ) und P( ) c) S( ) und P( ) f) S( ) und P( ) Aufgabe 9: Anwendungsaufgaben a) Wie hoch und wie lang ist eine Brücke, deren Form oberhalb der -Achse durch =, +, in Metern gegeben ist? b) Über eine Talsenke mit dem Querschnitt =,8,68,688 in Metern wird in der Höhe m über NN eine waagrecht verlaufende Brücke gespannt. Wie lang ist die Brücke und wie hoch ist sie über der tiefsten Stelle? c) Ein Straßentunnel hast den Querschnitt =, +,6 + 6,78 in Metern. Wie hoch und wie breit ist der Tunnel? Zwei m breite und m hohe Lastwagen sollen sich im Tunnel mit m Sicherheitsabstand passieren können. Welchen waagrechten Abstand haben die Lastwagen dann in m Höhe von der Tunnelwand? d) Eine mit der Geschwindigkeit v in m/s senkrecht nach oben geschossene Kugel hat nach t Sekunden die Höhe h(t) = t + vt in m über dem Abschußort erreicht. Wie lange fliegt die Kugel und welche Höhe erreicht sie, wenn sie mit v = m/s bzw. v = m/s abgeschossen wurde? Aufgabe : Parabelscharen und Ortskurven Untersuche die folgenden Parabelscharen auf Achsenschnittpunkte in Abhängigkeit von t und die Koordinaten des Scheitelpunktes in Abhängigkeit von t. Zeichne f t für t =, und in ein gemeinsames Koordinatensstem mit,. Zeichne die Ortskurve der Scheitelpunkte in das Koordinatensstem ein und bestimme ihre Funktionsgleichung. Die Ortskurve der Scheitelpunkte ist die Menge aller Scheitelpunkte der Parabelschar. a) f t () = t mit t R e) f t () = t + mit t R b) f t () = t mit t R f) f t () = ( ) + t c) f t () = + t + mit t R g) f t () = t( ) d) ft() = t t + mit t R h) f t () = + + t Aufgabe : Quadratische Gleichungen Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen. a) ( + ) + = ( + ) c) ( + 7)( ) = ( + 7)( ) b) ( + )( + ) = ( + ) ( ) d) ( + )² + + = ( 6)² Aufgabe : Quadratische Bruchgleichungen Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen a) 6 6 e) ² b) 6 6 f) 6 6 ² 6 c) 8 g) ² 6 ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) d) ² ( )( ) h) ² ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) Aufgabe : Gemeinsame Punkte bei Kurvenscharen Welche Bedingungen müssen für t gelten, damit die Schaubilder von f t und g t sich gegenseitig schneiden, berühren bzw. passieren? a) f t () = + t und g() = + b) f t () = t und g() = c) f t () = und g t () = + t

6 Aufgaben und : siehe Skript.. Lösungen zu den Aufgaben zu quadratischen Funktionen Aufgabe : Stauchung und Streckung f () = f () = f () = f () = Aufgabe : Verschiebung in -Richtung f () = f 7 () = - - f () = + f () = + f 6 () = + f () = f 8 () = - - f f () = 6 () = f () = - Aufgabe : Verschiebung in -Richtung f () = ( + ) f 8 () = ( ) f 7 () = ( + ) f () = ( ) f () = 9 ( + ) f 9 () = ( ) 9 f () = 9 ( ) f () = ( ) 9 f () = - ( + ) f () = ( ) f () = ( + ) - f 6 () = ( ) Aufgabe 6: Scheitelpunktform a) f() = ( ) c) f() = + e) f() = ( ) + g) f() = ( + ) b) f() = ( + ) d) f() = 7 f) f() = ( + ) + h) f() = ( ) Aufgabe 7: Scheitelpunktform f f f f f 8 f 7 f 6 f Aufgabe 8: Scheitelpunktform f 8 () = f f f f - f - f 6 f 7 6

