Lösungsblatt Rolle und Gewichte (2P) Mechanik (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) (WS07/08)

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1 sblatt Mechanik Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt WS07/08 Wolfgang v. Soden Rolle und Gewichte P Zwei Gewichte mit Massen m = kg bzw. m = 3kg sind durch einen längeren exiblen masselosen Draht verbunden, der über eine Rolle mit waagerechter Achse läuft. Die Rolle besteht aus einer homogenen Scheibe der Masse M = 4kg und soll sich reibungsfrei drehen können.. Wie groÿ ist die Beschleunigung der Gewichte?. Wie groÿ sind die Kräfte in dem Draht bei den beiden Gewichten? Die Gewichte erfahren infolge ihrer unterschiedlichen Gewichte und über den verbindenden Draht ein betragsmäÿig gleich groÿe Beschleunigung: Bei der gröÿeren Masse in Richtung ihrer Gewichtskraft, bei der leichteren entgegengesetzt dazu. Auÿerdem wird ein Teil der Gewichtsdierenzkraft dazu benötigt, die Rolle in Rotation zu versetzen, so dass die Beschleunigung der Gewichte kleiner ist als bei einem gleichartigen Experiment mit z.b. reibungsfreier Drahtumlenkung. Auf das leichtere Gewicht Masse m wirkt also die Kraft F, die gleichzeitig die Kraft im Draht bei diesem Gewicht ist Kräfte nach unten positiv, nach oben negativ: m g F = m a 74. Auf das schwerere Gewicht Masse m wirkt also die Kraft F, die gleichzeitig die Kraft im Draht bei diesem Gewicht ist: m g F = m a 74. Die beiden Drahtkräfte bewirken Drehmomente auf die Rolle Masse M mit angenommenen Radius R, Trägheitsmoment I, Winkelgeschwindigkeit ω, die zur Winkelbeschleunigung führen: Das Trägheitsmoment einer Scheibe ist F R F R = I ω 74.3 I = MR 74.4 und die Winkelbeschleunigung ergibt sich aus der Bahnbeschleunigung hier a für den entsprechenden Radius hier R zu: ω = a 74.5 R sblatt vom c University of Ulm, W. v. Soden

2 sblatt Mechanik WS bis 74.5 zusammengefasst ergibt: F F = I ω R = a MR R = M a 74.6 Die Dierenz von 74. und 74. ergibt zusammengefasst: F F = m g m a m g + m a = m m g m + m a und 74.7 gleichgesetzt und umgeordnet führt zu: m + m a + M a = m m g 74.8 Hieraus berechnet sich die Beschleunigung zu: Dies in 74. bzw. 74. eingesetzt führt zu: m m g F = m m + m + M a = m m g m + m + M m + M + g = m g m + m + M und F = m g m m g m + M m + m + M = m g m + m + M Mit den Zahlenwerten aus der nstellung erhält man: a =,4m/s, F =,4N, F = 5,N Rotierende Masse auf verschiedenen Bahnen P In der Vorlesung wurde auf dem Luftkissentisch vorgeführt, dass sich die Rotationsgeschwindigkeit einer Masse m vergröÿert, wenn der Bahnradius von r auf r verkleinert wird. Wie groÿ ist die Arbeit, die der Experimentator hierbei aufwenden muss? Betrachte die Masse als punktförmig. Zahlenbeispiel: m = 90g, r = 60cm, r = 5cm, T = π 6 s Beim Verändern des Bahnradius bleibt der Drehimpuls L = Iω erhalten, wobei das Trägheitsmoment I sich hier ergibt zu I = m r. Es gilt also: L = I ω = m r ω = I ω = m r ω 75. oder Die Rotationsenergie ist E rot gesuchte Arbeit: ω = r r ω 75. = Iω. Die Dierenz dieser Gröÿe für die beiden Fälle ist die E = E E = I ω I ω = mr ω mr ω = = mr r r ω mr ω = mr ω Zahlenbeispiel: ω = /s, ω = 9/s, E = 35J r r sblatt vom c University of Ulm, W. v. Soden

