Grundzüge der. Kapitel 5 Mikroökonomie (Mikro I) Entscheidungen unter Unsicherheit

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1 Grundzüge der Kapitel 5 Mikroökonomie (Mikro I) Entscheidungen unter Unsicherheit 1

2 BESCHREIBUNG VON RISIKO 2

3 Entscheidung unter Risiko Annahme: Wir kennen alle möglichen (sich gegenseitig ausschliessenden) Ereignisse die Auszahlung die mit jedem Ereignis realisiert wird Wir können für das Eintreffen eines jeden Ereignisses eine Wahrscheinlichkeit angeben Prozentzahlen summieren sich zu 1 Knight sches Risiko 3

4 Beispiel Kauf von Aktien eines Unternehmen welches riskantes Projekt unternimmt Suche nach Öl offshore. Erfolg: Aktienkurs steigt von 30$ auf 40$ Misserfolg: Aktienkurs fällt von 30$ auf 20$ 4

5 Wahrscheinlichkeit Objektive Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeiten durch Erfahrungswerte, wie z.b. 25 von 100 Erkundungen sind erfolgreich P(Erfolg) = 0,25 P (Misserfolg) = 1 P(Erfolg) = 0,75 subjektive Wahrscheinlichkeiten was der Entscheidungsträger glaubt In Spielsituationen können sich Überzeugungen (beliefs) wechselseitig bedingen 5

6 Wie realistisch ist Kenntnis von Wahrscheinlichkeiten? Knight sche Unsicherheit Entscheidungsträger hat keine Information über Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse Andere Entscheidungskriterien für Entscheidungen unter (Knight scher) Unsicherheit als für Entscheidungen unter Risiko Wie realistisch ist Kenntnis aller möglichen Ereignisse? 6

7 Beschreibung von Risiko Erwartungwerteiner Zufallsvariablen X, mit Wahrscheinlichkeiten Pr i (X i ) E(X) = Pr X Pr X... Pr X n n Erwartungswert einer Auszahlung EV = Pr(Erfolg)( 40/Aktie) + Pr(Fehlschlag)( 20/Aktie) EV = 1 4 ( 40/Aktie ) ( 20/Aktie ) EV = 25/Aktie 7

8 Beschreibung von Risiko Varianz:Maß der Abweichung vom Erwartungswert Standardabweichung (= ) Varianz σ = Pr [ ] [ ] 2 2 ( X E ( X )) + Pr ( X E ( X )) 8

9 Beispiel Lotterie 1 Lotterie Pr Pr 1 = 0, Pr 2 = 0,5 EV = 0,5 * * =

10 Beispiel Wahrscheinlichkeit 0.2 Lotterie 2 weist eine größere Streuung, eine höhere Standardabweichung und ein höheres Risiko als Lotterie 1 auf. Lotterie Lotterie Einkommen 10

11 Beispiel Lotterie 1 Lotterie Pr Pr 1 = 0, Pr 2 = 0,5 EV = 0,5 * * = σ= 0,5*( ) 2 + 0,5*( ) 2 =

12 ENTSCHEIDUNGEN UNTER RISIKO 12

13 Erwartungsnutzen Wenn die Präferenzen des Entscheidungsträgers einer Reihe von vernünftig erscheinenden Axiomen genügen dann lassen sich Präferenzen durch eine Erwartungsnutzenfunktion repräsentieren von Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion 13

14 Lotterie 1 Lotterie 3: Entscheidungen unter Risiko: Erwartungsnutzen Pr 1 = Pr 1 = 0, Pr 2 = 0,01 haben beide den gleichen Erwartungswert beide gleich gut? 14

15 Entscheidungen unter Risiko: Erwartungnutzen Definiere Nutzen U(I k ) des Einkommens I k welches im Falle des Ereignisses k realisiert wird, z.b. U(I ) = I k k 15

16 Nutzenfunktion U = I. Nutzen ,5 1 1,5 1,6 2 3 Einkommen( 1.000) 16

17 Erwartungsnutzen Definiere Erwartungsnutzen über alle möglichen Einkommensrealisationen E U = Pr U(I ) + Pr U(I ) Pr n U(I n ) Fortführung Beispiel Lotterie 1 und 3 E U[Lotterie 3] = 0, , = 0,99 *38, ,01* 22,5831 = 38,

18 Fortführung Beispiel E U[Lotterie 3] = E U[Lotterie1] = 38, = 38,7298 Lotterie 1 ^> Lotterie Pr = Pr = 0, Pr = 0,01 18