7 Aufgaben : Achsenschnittpunkte f : S ( ) und S / ( ± ), f : S ( ) und S / ( ± ), f : S ( ), f : S ( ), f : S ( ), f 6: S 6 ( ) und S 6/ ( ± ), f 7 : S 7 ( ) und S 7/ (± ) und f 8: S 8 ( ) Aufgaben 9 und : Scheitelpunkte und Achsenschnittpunkte Aus Platzgründen sind nur Scheitelpunkte und Schnittpunkte mit der -Achse angegeben. a) S( ) g) S( ) m) S( ), S/ ( ± ) b) S( ), S / ( ± ) h) S( ) n) S( ), S / ( ± 8 ) c) S( 6), S / ( ± 6 ) i) S( ) o) S( ), S / ( ± ) d) S( ) 9 j) S( ), S/ ( ± ) p) S( ) e) S( ), S / ( ± ) k) S( ), q) S( ) f) S( ), S / ( ± ) l) S( ) r) S( p p p p ), S / ( ± ) Aufgabe : Satz von Vieta a) f() = + + c) f() = e) f() = + (u + ) + u b) f() = d) f() = ) f) f() = + (u + v) + uv Aufgabe : Satz von Vieta a) f() = ( + )( + ) e) f() = ( )( ) i) f() = ( + )( + 7) b) f() = ( + )( + ) f) f() = ( )( + ) j) f() = ( )( + 7) c) f() = ( + )( + ) g) f() = ( 6)( + ) k) f() = ( )( + ) d) f() = ( )( ) h) f() = ( )( + ) l) f() = ( )( + ) Aufgabe : Intervallschreibweise a) A = ]; 8[ f) F = ]; [ b) B = [ ; [ g) G = R\] ; [ c) C = ] ; ] h) H = R\[ ; ] d) D = [; ] i) I = R\] ; ] e) E = ] ; ] j) J = R\[ 6; 6[ Aufgabe : Quadratische Ungleichungen f() = f() für f() > für f() < für f() für + R\] ; [ R\[ ; ] ] ; [ [ ; ] R\] ; [ R\[ ; ] ] ; [ [ ; ] + 6 [ ; ] ] ; [ R\[ ; ] R\] ; [ + 6 [; ] ]; [ R\[; ] R\]; [ + + R R {} {} + {} {} R\{} R [ ; ] ] ; [ R\[ ; ] R\] ; [ R\] ; [ R\[ ; ] ] ; [ [ ; ] + + R R\{ } {} { } 7

8 Aufgabe 6: Gemeinsame Punkte a) S ( ) und S ( 8) c) S ( ) und S ( ) e) keine gemeinsamen Punkte b) S ( ) und S ( ) d) S /( ) (Berührpunkt) f) keine gemeinsamen Punkte Aufgabe 7: Bestimmung von Funktionsgleichungen aus drei gegebenen Punkten a) f() = + c) f() = e) f() = + b) f() = + d) f() = + + f) f() = + + Aufgabe 8: Bestimmung von Funktionsgleichungen aus Scheitelpunkt und einem weiteren Punkt a) f() = + c) f() = + e) f() = b) f() = d) f() = + f) f() = Aufgabe 9: Anwendungsaufgaben a) Die Brücke ist m lang und, m hoch b) Die Brücke ist m lang und m hoch. c) Der Tunnel ist m hoch und, m breit. Der waagrechte Abstand zur Tunnelwand ist 68 cm d) Die Kugeln fliegen bzw. Sekunden lang und erreichen eine Höhe von bzw. Metern. Aufgabe : Parabelscharen und Ortskurven a) / = t t und S t t t Ortskurve = b) / = t 9, falls t 9 und S t ( 9 + t) Ortskurve = c) / = d) / = t t t t, falls t 8 und S t Ortskurve = + t t t, falls t oder t + und S t (t t t + ) = + e) / = t t t, falls t und S t t t, falls t Ortskurve = + f) / = ± t, falls t und S t ( t) Ortskurve = g) / = ± t, falls t und S t( ) keine Ortskurve, sondern gemeinsamer Scheitelpunkt h) / = ± t, falls t und S t ( t ) Ortskurve = Aufgabe : Quadratische Gleichungen a) L = { } b) L = { ; } c) L = { ; } d) L = { ; } Aufgabe : Quadratische Bruchgleichungen a) D = R \ { } und L = {; } e) D = R \ {; } und L = {; } b) D = R \ {; } und L = {} f) D = R \ {6; 6} und L = { } c) D = R \ { } und L = { 6; } g) D = R \ {; ; } und L = { } d) D = R \ { ; } und L = D h) D = R \ {; ; } und L = { } Aufgabe : Gemeinsame Punkte bei Kurvenscharen a) / = b) / = t t t t c) / = t Schnittpunkte für t <, Berührpunkt für t =, keine gem. Punkte für t > Schnittpunkte für t >, Berührpunkt für t =, keine gem. Punkte für t < Schnittpunkte für t <, Berührpunkt für t =, keine gem. Punkte für t > 8