Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz

Transkript

1 Hanspeter Horlacher Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz 1. Einführung Eine Grösse, zu deren Festlegung ausser einer Zahl auch noch die Angabe einer Richtung nötig ist, heisst VEKTOR. P 2 P 1 P 1 P 2 P 1 : Anfangspunkt, P 2 : Endpunkt Die Länge eines Vektors wird mit oder kurz mit a bezeichnet. a P 1 P 2 Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie gleiche Länge und gleiche Richtung haben. Addition und Subtraktion von Vektoren Um die Summe zu erhalten, zeichnet man die beiden Vektoren und so, dass der Anfangspunkt von mit dem Endpunkt von zusammenfällt. Der Summenvektor zeigt dann vom Anfangspunkt von zum Endpunkt von b. Spezialfall: C A D B

2 Gesetze: (Kommutativgesetz) (Assoziativgesetz) Daraus folgt, dass man in einer mehrgliedrigen Summe von Vektoren beliebige Vertauschungen und Zusammenfassungen vornehmen darf (wie bei reellen Zahlen). z.b. e e e Ist ein Vektor, so heisst der Vektor mit derselben Länge, aber entgegengesetzter Richtung, der KEHRVEKTOR von. Er wird mit bezeichnet. Aus AB folgt somit BA 0 NULLVEKTOR (Länge 0, unbestimmte Richtung) AA 0 und Geschlossenes Vektorpolygon: 0

3 Unter der Differenz zweier Vektoren und versteht man den Vektor. Zu zwei Vektoren und gibt es somit stets genau einen Vektor, sodass ist, nämlich den Vektor. Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl Ist ein Vektor und x eine reelle Zahl, so versteht man unter x den Vektor mit der x -fachen Länge und mit der gleichen oder entgegengesetzten Richtung von, je nachdem x positiv oder negativ ist. Speziell gilt also: x 0 0 x x x Diese Multiplikation ist also eine Streckung des Vektors von seinem Anfangspunkt aus um den Faktor x. Gesetze: I. x y x y II. xy x y III. x x x zu III: x b x x

4 Diese Gesetze haben zur Folge, dass man mit Vektoren rechnen kann wie mit reellen Zahlen. Beispiel: kurz: Kollineare und komplanare Vektoren Zwei Vektoren heissen KOLLINEAR, wenn sie zu einer einzigen Geraden parallel sind. (Dabei wird der Nullvektor als zu jeder Geraden parallel betrachtet.) Haben sie denselben Anfangspunkt, so liegen sie auf einer einzigen Geraden. Jedes Vielfache x eines Vektors (also auch 0 0 ) ist mit kollinear, und umgekehrt ist jeder mit kollineare Vektor ein Vielfaches von. Satz 1: und sind dann und nur dann nicht kollinear, wenn die Gleichung x y 0 nur erfüllt ist für x y 0. Beweis: a) und b nicht kollinear und x y 0 Annahme: z.b. y 0 also x y 0, somit b x y, also wären und kollinear, Widerspruch! b) Sind und kollinear, so ist zum Beispiel x also x 1 0. Die Gleichung ist erfüllt für y 0 ( y 1 ) Drei Vektoren heissen KOMPLANAR, wenn sie zu einer einzigen Ebene parallel sind. (Dabei wird der Nullvektor als zu jeder Ebene parallel betrachtet.) Haben sie denselben Anfangspunkt, so liegen sie auf einer einzigen Ebene. Ausserdem: Jede Linearkombination ( x y ) von und ist mit und komplanar. Satz 2: Sind und zwei nicht kollineare Vektoren, so lässt sich jeder mit und komplanare Vektor eindeutig als Summe von zwei Vektoren, die mit bzw. b kollinear sind, darstellen, d.h. als Linearkombination. x y Die beiden Vektoren und b heissen die VEKTORIELLEN KOMPONENTEN, die Zahlen x und y die SKALAREN KOMPONENTEN von nach und.

5 Beweis: a) Zerlegung konstruktiv B y O x A' A OC OA ' OB ' x y B' C b) Diese Zerlegung ist eindeutig, denn wäre x y b x ' y ' b mit x x' oder y y', so wäre x x' y y' 0 mit x x' 0 oder y y ' 0, also wären und kollinear nach Satz 1, Widerspruch! Satz 3:, und sind dann und nur dann nicht komplanar, wenn die Gleichung x y z 0 nur erfüllt ist für x y z 0. Beweis: a), und nicht komplanar und x y z 0 Annahme: z.b. z 0 also x z y z b 0, somit x z y z b, d. h. wäre als Linearkombination von und mit und komplanar. Widerspruch! b) Sind, und komplanar, so sind entweder und kollinear, also x, also x ; oder dann sind und b nicht kollinear, also nach Satz 2 x y b, also x y 1 0. In jedem Fall gilt also eine Gleichung x y z, in der nicht alle Zahlen x, y, z gleich 0 sind. Satz 4: Sind,, drei nicht komplanare Vektoren, so kann jeder beliebige Vektor eindeutig in drei Summanden zerlegt werden, die zu den einzelnen gegebenen Vektoren kollinear sind. (D. h.: er ist eine Linearkombination von, b und.) x y b z Die Vektoren x, y b, z heissen wieder die VEKTORIELLEN, die Zahlen x, y und z die SKALAREN KOMPONENTEN von nach, und.

6 Beweis: a) Zerlegung konstruktiv y D z E y OE ED x y b z O x b) Diese Zerlegung ist eindeutig, denn wäre x y z x ' y' z' mit x x', y y ' oder z z', so wäre ' x x ' y y' z z' 0 mit x x' 0, y y ' 0 oder z z' 0, also wären, und komplanar nach Satz 3, Widerspruch! Bemerkung: Vektoren heissen LINEAR UNABHÄNGIG, wenn keiner von ihnen eine Linearkombination der andern ist, sonst LINEAR ABHÄNGIG. Drei Vektoren in der Ebene und vier Vektoren im Raum sind also stets linear abhängig. Beispiel: Geg.: Ges.: A ABC und Punkte E und D mit BD 1 2 BC, AE 1 3 AC. Die Transversalen AD und BE schneiden sich in F. Die Bruchteile x und y, die die Strecken DF und EF von AB bzw. BE ausmachen. E F C DF x DA, EF y EB : AB, : AC BC, BD 1 2 BC 1 2 DA DB BA b AE 1 3 b, EB EA AB 1 3 b BD b DF x DA 1 2 x 1 2 x FB EB EF EB y EB 1 y EB 1 y y Da diese drei Vektoren ein geschlossenes Vektordreieck bilden, ist BD DF FB b 1 2 x 1 2 x 1 y y 0, also x y x 1 3 y 0 Da und b nicht kollinear sind, folgt nach Satz 1: x y x 1 y 0 x 1, 2 y D B