19 und Lotterie 1 und 2? Lotterie 1 Lotterie Pr Pr 1 = 0, Pr 2 = 0,5 19

20 FürEntscheidungsträgergilt auch: Lotterie 1 >Lotterie 2 U U ( I 2 = 2000) ( I = 1500) Nutzen 54,72 44,72 38,72 U = I U ( I 1 =1000) 31,62 EU[ Lotterie2] 1 1 = U ( I1 = 1000) + U ( I2 = 2000) = 38,17 < 38,72 = U (1500) Einkommen( 1.000) 1 1,

21 Risikoaversion Ein risikoaverser Entscheidungsträger wenn wählen kann zwischen sicherer Summe von x oder Lotterie mit Erwartungswert x (d.h. wenn er die Lotterie zum fairen Preis x angeboten bekommt) wählt er die sichere Summe (d.h. lehnt die Lotterie ab) 21

22 Andere Risikopräferenzen 10 D risiko-freudiger Entscheidungsträger, z.b. U ( I k ) = ( Ik 2 ) nimmt Lotterie zum fairen Preis an risiko-neutraler Entscheidungsträger, z.b. U ( I k ) = αi k ist indifferent ob er Lotterie zum fairen Preis annimmt oder nicht 22

23 Risikonutzenfunktion Nutzenfunktion Uwelche in Risikonutzenfunktion EU auftaucht: kann nicht ohne weiteres quadriert werden aus (risikoavers) EU = Pr + 1 I1 Pr2 würde (risikoneutral) EU = Pr + 1 I1 Pr2 kardinale Nutzenfunktion I 2 I 2 23

24 Warum Leute Versicherungsverträge kaufen Nutzen 54,72 U = I U ( I 2 = 2000) 44,72 EU( Lotterie) = U ( I 1 =1000) 38,17 31,62 I* = (38,17) 2 = 1457,11 < 1500 I* sei sicheres Einkommen so daß E träger indifferent ist zwischen Lotterie und I* 0 1 I* 1,5 2 3 Risikoprämie: Differenz zwischen Erwartungswert EV und I* = 42,89 Einkommen Vermögen ( 1.000) 24

25 Warum Leute Versicherungen kaufen? Risikoaverse E träger sind bereit Risikoprämie zu zahlen zu welchem Preis kann Versicherung einen Vertrag anbieten? Geschichte zur Lotterie: 1,000,000 Häuser zum Wert 2,000 wenn Feuer, reduziert sich Wert auf 1,000. Wahrscheinlichkeit von Brand = 50% 25

26 Warum Leute Versicherungen kaufen Versicherung kann den Schadensfall (1.000 ) von Häusern zur fairen Prämie von 500 versichern. Einnahmen: Ausgaben ,5./ Gewinn/Verlust 0 26

27 Warum Leute Versicherungen kaufen Versicherung kann also Kontrakt zum fairen Preis (= Prämie) von 500 anbieten Mit fairem Kontrakt realisiert Hausbesitzer ein Vermögen von 1500: Nichtschadensfall: Haus 500 V prämie= Schadensfall: Haus Zahlung 500 V prämie = Willens dazu 42,89 Risikoprämie zu zahlen 27

28 Versicherbare Risiken Risiko der unterschiedlichen Hausbrände unkorreliert Wegen Gesetz der großen Zahl, realisiert Versicherung bei Verträgen jedes Jahr (nahezu) mit Sicherheit Auszahlungen von

29 Risikodiversifizierung Flächennutzung Regen Sonne 100% Weizen % Pilze Wenn Wkt von Regen = Wkt Sonne = 0.5 ist EV (100% Weizen) = EV (100% Pilzen) = Flächennutzung Regen Sonne 50% Weizen % Pilze Gesamt

30 µ σ-indifferenzkurven Wenn Präferenzen weitere Bedingungen erfüllen Entscheidungsproblem kann auf Abwägen von Erwartungswert und Standardabweichung einer Anlage reduziert werden. Indifferenzkurven: Kombination von erwartetem Einkommen und Standardabweichung der zwischen denen Indifferenz besteht 30

31 µ σ-indifferenzkurven Erwartetes Einkommen U 3 U 2 U 1 Sehr risikoavers: starke Einkommenserhöhung notwendig, um Anstieg des Risikos auszugleichen Standardabweichung des Einkommens 31