3 sblatt Mechanik WS Fahrrad P Ein Radfahrer fährt mit v = 3km/h durch die Gegend. Seine Masse beträgt m p = 65kg. Das Fahrrad hat eine Masse von m r = 5kg. Ein Fünftel davon ist der Anteil der Räder, die mit masselosen Speichen und Lagern versehen sein sollen. Wie groÿ ist die kinetische Energie des Fahrrads samt Fahrer? Die gesamte kinetische Energie setzt sich zusammen aus der Translationsenergie des Fahrradfahres und des Fahrrads E trans = m p + m r v 76. und zusätzlich der Rotationsenergie der Räder, deren Gesamtträgheitsmoment sich zu I = 5 m rr ergibt mit R als unbekannter Radradius und bei ω = v R, also Zusammen ergibt sich also E rot = Iω = 0 m rr v R = 0 m r v 76. E kin = E trans + E rot = m p + m r v + 0 m r v = m p m rv 76.3 Als Zahlenwert ergibt sich E kin = 54J. Der Anteil der Rotationsenergie beträgt 9,6J. 77 Rollender Ring P Ein Eisenring mit Innenradius R i = 0,5m und Auÿenradius r a = 0,6m und der Masse m r = 54kg rollt eine schiefe Ebene hinunter und hat an deren unteren Ende eine Bahngeschwindigkeit von v = 3,6m/s. Wie groÿ ist hier die gesamte kinetische Energie des Ringes und wie groÿ ist der Höhenunterschied, den der Ring zurücklegte? Die kinetische Energie des Rings soll hier als eine der mehreren Möglichkeiten als reine Rotationenergie berechnet werden. Deshalb muss die Bewegung des Rings als Rotation um den augenblicklichen Drehpunkt genommen werden. Dieser Drehpunkt ist der Auagepunkt des Rings.// Das Trägheitsmoment für diese Achse berechnet sich nach dem Satz von Steiner als Summe des Trägheitsmoment für den Schwerpunkt und dem der Ringmasse im Abstand der Drehachse vom Schwerpunkt, also I = I s + m r r a 77. Das Trägheitsmoment für den Schwerpunkt berechnet sich mit der für die Zwischenrechnung einegeführten Dichte ρ des Ringes und der Ringbreite d aus der Dierenz des Trägheitsmoments I a einer Scheibe mit Radius r a Masse m a und des Trägheitsmoments I i einer Scheibe mit Radius r i Masse m i zu: I s = I a I i = m a r a m i r i = ρdπr a r a r i r i = = ρdπr a r i r a + r i = m a m i r a + r i = m rr a + r i 77. Die Rotationsgeschwindigkeit des Ringes ergibt sich zu ω = v r a 77.3 sblatt vom c University of Ulm, W. v. Soden

4 sblatt Mechanik WS Die Kinetische Energie bei Rotation ist E rot = I ω bis 77.4 zusammengefasst ergibt E rot = I ω = I s + m r r a ω = m rr a + r v i + m r r a = r a = 3 m r a + v r i = 3 r a m + r i v 77.5 r a Diese Energie ist gleich der Abnahme der potentiellen Energie des Ringes im Gravitationsfeld der Erde beim Herunterrollen um die Höhe h, also Daraus ergibt sich der Höhenunterschied zu h = 3 + r i v 4 r a g E rot = E pot = m r g h 77.6 Mit den Zahlenwerten der nstellung erhält man E kin = 646,36J und h =,m. 78 Rotierende Stange P 77.7 Eine homogene Stange der Länge L =,5m ist so mit einer Achse im Abstand x vom Mittelpunkt aus zu versehen, dass ihre Schwingungsdauer minimal wird. Wo bendet sich diese Achse? Eine Stange der Masse m mit einem Drehpunkt, der sich im Abstand x zum Schwerpunkt bendet, bildet ein physikalisches Pendel mit einer Schwingungsfrequenz ω von mgx ω = 78. I wobei I das Trägheitsmoment zur wirksamen Achse ist. Für eine homogene Stange der Länge L ist das Trägheitsmoment für eine Achse senkrecht zur Stange durch den Schwerpunkt I s = ml. Für eine andere dazu parallele Achse im Abstand x ist das Trägheitsmoment I = I s + mx = m L + x. Dies in 78. eingesetzt ergibt mgx mgx ω = = I m L + x = Die Schwingungsdauer berechnet sich daraus zu T = π ω = π L + x = π gx g gx 78. L + x L x + x 78.3 Soll diese minimal werden, so muss die Klammer unter der Wurzel minimal sein, es muss also gelten d L x + x = 0 = L dx x L 3. woraus gleich folgt x = Mit dem Zahlenwert aus der nstellung heiÿt dies, die Achse muss sich bei x = 43,3cm oberhalb der Mitte der Stange benden. sblatt vom c University of Ulm, W. v. Soden

5 sblatt Mechanik WS Zahnrad in rundem Zahnkranz 3P Ein sich anfangs in Ruhe bendendes auÿenverzahntes Rad der Masse m = 5kg wie eine runde Scheibe konstanter Dicke zu behandeln mit einem Durchmesser von d = 5cm rollt in einem innenverzahnten feststehenden Zahnrad mit Innendurchmesser D =,m aus der Höhe h = 0,6m vom tiefsten Punkt des feststehenden Zahnrades aus gerechnet nach unten. Mit welcher Kraft drückt am tiefsten Punkt das innere Zahnrad gegen das äuÿere? Die Zahnung garantiert, dass das innere Zahnrad im äuÿeren runden Zahnkranz rollt und nicht rutscht. Die kinetische Energie der Scheibe, die hier als reine Rotationsenergie mit der Achse am Berührpunkt von inneren und äuÿeren Zahnrad behandelt wird, berechnet sich aus dem Trägheitsmoment I und der Rotationsfrequenz ω des inneren Zahnrades am niedrigsten Ort des Auÿenzahnrades. Diese kinetische Energie ist gleich der Dierenz der potentiellen Lageenergie des Innenzahnrades vor Beginn des Rollens und der beim niedrigsten Punkt. Während des Rollens auf dem äuÿeren kreisförmigen Zahnkranz mit Radius r übt letzterer auf das innere Rad eine Zwangkraft, die Zentripetalkraft aus, oder aus Sicht des inneren Rades, übt dieses eine Zentrifugalkraft auf den äuÿeren Zahnkranz aus, deren Stärke von der Bahngeschwindigkeit des Schwerpunkts des inneren Zahnrades und dem Bahnradius abhängt. Hinzu kommt noch das Gewicht des inneren Zahnrades. Dieses in Formeln gebracht: Das Trägheitsmoment einer runden Scheibe bezüglich einer senkrechten Achse durch den Mittelpunkt ist I s = 8 md 79. Rollt diese Scheibe, so ist ihr Trägheitsmoment bezüglich der augenblicklichen Rotationsachse - diese geht durch den momentanen Berührpunkt - über den Satz von Steiner zu berechnen und beträgt: I = I s + m d 4 = 8 md + m 4 d = 3 8 md 79. Die Dierenz der Lageenergien E pot = mg h des Schwerpunkts h = h d ist gleich der kinetischen Energie, die hier reine Rotationsenergie E rot = Iω sein soll, also: E pot = mg h = mg h d = Iω = 3 8 md ω = 3 6 md ω 79.3 Daraus ergibt sich die momentane Winkelgeschwindigkeit des inneren Zahrades im untersten Punkt zu: mg h d g h ω = 3 = 4 6 md 3d d 79.4 Damit ergibt sich die Bahngeschwindigkeit des Schwerpunkts des inneren Zahnrades zu v = d ω und die Bahnwinkelgeschwindigkeit zu ω = v R mit R als Bahnradius, also ω = d R ω. Der Bahnradius ist hier gleich der 'Fallhöhe' des Zahnrades, also R = h = h d. Die Zentrifugalkraft F zf ergibt sich mit Hilfe von ω und dem Bahnradius R zu F zf = mrω d = mr ω = md md R 4R ω = 4 h d 6 g h 3d d = 4 mg Die Gesamtkraft ist die Summe der Zentrifugalkraft 4 3mg und der Gewichtskraft mg, also F = 7 3 mg. Mit den Zahlenwerten aus der nstellung ergibt sich die Kraft zu F = 343,4N. sblatt vom c University of Ulm, W. v. Soden